PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B http://emestrada.wordpress.com
3 De la función f : (, + ) R se sabe que f '( x) = y que f () = 0. ( x+ ) a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por (0,). MATEMÁTICAS II. 004. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos f ( x ). 3 ( x+ ) 3 f ( x) = dx= 3 ( x+ ) dx= 3 = + C ( x+ ) x+ Como queremos que pase por el punto (,0), tenemos: 3 f () = 0 + C= 0 C= 3 Por lo tanto, la primitiva que nos piden será: 3 f ( x) = + x+ b) Calculamos una primitiva de f ( x ). 3 F( x) = + dx= 3ln( x+ ) + x+ C x+ Como queremos que pase por el punto (0,), tenemos: F(0) = 3ln(0+ ) + 0+ C= C= Por lo tanto, la primitiva que nos piden será: F( x) = 3ln( x+ ) + x+
Determina b sabiendo que b> 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x y la recta y = bx es igual a 9. MATEMÁTICAS II. 004. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones. y= x = = = y= bx x bx 0 x 0 ; x b b 3 b 3 bx x b 9 ( ) 3 A= bx x dx= = = b= 3 6 0 0
Calcula 0 x + x 3 dx MATEMÁTICAS II. 004. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos las raíces del denominador: x x x x + 3= 0 = ; = 3 Descomponemos en fracciones simples: A B A( x+ 3) + B( x ) = + = + 3 + 3 ( )( + 3) x x x x x x Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. x= = 4A A= 4 x= 3 = 4B B= 4 Con lo cual: 0 0 0 0 0 ln 3 [ ln ( ) ] [ ln ( 3) ] dx= dx dx= x x+ = x + x 3 4 x 4 x+ 3 4 4
Sea f : R R la función definida por x =. Calcula la primitiva de f cuya f ( x) = ( x ) e gráfica pasa por el punto (, e ). MATEMÁTICAS II. 004. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos la integral, que es una integral por partes. u= x ; du= dx e = = x dv e dx; v x ( ) ( ) ( ) 4 x x x x x x e dx= x e e dx= x e e + C Calculamos una primitiva que pase por el punto (, e ). 5 e = ( ) e e + C C= e 4 4 Luego, la primitiva que nos piden es: 5 F( x) = ( x ) e e + e 4 4 x x
Considera la integral definida I = 9 + a) Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables + x = t. b) Calcula I. MATEMÁTICAS II. 004. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. x dx + x = t x= ( t ) dx= ( t ) dt Calculamos los nuevos límites de integración: x= t= x= 9 t= 4 Con lo cual: 4 4 t 4 I = dt= dt= [ t ln t) ] = 4 ln t t
Sea f : R R la función definida por f ( x) = x + x +. 3 3 a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma de ordenada y=, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa. b) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas. MATEMÁTICAS II. 004. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) = x + x+ x + x= 0 x= 0 ; x= 3 3 f '(0) = 3 f '( x) = x+ 3 3 f '() = 3 Luego: P(,) x+ 7 y = ( x ) y = f '() = m= 3 3 3 b) 3 x+ 7 x + x+ 3 x 4x+ 4 x 8 A= dx= dx= x + 4x = u 0 3 3 0 3 3 3 9 0
Considera las funciones f : (0, + ) R y g : R R definidas, respectivamente, por f ( x) = Ln x y g( x ) = x siendo Ln x el logaritmo neperiano de x. Calcula el área del recinto limitado por las rectas x= y x= y las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 004. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. x x A= ln x ( ) dx= x ln x x x+ = ln + u ln ln
Determina b sabiendo que b > 0 y que el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x b 3 y los ejes coordenados es igual a 8. MATEMÁTICAS II. 004. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. x 6bx+ 9b y= x b = 3 9 Vértice 6b b = 9 = 3 b (3 b,0) a 9 3b 3 3b 3 3 x 6bx+ 9b x 6bx 7b 54b 3 3 A= dx= + 9b x = + 7b = b = 8 b= 9 9 3 9 3 0 0
Considera la función f : R R definida por f ( x) = x x. a) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante. b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 004. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Abrimos la función: f ( x) x x = = x si x < x si x 0 0 b) 3 x x A= x x dx= = u 3 3 0 0
x x Considera la función f : R R definida por f ( x) = e + 4e. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x= 0 y x=. MATEMÁTICAS II. 004. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero. y e e e x x x x ' = 4 = 0 4= 0 = ln (,ln ) (ln, ) Signo y ' + Función D C mínimo (ln,4) No tiene máximo absoluto y el mínimo absoluto coincide con el mínimo relativo. b) 0 x x x x 4 A= e + 4e dx= e 4e = e + 3 u 0 e
Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie sombreada. MATEMÁTICAS II. 004. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. 3 3 [ ] A = ln x dx= x ln x x = (3ln 3 3) (ln ) = 3ln 3 Área del rectángulo = base x altura = 3ln 3 Área pedida = Área del rectángulo A = 3ln 3 (3ln 3 ) = u
Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y= x y por las curvas x e y=. MATEMÁTICAS II. 004. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. y= x 3 3 3 4 4 x x x x x Área= 0 x dx+ x dx x = + = 3 6 6 8 8 64 8 = + 6 4+ = 4 u 3 6 6 6 0