FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA Mg Jessica Pérez Rivera
PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN
Las aplicaciones de la programación lineal son amplias. Se presentarán dos tipos de problemas particularmente importantes ( y relacionados). Un tipo es el llamado Problema del Transporte, que recibe este nombre debido a que muchas de sus aplicaciones involucran determinar la manera óptima de trasportar bienes. Sin embargo, algunas de sus aplicaciones importantes no tienen nada que ver con el transporte.(programación de la producción)
Otro tipo de Problema que estudiaremos es el Problema de Asignación, que incluye aplicaciones como asignar personas a tareas. Aunque sus aplicaciones parecen diferir de las del problema de transporte, veremos que el problema de asignación se puede ver como un caso especial del de transporte.
MODELO DE TRANSPORTE
MODELO GENERAL DE PROGRAMACIÓN LINEAL
ALGORITMO DEL TRANSPORTE El algoritmo del transporte permite solucionar problemas de transporte mediante un procedimiento de cálculo que comprende los siguientes pasos: 1. Propiedad de Soluciones Factibles: Un problema de transporte tiene soluciones factibles si y sólo si el problema está balanceado: Oferta = Demanda
Importante!!! Si la OFERTA TOTAL es mayor que la demanda total, debemos balancearlo, para ello creamos un destino artificial, con costo nulo para el abastecimiento desde cualquiera de los orígenes hacia el destino artificial. Si la OFERTA TOTAL es menor que la demanda total, para balancear el problema debemos crear un origen artificial, con costo de transporte nulo para el abastecimiento hacia cualquiera de los destinos.
2. Tabla de Asignación para el transporte Una vez balanceado el problema se debe construir una tabla de asignación, que tiene la siguiente forma: v1 v2 v3 v4 v5 Oferta u1 u2 u3 u4 Demanda C11 C12 C13 C14 C15 X11 X12 X13 X14 X15 C21 C22 C23 C24 C25 X21 X22 X23 X24 X25 C31 C32 C33 C34 C35 X31 X32 X33 X34 X35 C41 C42 C43 C44 C45 X41 X42 X43 X44 X45 b1 b2 b3 b4 b5 a1 a2 a3 a4
Donde:
Ejemplo 1 Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de [kwh] respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2pm y es de 45, 20, 30 y 30 millones de [kwh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kwh] depende de la distancia que deba recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario desde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programación lineal que permita minimizar los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.
3. Primera solución Factible Podemos emplear cuales quiera de los tres métodos siguientes: a) Método de La Esquina Nor Oeste - Asigne la mayor cantidad posible de producto, que sea consistente con la cantidad ofrecida y la demandada, en el casillero superior izquierdo libre del a tabla.(n-o) - Actualice los valores de oferta y demanda en la fila y columna del casillero de la última asignación, restando en ambos la cantidad recién asignada. - Elimine el casillero para el cual la oferta o demanda se anuló. - Repita los pasos anteriores hasta que todos los valores de oferta y demanda sean anulados. - Encontrar el valor de la función objetivo sustituyendo el valor encontrado de xij mayores que cero. (variables básicas)
b) Método del Costo Mínimo - Asigne la mayor cantidad posible de producto, que sea consistente con la cantidad ofrecida y la demandada, en el casillero libre donde se encuentra el menor costo de toda la tabla. - Actualice los valores de oferta y demanda en la fila o columna respectivos, restando en ambos la cantidad recién asignada. - Elimine los casilleros de la fila o columna para los que el valor de la oferta o demanda se anuló. - Repetir el proceso hasta que todos los valores de oferta y demanda se hayan anulado. - Encontrar el valor de la función objetivo, sustituyendo los valores de Xij encontrados
c) Método de VOGEL - Calcule a un costado y bajo la tabla, la diferencia entre los dos menores costos de cada fila y columna. - En aquella fila o columna donde se produzca la mayor diferencia entre costos mínimos, elija el casillero libre de menor costo y asigne en él la mayor cantidad posible de producto, que sea consistente con la cantidad ofrecida y la demandada. - Actualice los valores de oferta y demanda en la fila y columna del casillero de la última asignación, restando en ambos la cantidad recién asignada. - Elimine de futuras asignaciones los casilleros de la fila o columna para la cual el valor de la oferta o demanda se anuló. - Repita los pasos anteriores hasta que todos los valores de la oferta y demanda sse hayan anulado. - Calcular el valor de la función objetivo. Importante: Si satisface a la vez una columna y fila, anulo solo una arbitrariamente, en la fila o columna que queda completaré con 0.
4. Determinación de la optimalidad Encontrada una solución factible se debe determinar si ella es o no óptima según el siguiente procedimiento: a) Cálculo de los Multiplicadores Dual Para cada variable básica ( tiene sol. Inicial) xij, se asocian los multiplicadores ui y vj, a la fila i y la columna j de la tabla de transporte. Resolvemos la siguiente ecuación ui + vj =cij, para cada variable xij básica Para calcular las ecuaciones hacemos ui=0, arbitrariamente, y a continuación despejar y resolver las variables restantes.
b) Cálculo de los coeficientes de Costo Alternativo Utilizamos ui y vj para evaluar las variables no básicas, de la manera siguiente: ui + vj cij, para cada xij no básica c) Determinar la variable de entrada Emplear la condición de optimalidad simplex, si se satisface detenerse. Como el modelo de transporte busca minimizar costos, la variable de entrada es la que tiene el coeficiente de costo alternativo más positivo.
d) Determinar la variable de salida - Asigne el valor de θ a la variable no básica de entrada. - A partir del casillero donde asignó el valor θ encuentre un ciclo cerrado, de líneas rectas horizontales y verticales ( no diagonales) que inicia y termina allí. - Excepto para el casillero de la variable de entrada, cada esquina del ciclo cerrado debe coincidir con una variable básica. - Siguiendo el recorrido sume y reste θ en las esquinas sucesivas del ciclo. No importa el sentido del recorrido del ciclo. - Los nuevos valores de las variables deben ser positivos, analizarlos y determinar el máximo valor de θ y actualizar la tabla.
Consideraciones especiales - Al encontrar una solución inicial: Si una fila o columna quedan satisfechos a la vez, tachar una de las dos arbitrariamente, la otra es completada en alguno de sus casilleros con 0, de ser necesario. - Si un problema tiene m fuentes y n destinos, entonces debe tener m + n -1 variables básicas de inicio. - Si al realizar los cálculos del ciclo cerrado, dos o más casilleros pueden ser variable de salida, escoger arbitrariamente uno de los dos, y al otro(s) escribir el valor 0.
Ejemplo 2 La compañía Transportes Sol, transporta grano desde tres silos a tres molinos. La oferta y la demanda ( en camionadas) se resume en la tabla siguiente, junto con los costos unitarios de transporte por camionada en las distintas rutas, los cuales están en cientos de $. Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Silo 1 10 2 20 11 15 Silo 2 12 7 9 20 25 Silo 3 4 14 16 18 10 Demanda 5 15 15 15 Oferta
Caso especial $5 $1 $7 10 $6 $4 $6 80 $3 $2 $5 15 75 20 50
Qué APRENDIMOS?