Lógica Proposicional. Sergio Stive Solano Sabié. Marzo de 2012

Lógica Proposicional Sergio Stive Solano Sabié Marzo de 2012

Proposiciones Definición 1.1 Una proposición (o declaración) es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas. Comúnmente se denotan con las letras minúsculas p, q, r, s, t,..., las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural.

Proposiciones Ejemplo 1.1 Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar las proposiciones: 1 p : Hoy es sábado. 2 q : Estudio ingeniería de sistemas. 3 r : New York es llamada la capital del mundo. 4 s : 1 no es un número primo. 5 t : 4 + 3 = 10. 6 v : 3 > 5 7 w : El sol es amarrillo

Proposiciones Ejemplo 1.2 Las siguientes expresiones NO son proposiciones: 1 Viajar en el día. 2 x + 3 = 7. 3 Mirar T.V. 4 De qué color es la mesa? Toda afirmación es verdadera o falsa y no hay una que sea verdadera y falsa al mismo tiempo. Esta suposición la llamamos la Ley del tercero excluido. Una consecuencia de esta suposición es que si una afirmación no es falsa tendrá que ser verdadera.

Operaciones básicas En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como: Ejemplo 2.1 1 Las rosas son rojas y tienen espinas. 2 El tablero es verde o es blanco. 3 En el país no hay violencia. 4 Si estudio lógica matemática entonces seré un destacado ingeniero de sistemas. 5 4 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2.

Operaciones básicas Los términos de enlace, y, o, no, si,...,entonces, si y sólo si, reciben el nombre de Conectivos lógicos, y estas nuevas proposiciones que se obtienen uniendo dos o más proposiciones simples mediante conectivos lógicos se conocen como proposiciones compuestas. Al igual que a las proposiciones, los conectivos lógicos también se les asignan un lenguaje simbólico, así: LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL NOMBRE y Conjunción o Disyunción No Negación Si... entonces Condicional Si y sólo si Bicondicional

Operaciones básicas Ejemplo 2.2 1 p : Las rosas son rojas, q : Las rosas tienen espinas, p q : Las rosas son rojas y tienen espinas.

Operaciones básicas Ejemplo 2.2 2 r : El tablero es verde, s : El tablero es blanco, r s : El tablero es verde o es blanco.

Operaciones básicas Ejemplo 2.2 3 t : En el país hay violencia, t : En el país no hay violencia.

Operaciones básicas Ejemplo 2.2 4 x : Estudio lógica matemática, y : Seré un destacado ingeniero de sistemas, x y : Si estudio lógica matemática entonces seré un destacado ingeniero de sistemas.

Operaciones básicas Ejemplo 2.2 5 u : 4 es un número par, v : 4 es divisible por 2, u v : 4 es un número par si y sólo si es divisible por 2.

Si conocemos los valores de verdad, (V ó F) de las proposiciones simples p y q que componen las proposiciones compuestas p q, p, p q, p q y p q, entonces podremos deducir el valor de verdad de estas. Lo anterior se logra mediante la elaboración de una tabla de verdad, la cual depende del conectivo lógico utilizado y de los valores de verdad (V ó F) de las proposiciones p y q.

Conjunción ( ) p q p q V V V V F F F V F F F F La proposición p q es verdadera si p y q son verdaderas, y falsa si alguna de ellas es falsa. Negación ( ) p V F p F V p es falso cuando p es verdadero y p es verdadero cuando p no lo es. Disyunción ( ) p q p q V V V V F V F V V F F F La proposición p q es falsa si las proposiciones p y q lo son, y verdadera en cualquier otro caso.

Conjunción ( ) p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Se pueden simbolizar los valores de verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso. Negación ( ) p p 1 0 0 1 utilizando el sistema binario, mediante el cual se le asigna1 al valor verdadero y 0 al valor falso. Disyunción ( ) p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Se pueden simbolizar los valores de verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso.

Condicional ( ) p q p q V V V V F F F V V F F V La proposición p q es verdadera si nunca ocurre que p sea verdadera y que q sea falso. Bicondicional( ) p q p q V V V V F F F V F F F V La proposición p q es verdadera si p y q son ambas verdaderas o falsas, y falso en caso contrario.

Condicional ( ) p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Se pueden simbolizar los valores de verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso. Bicondicional( ) p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Se pueden simbolizar los valores de verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso.

Ejemplo 3.1 Elaborar la tabla de verdad de (p q) r. Solución. p q r q r p q (p q) r V V V F F V F V V F F V V V V F V V F V F V F F V V V V F V V F F F F F V F F V F F F F V V F V F F F F V V V V

Ejemplo 3.2 Elaborar la tabla de verdad de (p q) r. Solución. p q r p q (p q) r V V V V V V V F V F V F V F F V F F F V F V V V V F V F V F F F V V V F F F V F

Tautología Definición 4.1 Una tautología es una proposición que siempre es verdadera sin importar el valor de verdad de sus componentes. Ejemplo 4.1 Demostrar que la proposición (p q) ( q p) es una tautología. Demostración. Para verificar la validez de esta proposición es necesario realizar la tabla de verdad de ella:

Tautología p q p q q q p (p q) ( q p) 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 Nótese que en la última columna solamente aparecen valores verdaderos. Luego, por definición la proposición dada es una tautología.

Absurdo o contradicción Definición 4.2 Un absurdo o contradicción es una proposición que siempre es falsa sin importar el valor de verdad de sus componentes. Ejemplo 4.2 Verifique que la proposición (p q) q es una contradicción.

Absurdo o contradicción Solución. Construyamos la tabla de verdad de la proposición dada, así: p q q p q (p q) q V V F F F V F V V F F V F F F F F V F F Por lo tanto esta proposición es una contradicción.

Proposiciones equivalentes Definición 4.3 Dos proposiciones compuestas P y Q se consideran logicamente equivalentes o simplemente equivalentes, y se denota P Q si y sólo si tienen los mismos valores de verdad para cada una de las opciones en la tabla de verdad. Note que lo anteior implica que P Q si y sólo si P Q es una tautología. Ejemplo 4.3 Las proposiciones (p q) y ( q p) son equivalentes puesto que en el ejemplo 4.1 se verificó que (p q) ( q p) es una tautología.

Equivalencias importantes Las siguientes equivalencias son ciertas (es decir los bicondicionales correspondientes son tautologías), y serán muy usadas en la construcción de argumentos validos. Sean P, Q y R proposiciones, entonces: Doble negación ( P ) P Idempotencia 1 P P P 2 P P P Conmutativa 1 P Q Q P 2 P Q Q P Asociativa 1 P (Q R) (P Q) R 2 P (Q R) (P Q) R

Equivalencias importantes Distributiva 1 P (Q R) (P Q) (P R) 2 P (Q R) (P Q) (P R) Leyes de De Morgan 1 (P Q) P Q 2 (P Q) P Q La prueba de todas estas equivalencias se realizan a través de tablas de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes son tautologías.

Equivalencias importantes La siguientes equivalencias se pueden probar a través de tablas de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes son tautologías o derivando resultados de las equivalencias que conocemos hasta el momento. Ejercicios 1 (P Q) ( P Q) (Condicional-negación y disyunción) 2 (P Q) (P Q) (Negación del condicional). 3 (P Q) ( Q P ) (Contrarrecíproco). 4 (P (Q Q)) P (Absorción). 5 (P (Q Q)) P (Absorción). 6 (P Q) ((P Q) (Q P )) (Bicondicional-condicional)

Equivalencias importantes Solución 1 Veamos que (P Q) ( P Q) es una tautología. Elaboremos su tabla de verdad: P Q P P Q P Q (P Q) ( P Q) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V 2 Usando las equivalencias vistas, tenemos: (P Q) ( P Q) Ejercicio 1 ( P ) Q Leyes de De Morgan P Q Doble negación.

Inferencias lógicas Para definir las inferencias lógicas es necesario precisar algunos conceptos tales como razonamiento y demostración. Razonamiento Es el proceso que se realiza para obtener una demostración. Demostración es el encadenamiento de proposiciones que permiten obtener otra proposición, llamada conclusión, a partir de ciertas proposiciones iniciales supuestas como verdaderas, que reciben el nombre de premisas.

Inferencias lógicas Inferencias lógicas Son las conclusiones que se pueden obtener después de realizar un razonamiento, este razonamiento solamente es verdadero si se cumplen las siguientes condiciones: 1 Las premisas deben ser verdaderas. 2 Durante el proceso de deducción las premisas deben relacionarse sujetas a las leyes de la lógica.

Reglas de inferencia A continuación se muestran las Reglas de Inferencia más utilizadas en la derivación de un argumento. La prueba de todas estas implicaciones se realizan a través de tablas de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes son tautologías. Simplificación (S) De P Q podemos inferir P. Esquematicamente, Adición (A) De P podemos inferir P Q. Esquematicamente, P Q P P P Q

Reglas de inferencia Modus Ponendo Ponens (MP) De P Q y P podemos inferir Q. Esquematicamente, P Q P Q Modus Tollendo Tollens (MT) De P Q y Q podemos inferir P. Esquematicamente, P Q Q P

Reglas de inferencia Silogismo Disyuntivo (SD) De P Q y Q podemos inferir P. Esquematicamente, P Q Q P Silogismo Hipotético (SH) De P Q y Q R podemos inferir P R. Esquematicamente, P Q Q R P R

Reglas de inferencia Adjunción (AD) De P y Q podemos inferir P Q. Esquematicamente, P Q P Q Dilema Constructivo (DC) De P Q, R S y P R podemos inferir Q S. Esquematicamente, P Q R S P R Q S

Reglas de inferencia Ejemplo 6.1 Demostrar c a partir de las premisas dadas. Premisa 1: b Premisa 2: a b Premisa 3: a c Demostración. 1. b (P) 2. a b (P) 3. a MT(1,2) 4. a c (P) 5. c MP(3,4)

Reglas de inferencia Ejemplo 6.2 Si un hombre se orienta siempre por su sentido del deber, tiene que renunciar al goce de muchos placeres, y si se guía siempre por su deseo de placer, a menudo olvidará su deber. O bien un hombre se guía siempre por su sentido del deber, o bien siempre se orienta por su deseo de placer. Si un hombre se guía siempre por su sentido del deber, no descuidará a menudo su deber, y si siempre se guía por su deseo de placer, no renunciará al goce de muchos placeres. Luego, un hombre debe renunciar al goce de muchos placeres si y sólo si no descuida a menudo su deber.

Reglas de inferencia Solución. Tomando el siguiente lenguaje formal: P : se orienta por su sentido del deber Q: renuncia al goce de placeres R: se guía por su deseo de placer S: olvidará su deber Las premisas quedan así: 1. P Q 2. R S 3. P R 4. P S 5. R Q Conclusión: Q S.

Reglas de inferencia 1. P R (P) 2. P Q (P) 3. R S (P) 4. Q S DC(1,2,3) 5. P S (P) 6. R Q (P) 7. S Q DC (1,5,6) 8. Q ( S) Doble nagación aplicada en 4. 9. Q S Condicional-negación y disyunción aplicada en 8. 10. S Q Condicional-negación y disyunción aplicada en 7. 11. (Q S) ( S Q) AD(9,10) 12. Q S Bicondicional-condicional aplicado a (10,11)

Funciones proposicionales Definición 7.1 Sea A un conjunto dado. Una función proposicional definida sobre A es una expresión p(x), la cual tiene la propiedad que p(a) es verdadera o falsa para cada a A. El conjunto A es llamado dominio de p(x), y el conjunto T p de todos los elemento de A para los cuales p(a) es verdadero es llamado el conjunto de verdad de p(x). En otras palabras, T p = {x : x A, p(x) es verdadera} Frecuentemente, cuando A es algún conjunto de números, la condició p(x) tiene la forma de una ecuación o inecuación que involucra la variable x.

Funciones proposicionales Ejemplo 7.1 Hallar el conjunto de verdad de cada función proposicional p(x) definida sobre el conjunto N de números naturales. 1 Sea p(x) : x + 2 > 7. El conjunto de verdad es T p = {x : x N, x + 2 > 7} = {6, 7, 8,...} que consiste de todos los naturales mayores que 5. 2 Sea p(x) : x + 5 < 3. El conjunto de verdad es T p = {x : x N, x + 5 < 3} = el conjunto vacío.

Cuantificador universal Sea p(x) una función proposicional definida sobre un conjunto A. Considere la expresión ( x A)p(x) o xp(x) la cual se lee Para todo x en A, p(x) es una declaración verdadera o, simplemente, Para todo x, p(x). El símbolo el cual se lee para todo o para cada es llamado el cuantificador universal.

Cuantificador universal Ejemplo 7.2 1 La proposición ( n N)(n + 4 > 3) es verdadera 2 La proposición ( n N)(n + 2 > 8) es falsa

Cuantificador existencial Sea p(x) una función proposicional definida sobre un conjunto A. Considere la expresión ( x A)p(x) o x, p(x) la cual se lee Existe un x en A tal que p(x) es una declaración verdadera o, simplemente, Para algún x, p(x). El símbolo el cual se lee existe o para algún es llamado el cuantificador existencial.

Cuantificador existencial Ejemplo 7.3 1 La proposición ( n N)(n + 4 < 7) es verdadera 2 La proposición ( n N)(n + 6 < 4) es falsa

Negación de declaraciones cuantificadas Teorema 7.1 (De Morgan) ( x A)p(x) ( x A) p(x) Teorema 7.2 (De Morgan) ( x A)p(x) ( x A) p(x) Ejemplo 7.4 1 ( n N)(n + 4 > 3) ( n N)(n + 4 3). 2 ( n N)(n + 4 < 7) ( n N)(n + 4 7).

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