SOBRE LOGICA MATEMATICA Sandra M. Perilla-Monroy Departamento de Ciencias Básicas, Universidad Santo Tomás, Bogotá, Colombia. Resumen. sandraperilla@usantotomas.edu.co Carrera 9 No 51-11 Bogotá Colombia En éste artículo se presenta una introducción a la lógica clásica. La presentación se hace desde la dimensión semántica resaltando el significado de las proposiciones para determinar su valor de verdad. Desde la sintaxis se presenta la dimensión estructural en la construcción de las proposiciones. La lógica como sistemas de representación de procesos de razonamiento se presenta haciendo énfasis en los procesos argumentativos desde las reglas de inferencia, y como complemento se enuncian algunos métodos directos e indirectos de demostración. El objetivo es que especialmente los estudiantes cuenten con más herramientas que les permitan hacer razonamientos sobre la verdad o la falsedad de una proposición dada. Palabras claves: lógica clásica, proposiciones, conectivos lógicos, técnicas de demostración. Introducción Este artículo sobre Lógica matemática surge teniendo en cuenta la dificultad de algunos estudiantes al momento de decidir y justificar si un enunciado es válido; en parte su dificultad puede ser porque no conocen la lógica matemática que es la que les permite expresar clara y organizadamente sus razonamientos y porque no cuentan con técnicas de demostración. El objetivo de éste artículo es entonces hacer una introducción a la lógica clásica para que los estudiantes tengan más herramientas a la hora argumentar sobre la validez de una proposición.
Metodología Se hará un estudio de los principales elementos con que cuenta la lógica clásica, sus axiomas, sus reglas para conectivos y cuantificadores y sus reglas de inferencia. Se darán algunas técnicas de demostración y se mostrarán algunos ejemplos. Lógica Matemática La lógica matemática es el lenguaje de la matemática, la lógica nos ayuda a organizar nuestros razonamientos y nos permite expresarlos de manera correcta. Mediante las reglas de la lógica matemática podemos determinar si una proposición es verdadera o no, además la lógica matemática nos da también reglas de inferencias que nos permiten a partir de proposiciones verdaderas mostrar la validez de razonamientos. El lógico o el matemático construyen una teoría a partir de las premisas como las abejas construyen el panal o como cualquier constructor edifica su obra a partir de materiales apropiados y mediante conocimientos previamente adquiridos. Acabada la obra, los materiales resultan estructurados gracias a las reglas de construcción [2] Es de este modo como en una lógica cualquiera, se debe tener un conjunto de conocimientos adquiridos que son los axiomas, un conjunto de materiales que son nuestras proposiciones y un conjuntos de reglas de formación que son las reglas de inferencia, las reglas para los conectivos y cuantificadores y las reglas estructurales. Lógica clásica Hay que decir que la lógica con la que se trabaja en nuestros cursos de cálculo y de álgebra es la lógica clásica, en la que sólo se tienen dos valores de verdad: verdadero (1) y falso (0), y que por lo cual resulta ser una lógica bastante eficiente ya que si por ejemplo es difícil demostrar que una proposición es verdadera, entonces tenemos otro camino que es demostrar que la negación de la proposición es falsa, es decir dada una proposición ella es verdadera o es falsa. Definición 1: Una proposición es un enunciado del cual se puede decir si es falso o verdadero, pero no ambos. Por ejemplo son proposiciones: i) Dos es un número primo. ii) -19+50=31. iii) 24 es un número cuadrado perfecto. iv) Todo número real multiplicado por cero es igual a cero. v) 2+3=19 vi) Si f es una función continua entonces f es una función derivable
vii) Si f es una función derivable entonces f es una función continua viii) Para y matrices de orden n, ix) Si A es una matriz y entonces x) 2 es un número primo y 24 es un cuadrado perfecto De ellas son verdaderas i, ii,iv,vii,viii y ix; y son falsas iii,v,vi,viii y x. Las proposiciones pueden ser atómicas o compuestas, por ejemplo son atómicas las proposiciones i) a v) y son compuestas las proposiciones vi) a x), las proposiciones compuestas se obtienen a partir de otras proposiciones combinándolas mediante conectivos lógicos. Los conectivos para la lógica clásica son: i) La negación: es un conectivo unario es decir actúa sobre una sóla proposición y su símbolo es o también se utiliza ~. Su tabla de verdad es: p p 0 1 1 0 Esto es si partimos de una proposición p que es falsa entonces su negación p es verdadera, y si p es verdadera entonces p falsa. Por ejemplo la proposición es falsa. es una proposición verdadera, y ii) Disyunción: la disyunción de dos proposiciones p, q es la proposición que se lee p o q. La tabla de verdad para la disyunción es: iii) p q p 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Notemos que una disyunción de dos proposiciones es falsa únicamente cuando las dos proposiciones son falsas, y en cualquier otro caso siempre es verdadera. Conjunción: la conjunción de dos proposiciones p, q es la proposición que se lee p y q. La tabla de verdad para la conjunción es: p q p 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
La conjunción de dos proposiciones es verdadera únicamente si las dos proposiciones son verdaderas. iv) Condicional: el condicional de dos proposiciones p y q es la proposición, se lee si p entonces q o p implica q o p es necesaria para q. La tabla de verdad para el condicional es : p q p 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Así una proposición condicional es falsa sólo si de una proposición verdadera se llega a una proposición falsa, en los otros casos es verdadera. p se conoce como el antecedente y q como el consecuente. v) Bicondicional: el bicondicional de dos proposiciones p y q es la proposición, se lee p si y solo si q, o p equivale a q. La tabla de verdad para la equivalencia es : p q p 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Una proposición bicondicional de verdad. es verdadera si ambas p y q tienen el mismo valor Tautologías, contradicciones y contingencias: una proposición p compuesta de proposiciones se dice que es una tautología si para todos los valores de verdad que tomen p resulta ser verdadera. p es una contradicción si para cualesquiera valores de verdad que se les asigne a, p resulta ser falsa. Y p se dice que es una contingencia si su valor de verdad depende de los valores de verdad que tomen.
Por ejemplo la proposición es una tautología, es una contradicción y es una contingencia. p p p p 0 1 1 1 0 1 p p p p 0 1 0 1 0 0 p p p p 0 0 0 1 1 1 Recíproca y contra recíproca: dada una implicación se define la recíproca de ésta implicación como y la contra recíproca como, si hacemos la tabla de verdad de la proposición vemos que es una tautología, esto es la contra recíproca de una implicación siempre es equivalente a ella. Así que si queremos demostrar una implicación podemos hacerlo también demostrando su contra recíproca. La proposición si f es una función derivable entonces f es una función continua es una implicación que es verdadera; su recíproca sería si f es una función continua entonces f es derivable y sabemos que ésta proposición es falsa ya que por ejemplo la función es una función continua en x=0 pero no es derivable. Pero la contra recíproca si f no es continua entonces f no es derivable por ser equivalente es verdadera también. Predicados y cuantificadores. La expresión x es positivo no es una proposición pues no se puede decidir si es falsa o verdadera, pero si a x se le da un valor numérico entonces la afirmación se convierte en una proposición. Enunciados como el anterior se denominan predicados y existen dos formas de convertirlos en proposiciones una es asignando valores numéricos a la x o la otra es por medio de los cuantificadores. En la lógica clásica se manejan dos cuantificadores: el cuantificador universal cuyo concepto es para todo y el cuantificador existencial cuyo concepto es existe así por ejemplo las siguientes expresiones son proposiciones: El cuadrado de todo número real es no negativo Existe un número natural que al sumarle 5 da 12 La suma de dos matrices simétricas es simétrica Veamos cómo actúa la negación para cada uno de estos cuantificadores:
Reglas de Inferencia: en la lógica clásica tenemos además de las reglas para conectivos, reglas para inferencia que nos permiten a partir de proposiciones dadas que llamaremos premisas o hipótesis deducir otras proposiciones que llamamos conclusiones o tesis. Algunas de las reglas de inferencia para la lógica clásica son: Modus Ponens: Modus Tollens: Adición: Ley de Simplicación: Silogismo Hipotético: Silogismo Disyuntivo: Veamos el uso de algunas de ellas: 1. Si una función es derivable en un punto entonces la función es continua en ese punto. Si una función es continua en un punto entonces el límite de la función alrededor de ese punto debe existir. Así usando el silogismo hipotético se puede concluir que si una función es derivable en un punto entonces el límite de la función alrededor de ese punto debe existir. 2. Si el estudiante estudia juicioso entonces aprobará la asignatura. El estudiante ha estudiado juiciosamente. El estudiante aprueba la asignatura. (Modus Ponens) 3. 2 es un número primo. Luego es cierto que dos es un número primo o 5 es un número par. (Ley de adición). 4. Si una función es polinómica entonces la función es continua. no es continua. Luego por modus Tollens podemos concluir que no es polinómica.
Métodos de demostración. La demostración es el corazón de las matemáticas (Larry Cusick) Una demostración es una sucesión de afirmaciones que representan una argumentación de la validez de un enunciado matemático, en ésta sucesión de proposiciones podemos incluir axiomas, o proposiciones ya demostradas o definiciones ya establecidas. Demostración Directa: si queremos demostrar una implicación en forma directa entonces debemos suponer que p es verdadera y llegar a concluir que q también lo es. Demostración indirecta o contra recíproca: para demostrar la implicación en forma indirecta entonces debemos suponer que q es verdadera y llegar a concluir que q también lo es. Demostración por contradicción o reducción al absurdo: es similar a la demostración indirecta, lo que se hace para demostrar la implicación por contradicción es suponer que se tiene p pero, que no se tiene q, es decir que q es falsa y llegar a una contradicción. Este tipo de demostración lo podemos utilizar en general para cualquier proposición como se había dicho al principio del artículo, si es difícil demostrar que una proposición p es verdadera entonces podemos demostrar que la proposición p es contradictoria. Demostración por inducción matemática La inducción matemática es una técnica de demostración que se utiliza para demostrar proposiciones cuya validez se tiene en subconjuntos de los números naturales. La prueba por inducción para una proposición P(n) tiene dos pasos: Paso Básico: probar la proposición P(1) o probar la proposición para el menor natural que diga el enunciado. Paso de inducción: suponer que P(n) es verdadera y probar que se tiene la proposición para n+1 es decir probar que P(n+1) es verdadera. Para entender un poco más la prueba por inducción matemática hagamos la siguiente analogía, supongamos que se tiene una escalera con muchos escalones si logramos llegar al primer escalón y siempre que estemos en un escalón aseguramos que podemos subir al siguiente escalón entonces podemos asegurar que recorreremos toda la escalera, así funciona la prueba por inducción matemática, el paso básico es mostrar que se puede llegar al primer escalón y el paso por inducción es mostrar que si estamos en un escalón n podemos subir al siguiente n+1. Veamos por último la demostración de algunas proposiciones. Proposición 1: Si A es una matriz cuadrada y entonces o
Demostración por prueba directa. Sea A una matriz cuadrada y supongamos que entonces sacando el determinante a ambos lados de la igualdad tenemos que, esto es que, entonces Proposición 2:, luego que, Demostración por contradicción o por reducción al absurdo. Supongamos entonces que no es irracional, esto es que es racional, entonces con p y q primos relativos entonces elevando al cuadrado, luego, entonces es un múltiplo de 2 y por lo tanto, reemplazando entonces tendríamos que, esto es, y, lo que implicaría que también sería múltiplo de 2 lo que es una contradicción porque habíamos dicho que y son primos relativos. Como la contradicción vino de suponer que es racional, entonces debe ser irracional. Proposición 3: La suma de dos matrices simétricas del mismo tamaño es una matriz simétrica. Quiero en este momento hacer referencia a la respuesta que dan mis estudiantes cuando les pregunto si la proposición anterior es falsa o verdadera. Ellos dicen que la proposición es verdadera y dan un ejemplo de dos matrices simétricas que al sumarlas les dio simétrica también: Por qué debo evaluar la anterior justificación como incorrecta? Porque con un ejemplo no se puede demostrar que una proposición es verdadera para un conjunto infinito de casos. Pensemos en la siguiente proposición todas las rosas del jardín son rojas cómo le probarían a alguien que lo anterior es cierto, podrían mostrar solo una rosa roja y con esto lograría convencer a la otra persona? creo que no, para convencer tendrían que mostrar todas las rosas. Pero si por el contrario la afirmación todas las rosas del jardín son rojas fuera falsa ahí sí con tan solo mostrar una rosa de otro color ya estaría probado que la afirmación es falsa. Entonces cuando queremos probar que una proposición se tiene para todos los elementos de un conjunto no basta con mostrar un ejemplo, se debe hacer una demostración mediante el uso de definiciones o propiedades en la que se incluyan a todos los elementos del conjunto, y si por el contrario queremos mostrar que una proposición es falsa en un conjunto,
entonces basta con mostrar un contraejemplo es decir un elemento del conjunto que no cumpla la condición. Entonces debido a que la proposición La suma de dos matrices simétricas del mismo tamaño es una matriz simétrica, es verdadera, debemos proporcionar una demostración de ello que incluya a todas las matrices simétricas. Demostración directa: La demostración se hace entonces considerando a A y B dos matrices simétricas cualesquiera que tengan el mismo tamaño, y demostrando que cuando se haga la suma A+B se obtiene una matriz que también es simétrica, para ello se utiliza la definición de matriz simétrica y las propiedades de la transpuesta: Debemos ver que A+B es simétrica es decir que, pero como por propiedades de la transpuesta y como A y B son simétricas entonces y por lo tanto A+B es simétrica. Veamos ahora una demostración por inducción matemática. Proposición 4: para cada número natural n la suma 1+2+ +n es igual a Dem: Paso Básico: se demuestra la proposición para n=1 1=. Paso de inducción: se supone que la proposición es cierta para n y se demuestra para n+1. Suponemos que y debemos probar que 1 Conclusiones Se mostraron diferentes técnicas de demostración y se dieron ejemplos de cada una de ellas. Se enfatiza en la forma de validar el valor de verdad de una proposición en la lógica clásica a partir de hechos particulares. Se resalta que la veracidad no se puede determinar solo a través de ejemplos particulares, y que por el contrario para demostrar que una proposición no es verdadera es suficiente mediante un contra ejemplo.
Referencias Bibliográficas: [1] ALLENDOERFER, Carl. (1990) Matemáticas Universitarias. Cuarta Edición. Mc Graw Hill. [2] CAMPOS, Alberto. (2006) Introducción a la historia y a la filosofía de la matemática. Universidad Nacional de Colombia. [3] ESPINOSA, Ramón. (2010) Matemáticas Discretas. Primera Edición. Alfaomega. [4] KOLMAN, Bernard. (1995). Estructuras de matemáticas Discretas para la Computación. Tercera Edición. Prentice Hall. [5] ZALAMEA, Fernando. (2007). Fundamentos de Matemáticas. Primera Edición. Universidad Nacional de Colombia.