5 Las Funciones Trigonométricas Sección 5.1 Angulos
Introducción Si comenzamos con un rayo fijo l 1, que tiene un extremo nombrado O, y rotamos el rayo en el plano sobre O in a plane, hasta llegar a la posición nombrado por l 2 formamos un ángulo. Llamamos l 1 el lado inicial, l 2 el lado terminal, y al O el vértice de AOB. Si no restringimos ni el tamaño ni la dirección de la rotación, encontraremos que muchos ángulos comparten el mismo lado inicial o el mismo lado terminal.
Introducción Dos ángulos cualesquiera que comparten lado el lado terminal o el lado inicial se conocen ángulos coterminales.
Posición Estándar En un sistema de coordenadas rectangulares, la posición estándar de un ángulo se obtiene colocando el vértice del ángulo en el origen y dejando que el lado inicial coincida con la parte positiva del eje de x. Si l 1 se rota en la dirección en contra de la manecillas del reloj, hacia el lado terminal, entonces el ángulos se considera positivo.
Posición Estándar (cont.) Si l 1 se rota a favor de la maneciallas del reloj, entonces el ángulo que se construye en un ángulo negativo
Posición Estándar Si el lado terminal de un ángulo que está en posición estándar se encuentra en un cierto cuadrante del plano cartesiano, decimos que el ángulo está en ese cuadrante Ej. En la figura, α está en el cuadrante III,
Una medida del ángulo: Grados El ángulo, en posición estándar, que se obtiene luego de una rotación completa en contra de las maneciallas del reloj tiene una medida de 360 grados, que se escribe 360.
Una medida del ángulo: Grados
Una medida del ángulo: Grados
Ejemplo Si θ = 60 esta en posición estándar, hallar la medida de dos ángulos coterminales con θ, dos positivos y dos negativos. Solución : Elegimos los ángulos más pequeños o Para determinar dos ánglulos positivos coterminales, sumanos 360 o 720, a la medida de θ o Para determinar dos ánglulos negativos coterminales, sumanos 360 o 720, a la medida de θ para obtener
Solución (cont.) 60 + 360 = 420 y 60 + 720 = 780
Solución (cont.) 60 + ( 360 ) = 300 y 60 + ( 720 ) = 660
Tipos de ángulos Se describen algunos tipos de ángulos:
Medidas de ángulos Si necesitamos utilizar una medida más pequeña que un grado, podemos referirnos a esta medida como una parte decimal de un grado. Ej θ mide 55.5 o θ
Minutos y Segundos También el grado se divide en o 60 parts iguales, llamadas minutos ( y que se denotan ), y o cada minuto se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos (y que se denotadan ). o Por lo tanto, 1 o = 60, y 1 = 60 Ej: Si θ mide 55.5 o entonces mide 55 o 30
Conversiones A menudo las medidas se encuentran en grados decimales. Ej 121.135, en lugar de grados minutos y segundos Para convertir un valor decimal al sistema sexagesimal: Multiplica el decimal por 60. En el ejemplo, 0,135 * 60 = 8.1 Esto es equivalente en minutos a 8 El decimal del paso anterior se multiplica por 60. En el ejemplo anterior, 0.1 * 60 = 6. El número resultante representa los segundos. Los tres números se escriben utilizando los símbolos de grados ( ), minutos (') y segundos (") En el ejemplo 121.135 = 121 8 6"
Conversiones Para convertir del sistema sexagesimal a un valor decimal: La parte entera se queda igual. Divida los minutos entre 60. Divide los segundos entre 3600. Sume los tres números Ejemplo: Convertir 40 o 20 50 a decimal. 40 + (20/60) + (50/3600)
Relaciones entre ángulos Si θ es la medida de un ángulo central de un círculo de radio r, entonces: β es el ángulo complementario de θ si β = 90 θ. β es el ángulo suplementario de θ si β = 180 θ.
Ejemplo Determinar el ángulo que es complementario a θ si: a) θ = 25 43 37 b) θ = 73.26 Solución: a) Debemos hallar 90 θ. Para restar las dos medidas expresamos 90 en una forma equivalente, 89 59 60.
Solución (cont.)
Otra medida: el radian Cuando estudiemos las funciones trigonométricas, vamos a medir los ángulos en radianes para que los valores del dominio y del rango puedan ser medidos en escalas comparables.
El ángulo central de un círculo mide un radián si el arco interceptado por el ángulo tiene la misma longitud que el radio. Un radián
Medida en radianes(cont.)
Cuántos radianes hay en un Hay 360 grados en un círculo. Cuántos radianes hay? Hay un poco más de 6 radianes en un círculo De hecho, hay exactamente 2π radianes en un círculo 2 x 3.14159 6.28 círculo?
Grados vs. Radianes (cont.) Un ángulo que mide 2π radianes corresponde a una medida en grados de 360, por lo tanto 360 = 2π radianes. Esto nos lleva a lo siguiente:
Grados vs. Radianes (cont.) Noten que cuando se utiliza la medida de radian, por costumbre no se indican unidades. Por ejemplo, si un ángulo tiene una medida de 5 radianes, escribiremos θ = 5 y no θ = 5 radianes. Si θ se mide en grados escribiremos θ = 5, y no θ = 5.
Grados vs. Radianes (cont.) Para cambiar de una medida a otra podemos usar la proporción Ejemplo 1: Convertir 120 o a radianes Solución: Usando proporciones: π 111 = x 111 111π 111 = x Esto simplifica a x = 2π 3 Podemos notar que, en este caso, resolver la proporción es equivalente a multiplicar por π 111.
Grados vs. Radianes (cont.) Ejemplo 2: Convertir 6π 5 a grados Solución: Usando proporciones: 111 π 1111π 5 π = x 6π 5 x = 222 o = x Podemos notar que, en este caso, resolver la proporción es equivalente a multiplicar por 111 π.
Ejemplo Convertir entre medidas: a) b) Eliminar el factor común de 45. Eliminar el factor común de 4π.
Ejemplo Convertir θ = 3 a grados, minutos, y segundos:
Longitud de un arco circular Un arco circular es un trozo o una parte de la longitud de la circunferencia Si un arco de largo s, en un círculo de radio r, está suspendido sobre un ángulo central, θ, (medida en radianes) entonces s= r θ (la longitud del arco es igual al radio del círculo por la medida del ángulo central en radianes)
Longitud de un arco circular Calcule la longitud del arco circular, s, si el círculo tiene radio igual a 12 cm y el ángulo suspendido mide 60 o. s = r θ cm
Area de un sector circular Si θ es la medida en radianes de un ángulo central de un círculo de radio r, entonces el área del sector circular está dado por: A = 1 2 r2 θ
Ejemplo El ángulo central, θ, está suspendido sobre un arco de longitud igual a 10 cm en un círculo de radio igual a 4 cm. a) Aproxime la medida de θ en grados. b) Encuentre el área del sector circular determinado por θ.
Solución Parte A: Hallar θ: Convertir de radianes a grados.
Solución (cont.) Parte B : Encuentre el área del sector circular determinado por θ.
Ejemplo Determinar el ángulo que es suplementario a β=2. Solución: Si β = k radianes entonces 1. su ángulo complementario es el ángulo que mide π β 2 2. su ángulo suplementario es el ángulo que mide π β NOTE que β = 2 es un ángulo del segundo cuadrante por que π 1.57 < 2 y π 3.14 > 2. 2
Solución (cont.) Como β=2 es un ángulo del segundo cuadrante, el ángulo suplementario a β es π 2 dd fffff eeeeee π 2 1.14
Movimiento circular Si un punto se mueve a lo largo de un círculo; su movimiento tiene dos características: la distancia recorrida va cambiando el ángulo central, θ, va cambiando
Movimiento circular La velocidad angular es la razón a la que el ángulo central, θ, va cambiando ω = θ t La velocidad lineal es la razón a la que está cambiando la distancia recorrida, s, en un el tiempo t v = s t
Ejemplo Un niño gira una piedra con una honda de 3 pies de largo a una velocidad de 15 revoluciones cada 10 segundos. Encuentre la velocidad angular y la velocidad lineal de la piedra. Solución En 10 segundos, la piedra da 15 vueltas completas a un círculo. Por lo tanto, θ cambia a 15 2π ω = θ 15 2π = t 10 ω = 3π rad/seg
Solución (cont.) Cada vuelta que da la piedra tiene una longitud igual a la circunferencia del círculo. Por lo tanto, s, cambia a 15 2ππ, donde r es el radio del círculo v = s 15 2π 3 = t 10 v = 9π pies/seg
Movimiento Circular Podemos observar que hay una relación entre ambas velocidades. Si despejamos una fórmula para t, t = θ ω Y sustituimos en la otra v = s t v = s θ ω v = sω θ Como s = rθ tenemos que r = s θ. Entonces, v = rω
Ejemplo Una mujer va en una bicicleta cuyas ruedas tienen 26 pulgadas de diámetro. Si la ruedas giran a 125 revoluciones por minuto encuentre la velocidad a la que está viajando la bicicleta. Solución La rueda gira 125 veces en un minuto. Por lo tanto, θ cambia a 125 2π ω = θ 125 2π = t 1 ω = 250π rad/min v = rω v = 13 250π v 10, 222 pppp/mmm v 9. 7 mm/h
Notas adicionales
Grados vs. Radianes (cont.) Aquí se muestran dibujos de algunos ángulos.
Grados vs. Radianes (cont.)
Angulos comunes Esta tabla muestra la medida en grados y radianes de ángulos especiales: