03 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales 1
Contenido Variables aleatorias discretas: función de probabilidad y de distribución Variables aleatorias continuas: función de densidad y de distribución Características de las variables aleatorias: valor esperado, varianza Aplicación práctica, representaciones 2
Variable aleatoria Sea Ω un espacio muestral. Una función se conoce como variable aleatoria Nota: la definición real es en verdad algo más complicada. Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/random_variable#formal_definition
La variable aleatoria transforma los resultados del espacio muestral en cantidades numéricas. La letra mayúscula X denota la función (la variable aleatoria). La letra minúscula x denota el valor que toma la variable aleatoria, es decir, x=x(ω)
Lanzamientos de dos dados X denota la suma de los resultados de las dos caras Valor de la variable aleatoria Resultado (ω) (1,1) (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6) (2,1) (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5) (3,1) (3,2), (3,3), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) (4,1) (4,2), (5,1) (4,3), (5,2), (6,1) (5,3), (6,2) (6,3) x := X(ω) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Número de Probabilidad ocurrencias 1 1/36 2 2/36 3 3/36 4 4/36 5 5/36 6 6/36 5 5/36 4 4/36 3 3/36 2 2/36 1 1/36 =1
Una variable aleatoria X es discreta si D tiene una cardinalidad finita o infinita contable (es decir si los elementos de D se pueden poner en una correspondencia uno a uno con los números naturales) Una variable aleatoria X es continua si D tiene una cardinalidad infinita no contable, es decir si D está formado por intervalos de la recta real
Descripción probabilista de las variables aleatorias Las variables aleatorias discretas se describen mediante: Función de Masa de Probabilidades (FMP) Función de Distribución de Acumulada (FDA) Las variables aleatorias continuas se describen mediante: Función de Densidad de Probabilidades (FDP) Función de Distribución de Acumulada (FDA)
Función de Masa de Probabilidades Definición matemática
Función de Masa de Probabilidades Una función de masa de probabilidades (FMP) es una funcion que dice la probabilidad que una variable aleatoria discreta tome exactamente un valor. Una FMP. Observe que todos los valores de esta función son nonegativos y suman 1. Una FMP de un dado equilibrado. Todos los números en el dado tienen igual probabilidad de aparecer.
Graficando FMPs en MATLAB
Propiedades de la FMP Las FMP deben satisfacer las siguientes propiedades:
La función Delta de Dirac
Representación de una FMP utilizando Deltas de Dirac
Ejemplo Para verificar la calidad de un lote de cilindros de concreto, un ingeniero extrae al azar 3 muestras. Suponiendo que la probabilidad que el cilindro no cumpla las especificaciones es del 10%, cual es la probabilidad que: a) los tres cilindros cumplan con las especificaciones b) sólo dos cilindros cumplan con las espeficicaciones c) sólo un cilindro cumpla con las espeficicaciones d) ninguno de los cilindros cumpla con las especificaciones
s cilindro que cumple con las especificaciones n cilindro que NO las cumple P(s) = p P(n) = 1-p P[0 OK] = (n,n,n) = (1-p)(1-p)(1-p) = (1-p)3 P[1 OK] = (n,n,s)+(n,s,n)+(s,n,n) = 3(1-p)2p P[2 OK] = (n,s,s)+(s,s,n)+(s,n,s) = 3p2(1-p) P[3 OK] = (s,s,s) = p3
En el caso del ejemplo p = 0.90, siendo la FMP: P[0 OK] = (1-p)3 = (0.1)3 = 0.001 P[1 OK] = 3(1-p)2p = 3 (0.1)2 x 0.9 = 0.027 2 2 P[2 OK] = 3p (1-p) = 3 (0.9) x 0.1 = 0.243 3 3 P[3 OK] = p = (0.9) = 0.729
En la práctica de control de calidad, el ingeniero debe tomar la decisión acerca de si el material se encuentra dentro de las especificaciones o no basado en una observación de dos muestras malas en una muestra de tamaño tres. Suponiendo que el material es satisfactorio, la probabilidad de tal suceso es muy pequeña (2,7%), y por lo tanto, el ingeniero decidirá usualmente que el material no cumple con las especificaciones.
Ejemplo lanzamiento de una moneda
Función de Densidad de Probabilidades (FDP)
Motivación Las FDPs se pueden entender como el límite de un histograma cuando el ancho de cada subintervalo tiende a cero. Cuando la altura de una persona es 172 cm, es lógico entender como [171.5 cm, 172.5 cm]; por lo tanto, en el caso continuo es más lógico visualizar las probabilidades de intervalos que de un punto en particular.
Interpretación de la FDP La FDP fx del caso continuo se debe entender de forma diferente a la FMP px del caso discreto. Con las FMPs, la probabilidad que x tome un valor específico puede ser diferente de cero. Con las FDPs, la probabilidad que x tome un valor específico x es cero.
Interpretación de la FDP Por lo tanto, la FDP no representa la probabilidad que X=x. Mas bien proporciona un medio para determinar la probabilidad de un intervalo a X b. El valor de fx(x) solo es una medida de la densidad o intensidad de la probabilidad en el punto.
Ejemplo 1 de FDPs
Ejemplo 2 de FDPs
Variables aleatorias mixtas http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/maniza http://caminos.udc.es/info/asignaturas/obras_public
Función de Distribución de Acumulada (FDA)
FDA de una función de masa de probabilidades (FMP) FDA de una función de densidad de probabilidades continua FDA de una función de densidad de probabilidades que tiene un componente continuo y una parte discreta.
Función de Distribución de Acumulada (FDA)
Continuidad por la derecha y por la izquierda Función continua por la derecha Función continua por la izquierda
Función de Distribución de Acumulada (FDA)
FMP vs FDA
Gráfico 1 de la FDA discreta
Gráfico 2 de la FDA discreta
Propiedades de la FDA discreta
Ejemplo 1 FDA discreta
Ejemplo 2 FDA discreta
FDP vs FDA
Gráfico 2 de la FDA continua
Propiedades de la FDA continua
Ejemplo 1 FDA continua
Ejemplo 2 FDA continua
FDP de una función g(x)
Valor esperado de una variable aleatoria El valor promedio de una variable aleatoria después de un número grande de experimentos es su valor esperado.
Valor esperado de una variable aleatoria
Valor esperado de una variable aleatoria Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/riemann-stieltjes_integration http://en.wikipedia.org/wiki/cauchy_distribution
Propiedades del valor esperado
http://en.wikipedia.org/wiki/expected_value El valor esperado se puede asociar al centro de gravedad de la FDP. Otra propiedad del valor esperado es:
Valor esperado de una función g(x)
Valor esperado de una función g(x) Tenga en cuenta que Otra propiedad del valor esperado es:
Importancia práctica del valor esperado En un problema físico, en que un fenómeno tiene como modelo una variable aleatoria, generalmente el número más significativo que el ingeniero puede obtener es el valor medio de esa variable; es una medida de la tendencia central de la variable y muchas veces, si se van a hacer observaciones repetidas del fenómeno, del valor alrededor del cual se pude esperar la dispersión. La media muestral de muchas de tales observaciones estará con alta probabilidad muy cerca a la media de la variables aleatoria fundamental.
Ejemplo 1 valor esperado
Ejemplo 2 valor esperado
FDP condicional Suponga que estamos interesados en la distribución de la demanda o carga X dado que sea mayor que algún valor de umbral x0. HACER GRAFICO FDP truncada
Esperanza condicional
Ejemplo 1 esperanza condicional
Ejemplo 2 esperanza condicional
Momentos de una variable aleatoria Los momentos de una variable aleatoria X son los valores esperados de ciertas funciones de X. Estas forman una colección de medidas descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la distribución de probabilidad de X y especificarla si todos los momentos de X son conocidos. A pesar de que los momentos de X pueden definirse alrededor de cualquier punto de referencia, generalmente se definen alrededor del cero (momentos no centrales) o del valor esperado de X (momentos centrales).
Momentos no centrales
Momentos centrales
Algunos momentos centrales
Tenga en cuenta que todas las proposiciones anteriores con respecto a los momentos se encuentra sujetas a la existencia de las sumas o integrales que las definan. El uso de los momentos de una variable aleatoria para caracterizar a la FDA es útil especialmente en un medio en el que el experimentador conozca la FDA.
Media en MATLAB y MS EXCEL
Varianza La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria.
Propiedades de la varianza
Varianza en MATLAB y MS EXCEL
Coeficiente de variación (C.O.V.) Se utiliza en control de calidad No confundir con la covarianza
Coeficiente de asimetría (skewness) G1 < 0 distribución asimétrica negativamente G1 > 0 distribución asimétrica positivamente
Tercer coeficiente de asimetría en MATLAB y MS EXCEL
Coeficiente de apuntalamiento (curtosis)
Coeficiente de apuntalamiento en MATLAB y MS EXCEL
Otras medidas de tendencia central y dispersión La media de una variable aleatoria es generalmente la medida preferida de tendencia central. Sin embargo, en algunas situaciones la mediana y en menor grado la moda, pueden ser mediadas de tendencia central mucho más apropiadas. Por ejemplo, en distribuciones unimodales cuya asimetría es grande, el valor esperado de la variable aleatoria puede verse afectado por los valores extremos de la distribución, mientras que la mediana no lo estará.
Para distribuciones unimodales se tiene que:
Desigualdad de Chebyshev
Mediana de una CDF... ver notas http://en.wikipedia.org/wiki/median
mode won't. # ExceptModa for extremely small samples, the mode de una FMP/FDP is insensitive to "outliers" (such as occasional, rare, false experimental readings). The median is also very robust in the presence of outliers, while the mean is rather sensitive. # In continuous unimodal distributions the median lies, as a rule of thumb, between the mean and the mode, about one third of the way going from mean to mode. In a formula, median (2 mean + mode)/3. This rule, due to Karl Pearson, is however not always true and the three statistics can appear in any order.[ 76
77
FDA empírica Hay una función en MATLAB... 78
Quantiles http://en.wikipedia.org/wiki/quantile En MATLAB quantile 79
http://en.wikipedia.org/wiki/law_of_total_varian ce 80