04 Funciones de masa de probabilidad. Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

Transcripción

1 04 Funciones de masa de probabilidad Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales 1

2 Contenido FMP Bernoulli FMP binomial FMP Poisson FMP geométrica 2

3 Sobre la selección de las FMPs/FDPs La elección de una FMP/FDP para representar un fenómeno de interés práctico debe estar motivada tanto por la compresión de la naturaleza del fenómeno en sí, como por la posible verificación de la FMP/FDP seleccionada a través de la evidencia empírica. 3

4 FMP de Bernoulli El espacio muestral está compuesto por dos sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos: Ω = {éxito, fracaso} Ejemplos: La muestra de especificaciones? material satisface las El vehículo dobla a la izquierda? o no. Falla una estructura ante ciertas condiciones? 4

5 FMP de Bernoulli La variable aleatoria de Bernoulli es: Y la FMP de Bernoulli es: 5

6 FMP de Bernoulli Valor esperado: Varianza: la varianza es máxima cuando p = 0.5 6

7 FMP de Bernoulli Una realización de una FMP de Bernoulli se llama experimento de Bernoulli. Cuando se realizan varios experimentos de Bernoulli y estos son mutuamente independientes y cuando la probabilidad de éxito no cambia, se le llama a la sucesión de experimentos ensayos de Bernoulli (Bernoulli trial). 7

8 FDP de Bernoulli en MS EXCEL/MATLAB Utilice la FMP Binomial con n=1 8

9 Ejemplo FMP Bernoulli 9

10 FMP Binomial X~B(n,p) Consideremos n ensayos de mutuamente independientes, tal que: Bernoulli, p es la probabilidad de éxito (u ocurrencia) 1-p es la ocurrencia) probabilidad de fracaso (no es constante. Si X es la variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos, el interés está entonces en determinar la probabilidad de obtener exactamente X(ω)=x éxitos durante los n ensayos. 10

11 FMP Binomial X~B(n,p) La probabilidad de tener en n ensayos x éxitos consecutivos seguidos de n-x fracasos consecutivos es: La probabilidad de obtener exactamente x éxitos y n-x fracasos en cualquier otro orden es la misma, puesto que los factores p y 1-p no tienen ningún orden particular. 11

12 FMP Binomial X~B(n,p) Tomando el número de combinaciones de n objetos tomando x a la vez se obtiene: Recuerde que la combinatoria está dada por: La FDA Binomial es entonces: 12

13 FMP Binomial X~B(n,p) 13

14 Momentos de la FMP Binomial Media: Media cuadrática: Varianza: 14

15 FMP Binomial vs FMP Bernoulli La FMP Binomial se reduce a la FMP Bernoulli cuando n=1: 15

16 Aplicaciones de la FMP Binomial Control de calidad: un proceso de manufactura produce un determinado producto en el que algunas unidades se encuentran defectuosas. Si la proporción de unidades defectuosas producidas en este proceso es constante durante un periodo razonable y si como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un número determinado de unidades, entonces las suposiciones de probabilidad con respecto al número de artículos defectuosos puede hacerse mediante el empleo de la FMP binomial 16

17 Aplicaciones de la FMP Binomial Publicidad: si la probabilidad de venta es constante para todas las personas, la FDP binomial es adecuada, puesto que las personas tienen un criterio independiente para comprar. Construcción: de 5 cilindros de concreto se extraen dos que no cumplen con los requerimientos... 17

18 Aplicaciones de la FMP Binomial Tránsito: de 5 vehículos observados, cual es la probabilidad que dos giren a la derecha? Hidrología: en una sucesión de 30 años, la probabilidad de ocurrencia o no de un caudal mayor que la capacidad de un vertedero es p. Suponiendo que las magnitudes del caudal anual máximo son independientes y que la probabilidad p de una ocurrencia en cualquier año no cambia a través de lo años, determine... 18

19 FMP Binomial con MATLAB y = binopdf(x,n,p); = px(x;n,p) r = binocdf(x,n,p); = FX(x;n,p) x = binoinv(r,n,p); (-1) [m,v] = binostat(n,p) ; = media y varianza = FX (r;n,p) 19

20 FMP Binomial con MS EXCEL y = DIST.BINOM(x;n;p;FALSO); = px(x;n,p) r = DIST.BINOM(x;n;p;VERDADERO); = FX(x;n,p) x = BINOM.CRIT(n;p;r); (-1) = FX (r;n,p) 20

21 Ejemplo 1 FMP Binomial Suponga que todos los días se ensayan 15 cilindros de concreto. La probabilidad que el cilindro no cumpla con las especificaciones es del 5%. La interventoría ha decidido detener la construcción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o mas defectuosas. Cuál es la probabilidad de que, en cualquier día, la construcción se detenga? Tenga en cuenta que la prueba de los cilindros constituyen un conjunto de ensayos independientes. 21

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23 Observe que en promedio son defectuosos en la muestra de 15 unidades 23

24 Ejemplo 2 FMP Binomial En una rifa, se sabe que la probabilidad que una persona compre una boleta es del 5%. Si ofrezco a 15 personas el bono, cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas compren el bono? Este problema se resuelve igual que el problema anterior. 24

25 Ejemplo 3 FMP Binomial La probabilidad que una persona cumpla años en Marzo 20 es 1/365. Cuántas personas se requieren en un grupo de modo que la probabilidad que al menos una persona cumpla años en esa fecha sea de al menos del 5%? Se debe entonces encontrar el mínimo n para el cual 25

26 Respuesta: 19 personas 26

27 Ejemplo 4 FMP Binomial De 20 pernos 5 están malos. Si selecciono 4 al azar, cuál es la probabilidad que estos estén bien? 27

28 Ejemplo 5 FMP Binomial Un equipo de beisbol tiene 50% de probabilidad de ganar un partido. Qué cantidad razonable de juegos, ganará el equipo en una temporada de 162 juegos? Este resultado significa que en el 90% de las temporadas, un equipo ganará entre 71 y 91 juegos. 28

29 Ejemplo 6 FMP Binomial Un ingeniero de control de calidad, verifica 200 circuitos diarios. Si 2% de los circuitos tienen defectos, cuál es la probabilidad que el inspector no encuentre defectos en un día dado? Cual es el número más probable de circuitos defectuosos que el ingeniero encontrará? 29

30 FMP Poisson La FMP de Poisson se utiliza para describir eventos aleatorios que ocurren de manera independiente con una velocidad constante en el tiempo o en el espacio. Ejemplo: Búsquedas en google Número de vehículos que cruzan una intersección Líneas de espera 30

31 FMP Poisson Supongamos que deseamos contar el número de vehículos que cruzan una intersección vial en un intervalo fijo de tiempo t segundos. Se sabe que la probabilidad de que un vehículo llegue en cualquier segundo es un número pequeño p. Se supone que la probabilidad que dos o más vehículos lleguen en un segundo es insignificante. 31

32 FMP Poisson Entonces el número total de vehículos X en n=t pruebas independientes está dado por: 32

33 33

34 FMP Poisson: definición 34

35 FMP Poisson NOTA: Esta FMP debe aplicarse cuidadosamente en situaciones en las que las condiciones de independencia y rapidez constante son dudosas: por ejemplo trancones, infracciones de tránsito (con la multa y la edad el patrón de comportamiento cambia) 35

36 Es FMP? 36

37 FDA Poisson 37

38 Nota: la línea no va, sólo es por facilidad en la representación matemática 38

39 Momentos de la FMP Poisson 39

40 Momentos de la FMP Poisson px(k;λ) Como ν>0, la asimetría es positiva; esta disminuye rápidamente para grandes valores de ν La FMP es leptocúrtica, sin embargo para grandes valores de ν, la curva se tiende a mesocúrtica 40

41 FMP Poisson con MATLAB y = poisspdf(x,nu); = px(x;nu) p = poisscdf(x,nu); = FX(x;nu) x = poissinv(p,nu); (-1) [m,v] = poissstat(nu); = media (=nu) y = FX (p;nu) varianza (=nu) 41

42 FMP Poisson con MS EXCEL y = POISSON(x;nu;FALSO); = px(x;nu) p = POISSON(x;nu;VERDADERO); = FX(x;nu) 42

43 Ejemplo 1: FMP Poisson A un peaje arriban cuatro autos en promedio cada dos minuto. Cuál es la probabilidad que aparezcan exactamente 5 autos en un minuto? 43

44 Ejemplo 1: FMP Poisson A un peaje arriban cuatro autos en promedio cada dos minuto. Cuál es la probabilidad que aparezcan cinco o más autos en un minuto? 44

45 Ejemplo 2: FMP Poisson En una fábrica de discos duros, el departamento de control de calidad raliza ensayos aleatorios de los discos duros individuales. La política es interrumpir el proceso de producción si un inspector encuentra más de 4 sectores malos en el disco. Cuál es la probabilidad de interrumpir el proceso si el número promedio de sectores malos es 2? Es decir, 5% de las veces un proceso de funcionamiento normal 45 producirá más de cuatro sectores malos en el disco duro

46 Ejemplo 2: FMP Poisson En una fábrica de discos duros, el departamento de control de calidad raliza ensayos aleatorios de los discos duros individuales. La política es interrumpir el proceso de producción si un inspector encuentra más de 4 sectores malos en el disco. Cuál es la probabilidad que el disco sea manufacturado sin defectos? 46

47 Ejemplo 3: FMP Poisson Una compañía que opera volquetas determinó que el año pasado 103 vehículos tuvieron fallas mecánicas. De aquí se deduce que el número promedio de fallas por día es Encuentre la probabilidad que en cualquier día usted tenga exactamente dos fallas Encuentre la probabilidad que en cualquier día usted tenga exactamente dos o más fallas 47

48 Ejemplo 4: FMP Poisson Veinte ladrillos fueron examinados por defectos en la superficie. Se observó la siguiente tabla: # defectos frecuencia

49 Ejemplo 4: FMP Poisson Cuál es la probabilidad de encontrar un ladrillo con tres o más defectos en la superficie si se asume una FMP de Poisson? 49

50 Ejemplo 4: FMP Poisson La FMP Poisson asociada es: Qué opina usted de esta FMP cuando se compara con 50 el histograma original?

51 Ejemplo 5: FMP Poisson Un vendedor de seguros vende en promedio 3 seguros de vida por semana. Cuál es la probabilidad que en una semana dada el venderá algunas pólizas? Dos o más pólizas pero menos que cinco? Asumiendo que hay 5 días laborales por semana, cuál es la probabilidad que en un día dado el venderá una póliza? 51

52 FMP Geométrica ~ G(p) Cuando se deben responder preguntas como: En qué prueba ocurrirá el primer éxito? Cuántos pernos habra que comprobar antes que se encuentre uno defectuoso? Cuándo ocurrirá el primer caudal crítico, si la probabilidad que ocurra en cualquier año es p? Se debe utilizar la FMP geométrica. 52

53 FMP Geométrica ~ G(p) Si se supone independencia de las pruebas y un valor constante p, la distribución de N, el número de pruebas hasta que ocurra el primer éxito, se encuentra así: El primer éxito ocurrirá en la n-ésima prueba si y sólo si: Las primeras n-1 pruebas son fracasos que ocurren con probabilidad (1-p)n-1 La n-ésima prueba es un éxito, que ocurre con probabilidad p. 53

54 FMP Geométrica ~ G(p) Por lo tanto la FMP geométrica es: La FDA geométrica es (la probabilidad que haya al menos un éxito en n pruebas): 54

55 FMP Geométrica ~ G(p) La esperanza matemática es: Esta cantidad se conoce como el periodo de retorno. Ejemplo: Si la proporción de pernos defectuosos es del 10% en promedio, se comprobarán 10 pernos antes de encontrar uno defectuoso, suponiendo que se cumplan las condiciones de las pruebas de Bernoulli. La varianza es: 55

56 Definición alternativa : FMP Geométrica 56

57 FMP Geométrica 57

58 FMP Geométrica 58

59 FMP Geométrica (definición alternativa) con MATLAB f = geopdf(x,p); = px(x;p) F = geocdf(x,p); = FX(x;p) =F (-1) X x = geoinv(f,p); (F;p) [m,v] = geostat(p); = media (1-p)/p y varianza (1-p)/p 2 NOTA: no está implementada en MS EXCEL 59

60 Ejemplo: FMP Binomial y FMP Geométrica Diseño de valores y periodos de retorno Se quiere diseñar un canal que puede movilizar un caudal de q m3/s. La probabilidad que se requiera desplazar un caudal mayor es p/año (inundación). Si p permanece constante de año en año, entonces los años sucesivos representan pruebas independientes de Bernoulli. Suponga que p = 0.02 (probabilidad de inundación por año) 60

61 Ejemplo: FMP Binomial y FMP Geométrica Diseño de valores y periodos de retorno Cuál es la probabilidad que ocurra una inundación durante la vida útil del canal que se espera sea 30 años? Este riesgo es muy grande. Si el ingeniero desea que dicha probabilidad no sea mayor del 10% en 30 años, cuál es la probabilidad de inundación por año con la que debe diseñar el canal, de modo que P[inundación/año] p? 61

62 Ejemplo: FMP Binomial y FMP Geométrica Diseño de valores y periodos de retorno Cuál es la probabilidad que ocurra una inundación durante la vida útil del canal que se espera sea 30 años? 62

63 Ejemplo: FMP Binomial y FMP Geométrica Diseño de valores y periodos de retorno Si p=0.0035, Cuál es la probabilidad que la primera inundación crítica no ocurra en los próximos 10 años? La media es: Se dice entones que el periodo promedio de retorno es años. La inundación crítica se le llamará: la inundación del año. 63