Variables Aleatorias Introducción
Concepto de variable aleatoria Es conveniente que los resultados de un experimento aleatorio estén expresados numéricamente. Se prueban tres componentes electrónicos, y se observa el carácter de defectuoso o no. S={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
Concepto de variable aleatoria Una función de S en R (reales): X: número o cantidad de defectuosos S={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} 4 3 1 0 1 3 4 5 R R X = {0,1,, 3}
Concepto de variable aleatoria Se sacan dos bolillas de manera sucesiva sin reemplazo de una urna que contiene 5 bolillas blancas y 4 bolillas rojas. Y: número de bolillas rojas extraídas S={NN, NR, RR, RN} Espacio muestral y NN 0 NR RN RR 1 1 R Y = {0,1, }
Definición de variable aleatoria Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada elemento del espacio muestral. Notación: Letras mayúsculas de imprenta, X, Y, Z
Ejemplos El número de personas que llegan a un local en un periodo de tiempo dado. El resultado obtenido al lanzar un dado. El número de piezas defectuosas obtenidas en una muestra de 00 unidades de un proceso productivo.
Ejemplos El tiempo que tardan en ser atendidas las personas que llegan a un banco. Los pesos de los novillos que salen a la venta en una estancia. Los tiempos de producción de piezas seriadas. La resistencia a la rotura de distintas muestras de hilos.
Clasificación de las variables aleatorias Variables Aleatorias DISCRETAS CONTINUAS Cantidad de perros Altura
Clasificación de las variables aleatorias Discreta: Si esta asociada a un espacio muestral con un número finito de elementos o una cantidad infinita numerable. Continua: Si esta asociada a un espacio muestral con un número infinito de puntos igual al número de puntos en un segmento de línea.
Variable aleatoria discreta Distribución discreta de probabilidad Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores con cierta probabilidad. Dicha probabilidad es la misma que la probabilidad con que ocurre el suceso que genera el valor de la variable.
Distribución discreta de probabilidad Se prueban tres componentes electrónicos, y se observa el carácter de defectuoso o no. Supongamos que la probabilidad de que la componente este defectuosa sea p P(D)=p P(N)=1-p=q S={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
Distribución discreta de probabilidad Suceso elemental NNN NND NDN DNN NDD DND DDN DDD probabilidad q 3 q p qpq pqq qp pqp ppq p 3 x (cantidad de defectuosos) P ( X = x) 0 q 3 1 3q p 3qp 3 p 3
Distribución discreta de probabilidad x (cantidad de defectuosos) 0 1 3 P ( X = x) q 3 3q p 3qp p 3 P ( X = 0) = P{ NNN} = q P( X = 1) = P{ DNN, NDN, NND} = 3q P ( X = ) = P{ DDN, NDD, DND} = 3q p P ( X = 3) = P{ DDD} = p 3 3 p
Distribución de probabilidad o función de probabilidad de una v. a. discreta El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de probabilidad, función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad de la v.a. X, si para cada resultado posible de x 1. f ( x) 0. 3. f ( x) = x 1 ( X = x) f (x) P =
Distribución de probabilidades f (x) 0.5 p=0.4 1 3 4
Distribución de probabilidades p(x) n =1 p = 0.7 x
Distribución Acumulada de probabilidades La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) es F ( x) = P( X x) = f ( x) t x < x <
Ejemplo La distribución acumulada F(x) de la variable aleatoria X cantidad de defectuosos F( x) = 0 (0.6) (0.6) (0.6) (0.6) 3 3 3 3 + + + 3(0.6) 3(0.6) 3(0.6) (0.4) (0.4) (0.4) + + 3(0.6)(0.4) 3(0.6)(0.4) + 8(0.4) si si si si si x < 0 0 x < 1 1 x < x x < 3 3
Gráfico 1.0 0.5 1 1 3 4
Distribución continua de probabilidad Si X es una variable aleatoria continua P( X = x) = 0 P ( a < X < b) P( a X ) P ( Y > c) P( a < X < b) = P( a X < b) = P( a < X b) = P( a X b)
Función de densidad de probabilidad Si X es una variable aleatoria continua 1.0 0.5 1 1 1 f ( x ) función de densidad de probabilidad
Función de densidad de probabilidad P ( a < X < b) P ( a < X < b) = f ( x) b a dx
función de densidad de probabilidad La función f(x) es una función de densidad de probabilidad de la v.a. continua X, definida en el conjunto de los números R 1. f ( x) 0. f ( x) dx = 1 3. P ( a < X < b) = f ( x) b a dx
Distribución Acumulada de probabilidades La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X con densidad de probabilidad f(x) es x F x) = P( X x) = f ( x) dx ( < x <
Esperanza Matemática o Media de una v. a. X Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es = µ = E ( X ) x f ( x) si X es discreta x µ = E ( X ) = x f ( x) dx si X es continua
Ejemplo x (cantidad de defectuosos) 0 1 3 f ( x ) q 3 3q p 3qp p 3 µ = E + 3 3 ( X ) = 0 * q + 1*3q p + *3qp 3* p = 3 3q p + 6qp + 3p
Varianza de una v. a. X Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media µ. La varianza de X es σ = [( ) ] X µ = ( x µ ) Var ( X ) = E f ( x) x si X es discreta σ [( ) ] X µ = ( x µ ) = Var( X ) = E f ( x) dx si X es continua La raíz cuadrada positiva de la varianza, se llama desviación estándar de X.
Varianza de una v. a. X Modo de cálculo = E X [ ] σ µ = x E ( X ) x f ( x) si X es discreta = E ( X ) x f ( x) dx si X es continua
Ejemplo x (cantidad de defectuosos) 0 1 3 x 0 1 3 f(x) q 3 3q p 3qp p 3 σ E + 3 3 ( X ) = 0 * q + 1 *3q p + *3qp 3 * p = = = 3 3q p + 1qp + 9 p [ ] E X µ = [ ] [ ] 3 3 3q p + 1qp + 9 p 3q p + 6qp + 3p