6. Mosaicos y movimientos en el plano
Ámbito científico 1. Mosaicos 2. Módulos planos 3. Diseña mosaicos 4. Ejemplos de mosaicos 5. Ejemplos de tramas 6. Mosaicos semiregulares I 7. Libro de espejos 8. Ángulo central e interior 9. Mosaicos semiregulares II 10. Giros 11. Simetrías 12. Simetrías poligonales 13. Traslaciones 14. Movimientos 15. Mosaicos triangulares 16. Más mosaicos 17. Una cenefa 18. Frisos cuadrados 19. Rosetones 114
Mosaicos y movimientos en el plano MOSAICOS Te presentamos a continuación algunos tipos de mosaicos. Observa que en todos ellos hay siempre un motivo mínimo que se repite, de manera que trasladando este motivo en todas direcciones se llena el plano, es decir no quedan huecos entre las piezas, ni montan unas piezas sobre otras. Observa detenidamente cada uno de estos mosaicos. Cómo se han construido?. Podrías diseñarlos haciendo uso de tramas de puntos?. MÓDULOS PLANOS Una trama (cuadrada, isométrica, de hexágonos regulares) es ella misma un mosaico. Estos tres son los únicos mosaicos regulares que existen. Están construidos con polígonos regulares del mismo tipo. Un módulo plano es una figura plana que por sucesivas yuxtaposiciones llena el plano. El cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular son módulos planos. 115
Ámbito científico A partir de un módulo plano pueden obtenerse otros distintos, utilizando para ello el criterio de conservar la superficie del módulo inicial. Los módulos equisuperficiales así obtenidos también llenarán el plano, por hacerlo el módulo inicial. Este proceso es el que se ha seguido para construir algunos de los mosaicos anteriores, como puedes apreciar en las figuras que siguen: Como el triángulo equilátero llena el plano, también lo hará el módulo obtenido. Observa que el área de este módulo es la misma que la del triángulo equilátero inicial. Como el hexágono regular llena el plano, también lo hará el módulo obtenido. Observa que el área de este módulo es la misma que la del hexágono regular inicial. a) Aquí tienes algunos ejemplos de módulos planos. A partir de qué polígonos se han diseñado?. b) Averigua con ayuda de tramas cómo se ha construido el siguiente mosaico: 116
Mosaicos y movimientos en el plano DISEÑA MOSAICOS Para producir mosaicos, puedes utilizar un método modular, como el anteriormente descrito, o bien hacer uso de un método combinatorio, combinando distintas formas planas para formar el motivo mínimo. Por ejemplo, en este mosaico: el motivo mínimo está formado por el módulo que, a su vez, es combinación de otras dos piezas: Estas dos piezas no llenan el plano separadamente, pero si lo hacen conjuntamente, cuando forman el módulo anterior. Utilizando diferentes tipos de tramas de puntos, construye un mosaico. Puedes hacer uso de un método combinatorio o uno modular. Procura que el resultado sea lo más estético posible. Para ello, te vendrán bien algunas recomendaciones: No abuses de las curvas; No utilices demasiados colores; Usa siempre colores armoniosos. Qué entiendes por armoniosos?. 117
Ámbito científico EJEMPLOS DE MOSAICOS I 118
Mosaicos y movimientos en el plano EJEMPLOS DE MOSAICOS II 119
Ámbito científico EJEMPLOS DE MOSAICOS III 120
Mosaicos y movimientos en el plano EJEMPLOS DE MOSAICOS IV 121
Ámbito científico EJEMPLOS DE TRAMAS I 122
Mosaicos y movimientos en el plano EJEMPLOS DE TRAMAS II 123
Ámbito científico EJEMPLOS DE TRAMAS III 124
Mosaicos y movimientos en el plano MOSAICOS SEMIREGULARES I Utilizando polígonos regulares de cartulina investiga con cuáles de ellos se pueden formar mosaicos. Puedes usar polígonos de un solo tipo o polígonos de diversos tipos. Investiga para ello la suma de los ángulos que concurren en cada vértice del mosaico. Qué condición deben cumplir dichos ángulos para que se pueda formar mosaico?. Clasifica los mosaicos posibles. 125
Ámbito científico 126
Mosaicos y movimientos en el plano LIBRO DE ESPEJOS Vamos a construir polígonos regulares con el libro de espejos. Haz una línea recta en el folio y coloca encima el libro de espejos. Si observas lo que ocurre cuando vas abriendo y cerrando el libro quedarás asombrado. Cómo habrá que colocar el libro para que se generen polígonos regulares? Has podido obtener una circunferencia? Cuál es su radio? ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR Con la ayuda del libro de espejos intenta encontrar una forma de hallar el ángulo central y el ángulo interior en un polígono regular. Ve paso a paso construyendo los distintos polígonos regulares y observa detenidamente cuánto miden sus ángulos. Construye una tabla para registrar los datos. 127
Ámbito científico MOSAICOS SEMIREGULARES II Intenta construir mosaicos que llenen el plano, pero con la siguiente condición: los polígonos que concurran en un vértice del mosaico deben ser siempre los mismos y han de estar situados en el mismo orden. A este tipo de mosaicos se les llama mosaicos SEMIRREGULARES. Anímate a encontrarlos. Cómo estar seguro de que los has encontrado todos?. Aquí tienes un ejemplo que no es válido dado que los polígonos no tienen la misma configuración en todos los vértices. Por qué hay solamente ocho mosaicos semiregulares? 128
Mosaicos y movimientos en el plano GIROS Los giros o rotaciones quedan determinados si conocemos el centro de giro O y el ángulo girado ( el sentido positivo de ángulos es el contrario al de las agujas del reloj ). Al giro de 180 o se le llama simetría central. a) Haz un giro de la figura C de 30 o. Haz un giro de la figura C de -330 o. Son dos giros distintos?. Aplícale a la misma figura una simetría central. O b) Aplicando un giro de centro O a la figura de la izquierda, se obtiene la figura de la derecha. Encuentra el ángulo de giro y su sentido. El sentido positivo de giro es el contrario al de las agujas del reloj. c) Partiendo de la figura de la izquierda y con centro de giro en uno de sus vértices, define cinco giros mediante los cuales se pueda obtener la figura de la derecha. 129
Ámbito científico SIMETRÍAS Una simetría queda determinada al conocer su eje de simetría. Una simetría con deslizamiento es una simetría compuesta con una traslación de dirección paralela al eje de simetría. Para definirla necesitamos conocer el eje de simetría y el vector de traslación. a) A la siguiente figura aplícale una simetría con deslizamiento de eje e y vector a. Es indiferente el orden en que efectúes la traslación y la simetría?. b) Coloca un espejo en distintas posiciones sobre la primera figura, de forma que puedas ver las restantes. Dibuja sobre la figura inicial las líneas en las que has de colocar el espejo ( ejes de simetría ). c) Con ayuda de un espejo busca una a una las letras que tienen simetría horizontal, las que tienen simetría vertical y las que tienen ambas. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 130
Mosaicos y movimientos en el plano SIMETRÍAS POLIGONALES Qué triángulos son simétricos? Cuántas líneas de simetría tienen? Qué cuadriláteros son simétricos? Cuántas líneas de simetría tienen? Estudia la simetría de diferentes polígonos (pentágonos, hexágonos, octógonos). Estudia la simetría de la circunferencia. 131
Ámbito científico TRASLACIONES Una traslación queda definida si se conoce la dirección, sentido y longitud de la traslación. Estas tres magnitudes se representan por una flecha, llamada vector de la traslación, cuyo origen y destino indican, respectivamente, las posiciones inicial y final del objeto trasladado. a) A las siguientes figuras aplícales una traslación de vector a y otra de vector 2b. Cuál es el resultado final?. Podemos representar la traslación de vector a por medio de dos números, llamados componentes del vector a: el primero indica cuántas unidades debe desplazarse el objeto en la dirección horizontal (si es positivo a la derecha, si es negativo a la izquierda); el segundo indica cuántas unidades debe desplazarse el objeto en la dirección vertical (si es positivo hacia arriba, si es negativo hacia abajo). b) En la figura hemos efectuado una traslación de vector (3, 2). Aplícale a esta figura una traslación de vector (2, -4), otra de vector (-4, 3) y otra de vector (-2,-3). Cuál es el resultado final?. 132
Mosaicos y movimientos en el plano MOVIMIENTOS 1) Este mosaico está formado por hexágonos regulares. a) Define tres traslaciones que permitan transformar la pieza A en la B, la C y la D. b) Busca tres ejes de simetría del mosaico. 2) Observa este mosaico. Averigua qué movimientos o simetrías hay que realizar para que: a) El punto A coincida con M. B) El punto B coincida con N. C) El punto C coincida con P. MOSAICOS TRIANGULARES Partiendo de una trama triangular y modificando un poco los triángulos, se consiguen mosaicos curiosos. Cuáles de las siguientes modificaciones de un triángulo crees que servirán para construir mosaicos?. 133
Ámbito científico MÁS MOSAICOS a) Haciendo uso de distintos tipos de tramas, investiga cómo se han hecho cada uno de los mosaicos que siguen. Busca un motivo mínimo, es decir, la menor porción del plano que por traslaciones sucesivas genere todo el mosaico. En cada uno de ellos, puedes transformar la pieza negra en la pieza blanca? Cómo?. b) En el siguiente mosaico, qué debes hacer para transformar A en B?. Y para transformar A en C?. Explica detenidamente como lo haces. UNA CENEFA Utilizando regla, compás y cartabón dibuja este friso. Explica cómo lo haces. 134
Mosaicos y movimientos en el plano FRISOS CUADRADOS I Utilizando regla y cartabón dibuja estos frisos. Explica lo que puedes hacer para realizar el dibujo lo más fácilmente posible y para que otra persona pueda hacerlo siguiendo tus indicaciones. 135
Ámbito científico FRISOS CUADRADOS II Utilizando regla, compás y cartabón dibuja estos frisos. Explica cómo lo haces. 136
Mosaicos y movimientos en el plano FRISOS CUADRADOS III Utilizando regla, compás y cartabón dibuja estos frisos. Explica cómo lo haces. 137
Ámbito científico ROSETONES Aquí tienes algunos ejemplos de rosetones. Utilizando regla, compás y cartabón intenta dibujarlos. Explica cómo lo haces. 138