1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Sistemas de ecuaciones. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Operaciones básicas con polinomios. Resolución de ecuaciones de primer grado. Resolución de ecuaciones de segundo grado. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.. Sistemas de ecuaciones. Definición: Un sistema de ecuaciones de n ecuaciones con m incógnitas será un conjunto de n ecuaciones y el número total de incógnitas de todas las ecuaciones será m. Por ejemplo: x + y = x + 3y = 5 Será un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. x + y + z = x + 3y + 3z = 5 x = 1 3x + z = 4 Será un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. Definición: Se llama grado de un sistema al producto de los grados de las ecuaciones que lo forman. Por ejemplo: x + y = x + 3y = 5 La primera ecuación es de grado 1, al igual que la segunda. El grado de este sistema será 1. x + y = x + 3y 3 = 5 La primera ecuación es de grado. 3 el de la segunda. El grado de este sistema será 3 = 6.
SISTEMAS DE ECUACIONES. Definición: Una solución de un sistema de ecuaciones con n incógnitas son n números reales que se asocian a cada incógnita, tales que al sustituir dichos números por las incógnitas a las que se asocian se verifican las ecuaciones. Por ejemplo: x + y = 0 x + 3y = 0 Tiene por solución x = 0 e y = 0, ya que si se sustituyen las incógnitas en las ecuaciones se verifican las igualdades. 3x y = 6 9x + 4y = 108 Tiene por solución x = 8 e y = 9, ya que si se sustituyen las incógnitas en las ecuaciones se verifican las igualdades. Clasificación de los sistemas según sus soluciones: Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones se clasifican en: Incompatibles: No tienen solución. Compatibles indeterminados: Tienen infinitas soluciones. Compatibles determinados: Tienen un número finito de soluciones. Es decir, tienen una o varias soluciones pero no infinitas. Nota: Un sistema de ecuaciones compatible determinado tendrá, como máximo, tantas soluciones como indique el grado del sistema. Por ejemplo: 3x y = 6 9x + 4y = 108 Tiene por una solución dada por x = 8 e y = 9. Por lo que será un sistema compatible determinado. Es un sistema incompatible y no tiene solución. x + y = 6 x + y = 108 x + y = 7 x + y = 5 Es compatible determinado y posee soluciones: {x = 3, y = 4 y {x = 4, y = 3.
3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES. 3 3. Interpretación gráfica de los sistemas de ecuaciones. Sea, por ejemplo el sistema de ecuaciones: x + y = 3 x + y = 4 La solución de este sistema de ecuaciones viene dada por {x = 1, y =. Cada ecuación se puede representar gráficamente en un sistema de ejes de coordenadas. En el caso de un sistema de grado 1, sus ecuaciones son líneas rectas. Por lo que para dibujarlo sólo hay que: ❶ Se toma la primera ecuación y se calcula el valor de la y cuando x = 0. x + y = 3 0 + y = 3; y = 3, por lo que para x = 0, y = 3 ❷ Se toma la primera ecuación y se calcula el valor de la x cuando y = 0. x + y = 3 x + 0 = 3; x = 3, por lo que para x = 3, y = 0 ❸ Se representan gráficamente ambos puntos y se unen con una recta. Se puede ver en la figura 1. -4-3 - -1 0 1 3 4 4 3 1-1 - -3-4 x + y = 3 Figura 1: Recta representada por x + y = 3. ❹ Ídem con la segunda ecuación. x + y = 4 x + 0 = 4; x =, por lo que para x =, y = 0 x + y = 4 0 + y = 4; y = 4, por lo que para x = 0, y = 4 Se puede ver en la figura. ❺ La solución de la ecuación es el punto de corte de las dos rectas. En este caso {x = 1, y = como se aprecia en la. Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico: 1. Sol.: {x = 0, y = 0 x + y = 0 x + y = 0
4 SISTEMAS EQUIVALENTES. 4 4 3 {x = 1, y = 1 x + y = 3-4 -3 - -1 0 1 3 4-1 - x + y = 4-3 -4 Figura : Corte de las rectas x + y = 4 y x + y = 3.. 3x + y = 3 x y = 3. Sol.: {x = 1, y = 0 Sol.: No tiene solución!! 3x + y = 3 6x + 4y = 3 4. Sistemas equivalentes. Definición: Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Al igual que en las ecuaciones convencionales, hay dos reglas que sirven para obtener un sistema equivalente a partir de otro: Regla de la suma: Si a una ecuación se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta otro sistema equivalente al inicial. Si a una ecuación se le suma o resta un mismo número o expresión en los dos miembros de la ecuación, resulta otro sistema equivalente. Regla del producto: Si se multiplican los dos miembros de una ecuación del sistema por un número distinto
5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 5 de cero, resulta un sistema equivalente al dado. Por ejemplo, en el siguiente sistema se hacen una serie de transformaciones, usando las reglas anteriores, sobre un sistema para obtener otros equivalentes: x + y = x + 3y = 5 Se multiplica la primera ecuación por x + y = 4 x + 3y = 5 Se resta la primera ecuación a la segunda x + y = 4 x + 3y (x + y) = 5 4 x + y = 4 y = 1 En este caso, la sucesión de transformaciones que se han realizado conllevan a obtención del valor de la incógnita y. Con estas reglas se puede resolver un sistema de ecuaciones de una forma sencilla. Antes de leer el siguiente apartado, piensa una forma de resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando las reglas vistas anteriormente: 5x 3y = 4 x + y = 6 5. Sistemas de ecuaciones lineales. Definición: Un sistema de ecuaciones formado por ecuaciones de primer grado se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. Evidentemente los sistemas de ecuaciones lineales tendrá grado 1. Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: 5x 3y = 4 x + y = 6 5x 3y + z = 4 x + y + x + y + 5.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. A este método también se le denomina método escalonado de resolución de ecuaciones. Definición: En un sistema escalonado de ecuaciones hay en cada ecuación una incógnita menos que en la anterior. Por ejemplo: 5x 3y +z = 4 y + 5x 3y +z = 4 y + Sería un ejemplo de sistema de ecuaciones escalonado. Para resolver un sistema escalonado sólo hay que sustituir cada incógnita en la ecuación anterior: 5x 3y +z = 4 5x 3y +z = 4 y +6 = 6 y = 6 6
5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 6 5x 3y +z = 4 y = 0 5x 3 0 +6 = 4 5x = 4 6 y = 0 y = 0 5x = x = y = 0 5 y = 0 En el método de Gauss hay que aplicar la regla de la suma y del producto para conseguir escalonar nuestro sistema. El método es sencillo: 1 o Se coloca primera la ecuación más sencilla, para trabajar menos en los pasos siguientes. Se entenderá por más sencilla la que tenga los coeficientes más pequeños: 3x 3y +5z = 7 x +y 4x +y +z = 15 3x 3y +5z = 7 x +y 4x +y +z = 15 o Se eliminan las x por debajo de la primera ecuación. Para ello se multiplica la primera ecuación por el coeficiente de la x que se desea eliminar y la otra ecuación por el coeficiente de la x de la primera ecuación. Finalmente se restan las dos ecuaciones. Por ejemplo, para eliminar el 3x de la segunda ecuación del sistema anterior sólo hay que multiplicar por 3 la primera ecuación...: x + y 3 3x + 6y 6z = 18...ahora se multiplica la segunda ecuación por 1 (que es el coeficiente de la x en la primera ecuación)...:...finalmente se restan las dos ecuaciones obtenidas: Por lo que quedará el sistema: 3x 3y + 5z = 7 1 3x 3y + 5z = 7 3x 3y + 5z (3x + 6y 6z) = 7 (18) 9y + 11z = 11 x +y 9y +11z = 11 4x +y +z = 15 Hay que fijarse que nos quedamos sólo con la ecuación final a la hora de colocarla en el sistema. De forma idéntica se elimina el 4x de la tercera ecuación: Para eliminar el 4x de la tercera ecuación del sistema anterior sólo hay que multiplicar por 4 la primera ecuación...: x + y 4 4x + 8y 8z = 4...ahora se multiplica la tercera ecuación por 1 (que es el coeficiente de la x en la primera ecuación)...:...finalmente se restan las dos ecuaciones obtenidas: 4x + y + z = 15 1 4x + y + z = 15 4x + y + z (4x + 8y 8z) = 15 (4) 6y + 9z = 9 Por lo que quedará el sistema: x +y 9y +11z = 11 6y +9z = 9
5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 7 3 o Se repiten los pasos y 3 con el resto de las incógnitas hasta conseguir escalonar el sistema. Evidentemente la primera ecuación no se usará en el resto de los cálculos pues volverían a aparecer las x que se habían eliminado. Para eliminar el 6y que es el monomio que estorba para escalonar el sistema, se multiplica la segunda ecuación por 6, la tercera por 9 y se restan ambas ecuaciones: Restando: Por lo que ya se tiene el sistema escalonado: 9y + 11z = 11 6 54y 666 6y + 9z = 9 9 54y 81z = 81 54y 66z (54y 81z) = 66 81 15z = 15 x +y 9y +11z = 11 +15z = 15 Resolviendo el sistema escalonado anterior se obtiene que la solución del sistema es x = 4, y = 0 y z = 1. 5.. Resolución de sistemas por sustitución. El método de sustitución se puede emplear para resolver cualquier tipo de sistema de ecuaciones, al contrario que el método de Gauss que sólo se usará para resolver sistemas lineales. El método de sustitución será conveniente usarlo en sistemas de ecuaciones con pocas ecuaciones. Si el sistema tiene muchas ecuaciones, es más conveniente usar el método de Gauss. La idea básica del método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en las otras ecuaciones. Por ejemplo se va a resolver el sistema: x +y = 7 x y = 1 Se comienza despejando una de las incógnitas de una de las ecuaciones, por ejemplo, la x de la primera ecuación: x + y = 7; x = 7 y Se sustituye la expresión obtenida para la x en la otra ecuación: x y = 1; (7 y) y = 1 {{ x En este caso se obtiene una ecuación de primer grado que se puede resolver: (7 y) y = 1; 14 4y y = 1; 4y y = 1 14; 5y = 15; y = 15 5 ; y = 3 Con este valor obtenido para la y, sustituyendo en la expresión que se había obtenido para la x, se puede obtener el valor de la x: x = 7 y = 7 3 = 7 6 = 1 Por lo que las soluciones de este sistema son x = 1 e y = 3.
6 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. 8 6. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. En este caso el sistema de ecuaciones tendrá un grado distinto a 1. Estos sistemas se resolverán, en general, usando el método de sustitución. Por ejemplo, se resolverá el sistema: x +y = 7 x y = 4 Hay que despejar una incógnita de una de las ecuaciones, por ejemplo, la y de la primera ecuación. Se procurará elegir una incógnita fácil de despejar: x + y = 7; y = 7 x Se sustituye la expresión obtenida para la y en la otra ecuación: Se resuelve la ecuación resultante: x 7 x x y = 4; x 7 x = 4 {{ y = 4; x (7 x ) = 4; x 7 + x = 4; x + x 3 = 0 Es una ecuación de segundo grado, aplicando la fórmula: x = b + b 4ac a = + 4 1 ( 3) 1 = 1 x = b b 4ac = 4 1 ( 3) = 3 a 1 Para las soluciones obtenidas para la x se obtienen los valores de la y sustituyendo en la expresión obtenida para la y: Para x = 1 y = 7 x Para x = 3 y = 7 x = 7 1 = 3 = 7 (-3) = 1 7. Resolución de problemas usando sistemas. La resolución de problemas usando sistemas se puede clasificar casi como un arte y no existe un método general para resolver sistemas. En general, sólo se pueden dar unas orientaciones para resolver sistemas: Hay que dar nombre a lo que se nos pida calcular en los problemas. En general serán las incógnitas. En el problema se expresará una forma de relacionar las incógnitas. A partir de estas relaciones se construirá el sistema de ecuaciones a resolver. En física u otras materias la relación puede estar dada por una o varias fórmulas físicas.
8 ACTIVIDADES. 9 Una vez resuelto el problema habrá que verificar si las soluciones obtenidas satisfacen el problema. Por ejemplo, se va a tratar de resolver el siguiente problema: Se han vendido 84 artículos a dos precios distintos, unos a 45 euros y otros a 36 euros. En total se han obtenido 3105 euros. Cuántos artículos de cada clase se han vendido? Solución: Empezamos dando nombres: Se llamarán x a el número de artículos de una clase e y a los de la otra. Se sabe que en total hay 84 artículos, o lo que es lo mismo: Además, el total de euros obtenidos son: Lo que se han vendido de una clase: 45x Más lo que se han vendido de la otra: 36y Que en total suman 3105 euros: 45x + 36y = 3105 Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver será: x + y = 84 x + y = 84 45x + 36y = 3105 Resolviendo el sistema por cualquiera de los métodos anteriormente indicados se obtiene que x = 9 e y = 75. Otro ejemplo: Halla dos números reales que cumplen la siguiente propiedad: su suma coincide con su producto y con su cociente. Damos nombres a las incógnitas: x será uno de los números y y será el otro. La suma de ambos es igual a su producto: x + y = x y La suma de ambos es igual a su cociente: x + y = x y El sistema a resolver será: x + y = x y x + y = x y Se resuelve por sustitución: Despejando la x de la primera ecuación: x + y = x y x x y = y x(1 y) = y x = y 1 y Se sustituye en la segunda ecuación y se resuelve la ecuación resultante: x + y = x y Por lo que x será: y 1 y + y = y 1 1 y y y 1 y + y = 1 1 y y 1 y + 1 1 y = y 1 y 1 y = y 1 = y y = 1 x = y 1 y = 1 8. Actividades. 1. a) x + y + z = 9 x y z = 10 x y + z = 5
8 ACTIVIDADES. 10 b) 3x + 4y z = 3 3x 3y + z = 8 x y + z = 6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x 11y = 11 3x + y = 1 b) 3x + 5 = y + 1 x 9 = 1 5y c) d) Nota: Antes empezar a resolver el sistema pasar las incógnitas a un lado y los números al otro. x+1 3 + y = 1 x 3 4 + y = 1 x 3 y = 4 x y 4 = 3. Resuelve: a) b) x 1 + y+1 x 1 y+1 x+3 + y+3 1 x y 4 = 1 6 = 1 4 = 1 6 = 1 4. Resuelve los siguientes sistemas de segundo grado: a) x y + 3 = 0 x + y = 5 b) x + y = 1 xy + y =
8 ACTIVIDADES. 11 c) d) 3x + y = 0 x(x y) = (y 4) x + y = 3 xy y = 0 5. La edad de un padre es el cuádruple de la de su hijo, pero dentro de 16 años será solamente el doble. Cuál es la edad actual de cada uno? 6. Un comerciante compra 50kg de harina y 80kg de arroz, por los que tiene que pagar 66,10 euros; pero consigue un descuento del 0 % el el precio de la harina y un 10 % en el precio de arroz. De esta forma paga 56,4 euros. Cuáles son los precios primitivos de cada artículo? 7. En cinco platos se han repartido 100 albóndigas. Los platos 1 o y o tienen un total de 5; el o y el 3 o, 43; el 3 o y el 4 o, 34; el 4 o y el 5 o, 30. Cuántas albóndigas hay en cada plato? 8. Un campo de fútbol tiene el doble de largo que de ancho. Si el área del campo de fútbol es 5000m, cuáles son las dimensiones del campo? 9. Un pastor, para tener 0 ovejas, necesita tener, las que tiene, otras tantas como las que tiene y la mitad de las que tiene. Cuántas tiene? 10. Cien alumnos se han examinado de matemáticas y física. Aprueban ambas asignaturas 7. El número de alumnos de los que aprueban sólo matemáticas es el doble de los que aprueban sólo física. Cuántos alumnos han aprobado sólo matemáticas? Y sólo física? Se sabe que ningún alumno ha suspendido las dos asignaturas.