PÉNDICE : COORDENDS CURVILÍNES Cantal Fee Roca 008 Las coodenadas esféicas se tiliaban en el siglo IV-III a.c., tanto paa la deteminación de posiciones estelaes (po ejemplo, catalogación estela de Hipaco) como de longitd latitd sobe la speficie teeste (po ejemplo, Geogafía Física de Eatóstenes)
INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES coodenadas catesianas P(,) coodenadas polaes P(,) vectoes nitaios base a las líneas de cte. sentido: incemento de cte a las lineas de cte. sentido: incemento de cte En todos los pntos los vectoes nitaios tienen la misma diección Cantal Fee Roca 008? Q a las líneas de cte. sentido: incemento de cte cos sin tg a las líneas de cte. sentido: incemento de cte En cada pnto los vectoes nitaios tienen diección difeente
INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES Cantal Fee Roca 008 coodenadas catesianas coodenadas polaes Q P(,) P(,) En todos los pntos los vectoes nitaios tienen la misma diección En cada pnto los vectoes nitaios tienen diección difeente Ejemplos (0, ) En el pnto (,0) en catesianas (, ) En el pnto (,) en catesianas (0, ) En el pnto (,π ) en polaes (,0) (0,) En polaes (,) (0, ) En polaes (,π ) (0,) j En catesianas
INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES Cantal Fee Roca 008 coodenadas polaes coodenadas catesianas sin cos cos sin ca P(,) pol ( cos sin ) ( sin cos sin ca cos T - T T sin cos) cos T sin sin cos T pol pol ca pol π cos sin T sin cos
INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES Cantal Fee Roca 008 Ejemplo : (Poblema. b) boletín) El vecto (,-) está aplicado en el pnto (,), ambos en catesianas. Escibid el vecto en coodenadas polaes Geométicamente: es fácil ve e en el pnto P (,) el vecto (,-) tiene diección ( sentido opesto), sin ealia na tansfomación de las coodenadas. P (, ) tg tg 45º (,) (, ) pol cos 45º sin 45º 0 sin 45º cos 45º
INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES vecto de posición del pnto P(,,) ca (, ) cos sin (,0 ) pol Obtención analítica de los vectoes nitaios vaiación de d cos sin d d d d d d d elemento de taectoia (geométicamente) d d d d d ca Cantal Fee Roca 008 d pol vaiación de la distancia adial vaiación del elemento de aco vaiación de d ( sin cos d d d d d d d mismos esltados sando la mati T d d d )
COORDENDS CURVILÍNES- GENERLIZCIÓN Cantal Fee Roca 008 sistema de coodenadas vectoes nitaios mati de tansfomación cat-cv elemento de línea Cvilíneas,, f f f ( ( (,,, i ; i T d d i i,,, ) ) ) d d i ; Ejemplo: coodenadas polaes cos sin d d d d d d T d d d cos sin d d d d sin cos d d Si la coodenada i es na distancia, i Si la coodenada i es n ánglo, i es la cantidad e lo tansfoma en na distancia de aco i d i.
COORDENDS CILÍNDRICS vectoes nitaios 0 0 0 cos sin 0 sin cos T cil d ) ( ) d ( ) d ( ; d d d ds d d d d sin cos P tg P Cantal Fee Roca 008 Poblema.,. boletín Cestiones.4,.9
sin ds ( d ) acia "aiba" P ( d ) acia el "este" acia el "s" COORDENDS ESFÉRICS ( sind ) sin cos sin sin sin cos ; tg [ 0, π ], [ 0, π ] cos vectoes nitaios sp. cte d d d sin d ; Poblema.,. boletín Cestiones 5, 6 ; Cantal Fee Roca 008 T esf sin cos cos cos sin sp. cte sin sin cos sin cos cos sin 0 P sp. cte d sin d d
d d d Elementos de línea, speficie volmen CRTESINS d d d i d j d k C E d ds ds i ds j ds k Φ E ds S dd i dd j dd k d d d d d d C dv d d d dv M Φ dv V V ( E)dV Cantal Fee Roca 008
Elementos de línea, speficie volmen d CILÍNDRICS d d d d d d ds ds dd d ds ds dd dd ; d d d d d d d d d ; Ejemplo: calcla el fljo a tavés de na spefície cicla de adio a del campo vectoial ( ) dv dv d d d Cantal Fee Roca 008
Elementos de línea, speficie volmen ESFÉRICS P d d d sin d d d d sin d ; ds ds ds ds sin d d sin d d d d d d d d d d sin d sin d sin d dv dv d sin d d dω Elemento de ánglo sólido Ejemplo : calcla la caga de na esfea de adio a centada en el oigen, ca densidad volúmica es ( ) Poblema del Boletín: 6.6 Ánglo sólido de na esfea: Speficie de na esfea: π π Ω sin d d 0 S ds a 0 4π dω 4π a Cantal Fee Roca 008
Opeadoes en cilíndicas ) ( LPLCINO ) ( ROTCIONL ) ( DIVERGENCI GRDIENTE ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ Cantal Fee Roca 008 Poblema del Boletín: 6.7 Opeadoes epesados en coodenadas cvilíneas
Opeadoes epesados en coodenadas cvilíneas Opeadoes en esféicas GRDIENTE DIVERGENCI ROTCIONL LPLCINO ψ ψ ( sin sin ψ ( ψ ( sin ( ψ ) ) sin sin sin ) sin ) ψ ( sin ) ψ (sin ) ( sin ) sin ψ Poblema del Boletín: 6.7 Ejecicios del Cestionaio: 68 Cantal Fee Roca 008
Coodenadas genealiadas ( ) ( ) ( ) ( ) volmen de elemento d d d sp efície de e. d d d d d d aco de elemento d d d d línea de elemento d d d dv ds ds d Opeadoes ( ) ( ) ( ) LPLCINO ROTCIONL DIVERGENCI GRDIENTE ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ elementos Cantal Fee Roca 008 Opeadoes elementos de línea, speficie volmen