Semana Función exponencial 6 (parte 2) Semana 5 Empecemos! Estimado participante, desde este semestre hasta el 9no trabajarás una temática importante dentro de la geometría: la trigonometría (medida de los triángulos). En este semestre iremos abonando los elementos que van a permitirte la comprensión de ésta. Recordarás que en semestres anteriores se recalcó que la unidad para medir ángulos es el grado; por cierto con qué instrumento se miden los ángulos? Pero en trigonometría vas a necesitar otra unidad para medir ángulos: el radián. Específicamente en esta semana nos dedicaremos a establecer la relación entre grados y radianes, para realizar conversiones entre ambos. Qué sabes de...? 1. Completa la tabla 5, apoyándote en tus conocimientos sobre ángulos. Consideremos en cada caso, ángulos centrados en el punto O y cuyos lados son M y P; lo expresamos así, el ángulo MOP, MOP. Tabla 5 Clasificación Nombre Descripción Gráfico Representación simbólica Su abertura mide más de 90 pero menos de 180 90<MOP<180 Según su abertura Agudo O M P M O P MOP=90 197
Semana 6 2. Observa el gráfico y responde: qué ángulo forman las manecillas de cada reloj? El reto es... Figura 11 Establecer la equivalencia entre los ángulos en radianes (color azul) y los ángulos medidos en grados. Completa los ángulos en º que faltan (rojos). 2/3 150º 3/4 5/6 /2 y /3 /4 45º /6 180º x 0, 2 0º, 360º 7/6 5/4 225º 4/3 3/2 Figura 12 5/3 7/4 11/6 Observa la figura 12 y responde: A cuánto equivale radianes en grados?, cuántos radianes son 90? Vamos al grano En términos simples, llamamos ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un origen común. Los elementos de un ángulo son dos lados y un vértice. a Vértice Figura 13 198 Hasta ahora hemos medido los ángulos utilizando sólo los grados sexagesimales ( ); otra medida de gran utilidad para expresar ángulos es el radián, del cual hablaremos a continuación.
Un radian es la medida de un ángulo con el vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio. De tal manera que si S es la longitud del arco, y r es el radio, es posible definir: S / r = θ Radián r Semana 6 Longitud = r Figura 14 Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa Cuál es la medida, en radianes de un ángulo de rotación completa (360º)? La longitud del arco L subtendido por un ángulo de rotación completa es la L longitud de la circunferencia (su perímetro), como sabemos, = L = 2r, d el radio r equivale a un radian, por tanto la longitud de la circunferencia= 2 radianes y se entiende que forma un ángulo de 360º. 360º = 2 radianes 180º = radianes 180º Despejando 1 radian =, 1 radian equivale aproximadamente 57,3º Conviene recordar la relación 180º = radianes porque puede obtenerse a partir de esta la medida de muchos ángulos especiales. Veamos algunos ejemplos: 180 90º = = rad 2 2 Si se divide 180 entre 2, también se divide entre 2 180 45º = = rad 4 4 La cuarta parte de 180º es 45º 180 30º = = rad 6 6 Si se divide 180 entre 6, también se divide entre 6 180 60º = = rad 3 3 La tercera parte de 180º es 60º 3 3 270º = 180 = rad 2 2 Si se multiplica 180º por 3/2, también se multiplica por 3/2 199
Semana 6 En general para convertir grados en radianes y viceversa puede usarse la relación anterior: a) Convertir 225º a radianes 180º = radianes 225º = x 225º rad 5 rad x = = 180º 4 225º = 5 rad 4 b) Convertir 5/7 rad 180º = radianes x = 4/9 rad 180º 4/9 rad x = = 80º rad 4/9 rad = 80º Los ejes del sistema de coordenadas dividen la circunferencia trigonométrica en cuatro cuadrantes, como puedes ver en la figura 15. Segundo 180º Figura 15 Ángulos en posición estándar o normal - 90º 270º 0º, 360º Tercer + - Primer + Cuarto 200 Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x (ver figura 16a y 16b). Si el lado terminal de un ángulo coincide con un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal (ver figura 16c). Vértice terminal inicial terminal Origen (0,0) inicial x Figura 16a y 16b. Ángulos en posición normal y Figura 16c. Ángulo cuadrantal
Semana 6 El ángulo de la figura 16a está en el primer cuadrante y el de la figura 16b está en el segundo cuadrante. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando gira favor de las agujas del reloj. 0 Positivo s α 0 r Negativo s -α r Para saber más En la siguiente dirección web encontrarás un video donde se resalta la manera de hallar los ángulos que forman las agujas y manecillas de un reloj: http://www.youtube.com/watch?v=z4wzbc4fakkhttp://www.librosvivos.net/smtc/pagporformulario.asp?temaclave=1173&est=0 Aplica tus saberes 1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos: a) 210º b) 160º c) 135º d) 200º e) 25º 2. Expresa en grados cada uno de los ángulos siguientes: 5 7 11 a) b) c) d) e) 5 3 6 4 3 2 3. Cuáles son las condiciones para que el ángulo pertenezca al primero, segundo, tercer o cuarto cuadrante? 201
Semana 6 4. Indica si el ángulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante o es un ángulo cuadrangular. Sugerencia: En algunos, puede ayudar un dibujo del ángulo en el sistema de coordenadas. 2-3 a) 135 b) -200 c) d) e) 187 f) 60 3 4 Q 140º P - 3 E Figura 17 M En el gráfico el ángulo de 140 pertenece al II cuadrante y el ángulo - (-60 ) pertenece al cuadrante IV. 3 Comprobemos y demostremos que 1. Entrega a tu facilitador los ejercicios de la sección anterior. 2. Autoevalúate Indicador Regular Bueno Excelente Convertí los grados a radianes. Convertí radianes a grados. Realicé las consultas sugeridas. Dibujé los ángulos. 202