Ejercicios : 1. Se lanza un dado y se observa que número de aparece en la cara superior. 2. Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas 3. El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta el número de remaches defectuosos. Determinar el espacio muestral. 4. Se fabrican artículos hasta llegar a producir 10 no defectuosos. Se cuenta el número total de artículos manufacturados. Determinar el espacio muestral. 5. De una urna que contiene solamente esferas negras, se toma una esfera y se anota su color. Determinar el espacio muestral. 6. Se fabrican artículos de una línea de producción y se cuentan el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas. 7. En un bolillero hay 20 bolillas blancas y 5 azules: a. calcular la probabilidad de sacar una blanca b. calcular la probabilidad de sacar una azul c. calcular la probabilidad de sacar una blanca o una azul 8. Al arrojar dos dados, uno blanco y uno negro, calcular la probabilidad de obtener ocho puntos entre los dos. 9. Se lanza una moneda tres veces. Descubrir el espacio muestral y calcular la posibilidad de sacar tres caras. 10. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres, tienen los ojos castaños. Hallar la probabilidad que una persona tomada al azar, sea hombre o tenga los ojos castaños. 11. En un bolillero hay 15 bolillas rojas, 6 blancas y 7 azules. Se quiere se quiere saber cual es la probabilidad al extraer una, de obtener indistintamente una bolilla roja o una blanca. 12. Si se arrojan dos monedas, calcular la probabilidad de sacar 2 caras o dos sellos. 13. Dos tiradores hicieron un disparo cada uno. La probabilidad que el primer tirador haya dado en el blanco es de 0,7, y la del segundo 0,6. -Hallar la probabilidad que por lo menos 1 tirador haya dado en el blanco. 14. Se carga una moneda de modo que la probabilidad de salir cara sea 3 veces la de salir sello. Hallar la probabilidad de cara y la probabilidad de sello. Profesor Eduardo Flores 1 www.crisol.tk
15. La probabilidad de que A o B ocurran es de 1/8. La probabilidad de que A ocurra es de 1/2. Mientras que la probabilidad de que ambos ocurran en forma simultanea no se conoce. Siendo los eventos no excluyentes calcular la probabilidad de que A y B ocurran. 16. Una caja contiene 3 monedas : 1 moneda es corriente, 1 moneda tiene 2 caras y la tercer moneda esta cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea 1/3. Se seleccionara una moneda al azar y se lanzara. Hallar la probabilidad que salga cara. Utilizar diagrama de árbol. 17. Un tubo de vacío puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidad: P1=0,25 P2=0,5 P3=0,25. Las probabilidades de que el tubo funcione correctamente durante un período de tiempo específico son: 0,1 ; 0,2 ; 0,4. Respectivamente para los 3 fabricantes. Calcular la probabilidad de que el tubo elegido al azar funcione correctamente. 18. En un establecimiento se fabrican lámparas incandescentes. El 1º suministra el 70% del total, y el 2º suministra el 30% del total. En promedio son normales 83 lámparas de cada 100 provenientes de la primera fabrica, y el 63 de cada 100 lámparas provenientes de la segunda fabrica. Calcular la probabilidad de comprar una lampara normal 19. Se arrojan tres monedas equilibradas. cuál es la probabilidad de que todas sean "caras" si se sabe que la segunda resulta cara? 20. Se tienen dos fichas o discos de cartón, uno con las dos caras rojas y otro con 1 cara roja y otra azul. Se saca al azar un disco y se ve que contiene 1 cara roja. Cuál es la probabilidad de que la otra cara sea azul? 21. Una urna contiene 5 bolillas rojas, 3 verdes y 7 negras. Siendo eventos excluyentes, calcular la probabilidad de que 1 bolilla sacada al azar sea roja o verde. 22. Una bolsa A contiene 3 bolillas rojas y 2 blancas. Se desea saber las probabilidades de que sean: a. las 2 rojas b. las dos blancas c. 1 roja y 1 blanca 23. Supóngase que A y B son 2 sucesos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurran es de 0,6 mientras que la probabilidad de que A ocurra es de 0,4 determinar la probabilidad de que B ocurra. 24. En una carrera de automóviles la probabilidad de que el corredor Nº 6 gane es de 1/8 y la del Nº 14 es de 1/16: Calcular: a. La probabilidad de que gane la carrera uno de esos corredores b. Calcular la probabilidad de que no gane la carrera el corredor Nº 6 Profesor Eduardo Flores 2 www.crisol.tk
25. Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento que P(a) = 0,4 mientras que P(A u B) =0,7: Sea por comodidad P (A u B)=P Preguntas: a. para que elección de P(b) son Ay B mutuamente excluyentes? b. para que elección de P(b) son Ay B mutuamente independientes? 26. Tres caballos A,B,C, intervienen en una carrera. A tiene el doble de probabilidad de ganar que B, y B tiene el doble que C. Cuales son las respectivas probabilidades de ganar de cada caballo? 27. Sea un dado cargado, tal que la posibilidad de salir un número cuando se lanza el dado es proporcional a dicho número. Por ejemplo el 6 tiene el doble de probabilidad que 3. Sea: A {número par} B {número primo} C {número impar} a. Hallar la probabilidad de cada cara, (número del dado) b. Calcular, P(a), P(b), P(c) c. Hallar las probabilidades de que: l) Salga número par o primo P( A U B ) ll) Salga numero impar Y primo P(CÙB) lll) Salga el ebvento A pero no el evento B 28. En la fabricación de un cierto artículo, se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad 0,1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0,05. Se supone la independencia entre ambos tipos de defectos. Cual es la probabilidad que: a. Un artículo no tenga ambos tipos de defectos b. Un articulo sea defectuoso 29. Cierto equipo de fútbol, gana con probabilidad 0,6 ; pierde con probabilidad 0,3 ; y empata con probabilidad 0,1. El equipo juega 3 encuentros durante fin de semana. a. Determinar los elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos 2 y no pierde; y hallar P(a). b. Determinar los elementos del evento B en que el equippol gana, pierde y empata y hallar P(b). 30. Dos tiradores disparan al blanco. La probabilidad de que hagan blanco en un disparo es 0,7 y 0,8 respectivamente. Hallar la probabilidad de que en un disparo haga blanco solo uno de los tiradores Profesor Eduardo Flores 3 www.crisol.tk
31. En una sala de lectura hay 6 manuales, 3 de los cuales están encuadernados. Se toman al azar 2 manuales sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad de que ambos estén encuadernados 32. En un bolillero hay 7 bolillas blancas y 12 negras. Se extraen 2 bolillas sin reposición. Calcular la probabilidad de que la 1º sea blanca y la segunda sea negra. 33. Para cierta localidad el promedio de días nublados en junio es de 6. Hallar la probabilidad de que haya 2 días seguidos de buen tiempo. 34. En un circuito electrónico se conectan en serie 3 elementos que trabajan independientemente uno del otro. Las probabilidades de falla de cada elemento son: 0,1-0,15-0,2. Hallar la probabilidad de que no haya corriente en el circuito. ACLARACIÓN: Con que un solo elemento, no ande, No va a haber corriente en el circuito electrónico porque trabajan en serie. 35. Un dispositivo físico contiene 2 elementos que trabajan independientemente. Las probabilidades de falla de cada elemento son 0,05 y 0,08 respectivamente. Hallar la probabilidad que falle por lo menos uno de los elementos. 36. Al transportar 25 vasos lisos y 12 vasos de color, se ha roto 1 vaso de color). Hallar la probabilidad de que el vaso roto sea: a) de color b) liso 37. Supóngase el caso de lanzar 1 moneda y 1 dado. Sea el espacio muestral (s) que consta de 12 elementos: A = expresar explícitamente los siguientes eventos: A1) { aparecen caras y un numero par} A2) {aparece un número primo} A3) { Aparecen caras y numero par} A4) {aparecen sellos y un numero par} B= Expresar explícitamente el evento: B1) Que A o B sucedan B2) que B y C sucedan B3) Que solamente B suceda C) Cuales de los sucesos A, B, C son mutuamente excluyentes. 38. Las probabilidades de que 1 hombre vivirá 10 años más es de 1/4 y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es de 1/3. Hallar la probabilidad de que al menos uno (u otro) estará vivo dentro de 10 años. Resolver por diagrama de árbol: 39. Una urna contiene 7 esferas rojas y 3 esferas blancas. De la urna se extraen 3 esferas una tras otra. Hallar la probabilidad de que las 2 primeras sean rojas y la tercera blanca. Profesor Eduardo Flores 4 www.crisol.tk
40. Supóngase que entre seis pernos, dos son más cortos que una longitud específica. Si se toma dos pernos al azar, cuál es la probabilidad de que los 2 más cortos sean los elegidos? 41. Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se sacan 2 a la vez. Se prueba uno de ellos, y se encuentra que es bueno, cual es la probabilidad de que es el segundo también lo sea? Probabilidad condicional: 42. Para armar la siguiente tabla se han tenido en cuenta las clasificaciones: N, A, S. sexo calificación Mujer Varon TOTAL N 7 9 16 A 10 8 18 S 2 4 6 TOTAL 19 21 40 Si entre los 40 alumnos de dicho curso, se elige 1 al azahar, hallar la probabilidad de que: a. Haya obtenido A en la evaluación b. Haya obtenido A sabiendo que el alumno elegido es varón. 43. De una lata que contiene 18 galletitas de salvado y 10 de agua, se extraen 2 galletitas al azar, sucesivamente y sin repetición. Calcular la probabilidad de que la primera galletita extraída sea de salvado y la segunda de agua. 44. Un cierto artículo es manufacturado por 3 fabricas, A-B-C. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda, y que estas y la tercera producen el mismo número de artículos. Se sabe también que el 2% de los artículos producidos por las dos primeras, es defectuoso, mientras que el 4% de los manufacturados por la 3º es defectuoso. Se colocan juntos todos los artículos producidos en fila y se toma uno al azar, cuál es la probabilidad de que este sea el defectuoso? 45. Se arroja una moneda equilibrada (normal), si sale cara se elije al azar un numero del 1 al 10, si sale sello se elige al azar un numero entero del 6 al 10. Cuál es la probabilidad que el número elegido sea par? Profesor Eduardo Flores 5 www.crisol.tk
46. Una oficina tiene 100 máquinas calculadoras. Algunas de estas son eléctricas, mientras que otras son manuales. Además algunas son nuevas mientras que otras son usadas. Una persona entra a la oficina, toma una máquina al azar, y descubre que s nueva... cuál es la probabilidad de que sea eléctrica? E M N 40 30 70 U 20 10 30 60 40 100 47. Tomamos las tres cajas siguientes: Caja1: contiene: 10 lámparas de las cuales son defectuosas Caja2: contiene 6 lámparas de las cuales 1 es defectuosa Caja3: contiene 8 lámparas de las cuales 3 son defectuosas. Tomamos al azar una caja y luego sacamos al azahar una lámpara, cuál es la probabilidad de que la lámpara sea defectuosa? 48. En dos establecimientos se fabrican lámparas incandescentes: El 1º suministra el 70% y el segundo el 30% de la producción total. En promedio son normales 83 lámparas sobre 100, provenientes de la primera fabrica, y 63 de cada 100 lámparas provenientes de la segunda fabrica. 49. En una cierta facultad 25% de los estudiantes perdieron matemática. El 15% perdieron química y el 10 %perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar: a. si perdió química, qué probabilidad hay que también haya perdido matemática? b. Si perdió matemática, cual es la probabilidad que haya perdido química? c. cuál es la probabilidad que haya perdido matemática o química? 50. de un grupo de cinco mujeres y 4 hombres, se seleccionan sucesivamente y al azar 3 personas. calcular la probabilidad de elegir: a. por lo menos 2 mujeres. b. 2mujeres y 1 hombre 51. En cierta facultad el 25% de los alumnos recursan matemática, el 15% recursan física, el 10% recursan ambas. Si seleccionamos un estudiante al azar, cuál es la probabilidad que: a. Recurse matemática si recursa física. b. Recurse física dado que recursa matemática. Profesor Eduardo Flores 6 www.crisol.tk
52. Para la destrucción de un fuerte, es suficiente que caiga 1 bomba de aviación. Hallar la probabilidad de que el fuerte sea destruido, si sobre el se lanzan 4 bombas con probabilidades de impactos iguales a: 0,3-0,4-0,6-0,7- respectivamente. Cuál es la probabilidad que el fuerte sea destruido con cada una de las bombas? 53. De acuerdo a una investigación realizada en una determinada ciudad acerca d e mujeres mayores de 20 años se ha comprobado que entre otras cosas el 68% están casadas, de estas el 40 % trabaja fuera del hogar. De las que no están casadas, el 72 % trabajan fuera del hogar: a. Que porcentaje de mujeres mayores de 20 años trabaja fuera del hogar. b. Si se selecciona al azar una mujer mayor de 20 años, cuál es la probabilidad de que no este casada ni trabaje fuera? 54. Un obrero atiende tres telares. Supongamos que la posibilidad que los telares no requieran de la atención del obrero en una hora sea para el primer telar de 0,9, para el segundo de 0,8 y para el tercero 0,85. Se desea saber cual es la probabilidad de que ninguno de los telares reclame la atención del obrero durante 1 hora. 55. E la fabricación de un cierto articulo se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad 0,1 y defecto de un segundo tipo con probabilidad de 0,05. Se supone la independencia entre ambos tipos de defecto. cuál es la probabilidad de que? a. Un artículo no tenga ambas clases d e defecto. b. Un artículo sea defectuoso. 56. En cierta ciudad, un 40% de la población tiene cabello castaño, 25% de la población tiene ojos castaños y el 15 % tiene cabellos y ojos castaños. Se toma al azar a 1 persona: --- a. Si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad de que también tenga cabellos castaños, b. Si tiene ojos castaños cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? Profesor Eduardo Flores 7 www.crisol.tk
Parte 2. ESTADÍSTICA Ejercicios: 57. Se midió la altura de 133 empleados de una fabrica cuyos datos se resumen en la siguiente tabla: X= altura F i X= altura F i X= altura F i 158-159 1 164-165 12 170-171 15 159-160 2 165-166 6 171-172 9 160-161 3 166-167 6 172-173 7 161-162 4 167-168 12 173-174 5 162-163 5 168-169 14 174-175 2 163-164 6 169-170 20 175-176 1 a. Realizar un histograma con la distribución de frecuencias para un módulo igual a 2. b. Idem para un modulo igual a 3. 58. Se entrevistan a 20 mujeres con hijos, registrándose entre otras características la cantidad de hijos que tiene cada una, los datos o resultados son los siguientes: se pide: a. Tabular b. Determinar el modo. 3, 4, 1, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 3 3, 3, 4, 2, 2, 1, 5, 2, 3, 2 59. Dada esta distribución determinar el modo: D: 2, 3, 5, 8, 8, 8, 9, 11 Cuál es la moda? Cuál es la frecuencia? Profesor Eduardo Flores 8 www.crisol.tk
60. Dada la siguiente tabla determinar modo y frecuencia: X 10-19 20-29 Y 5 10 30-39 20 40-49 60 50-59 30 60-69 10 61. Observando el tipo de alquiler de en 390 viviendas da la capital federal se ha obtenido la siguiente distribución: Tipos de alquiler F i 0-500 20 500-1000 140 1000-1500 180 1500-2000 40 2000-2500 10 62. En una empresa se realizaron 25 ventas en un día cuyos montos son: 106,1 116,9 114,4 110,4 128,9 116,1 101,2 103,4 111,3 118,3 108,4 110,0 124,1 112,2 107,8 114,8 114,7 105,8 113,9 117,4 122,4 115,2 119,8 111,4 110,8 a. Se pide Calcular el modo. La variable es el monto de ventas. 63. Hallar la frecuencia correspondiente al tercer intervalo: Clases F i 4-6 4 6-10 5 10-16? 16-20 3 20-30 1 64. Cinco compañías de seguro tienen los siguiente coeficientes de gastos de administración calculados sobre el total de primas recaudadas, para cada una de ella Coeficientes de gastos de administración Primas recaudadas (en miles de pesos) A: 12% 112 B: 14% 118 C: 20% 97 D:18% 64 E: 16% 75 a. Hallar el coeficiente medio de gastos para las 5 compañías. Profesor Eduardo Flores 9 www.crisol.tk
65. Dada la siguiente tabla calcular modo y media aritmética X F (frecuencias) 10-19 5 20-29 10 30-39 20 40-49 60 50-59 30 60-69 10 66. Un estadista realizó un estudio sobre el promedio de las edades de los miembros de diversos partidos que fueron dispuestos a la cámara de los comunes en su primera elección en el período 1918-1935 De los tres partidos estudiados, tomaremos los liberales cuya distribución de frecuencias relativas se encuentra e indica en el cuadro. En este caso la variable de investigación fue la edad de los diputados. Edad (años) PM Cantidad de diputados F i Pm * f i 21-25 23 2,6 59,8 26-30 28 7,7 215,6 31-35 33 15,3 504,9 36-40 38 15,0 570,9 41-45 43 18,1 778,3 46-50 48 14,3 684,4 51-55 53 15,3 810,9 56-60 58 6,6 382,9 61-65 63 4,2 264,6 66-70 68 0,3 20,4 71-75 73 0,3 21,9 76-80 78 0,3 23,4 HALLAR: a. media aritmética b. modo c. mediana Profesor Eduardo Flores 10 www.crisol.tk
67. Utilizar la relación de Pearson para calcular el modo de la siguiente distribución: D= 3, 3, 4, 6, 7, 8, 9 68. La siguiente tabla muestra la distribución de la carga máxima en toneladas cortas, (1 tonelada corta=2000 libras), que soportan ciertos cables producidos por una compañía. Determinar la media de la carga máxima. Máximo de carga (toneladas cortas) Número de cables 9,3-9,7 2 9,8-10,2 5 10,3-10,7 12 10,8-11,2 17 11,3-11,7 14 11,8-12,2 6 12,3-12,7 3 12,8-13,2 1 TOTAL 60 69. Hallar media aritmética para los datos de la siguiente tabla: X 462 480 498 516 534 552 570 588 606 624 F 98 75 56 42 30 21 15 11 6 2 70. La siguiente tabla muestra la distribución de los diámetros de las cabezas de los remaches fabricados por una compañía. Calcular el diámetro medio. Diámetro (pulgada) Frecuencia 0,7247-0,7249 2 0, 7250-0,7252 6 0,7253-0,7255 8 0,7256-0,7255 15 0,7259-0,7261 42 0,7262-0,7264 68 0,7265-0,7267 49 0,7268-0,7270 25 0,7271-0,7273 18 0,7274-0,7276 12 0,7277-0,7279 4 0,7280-0,7282 1 TOTAL 250 Profesor Eduardo Flores 11 www.crisol.tk
71. Hallar la media y mediana de los siguientes números: a. 5, 4, 8, 3, 7, 2, 9 b. 18,3 ; 20.6 ; 19.3 ; 22.4 ; 20.2 ; 18.8 ; 19.7 ; 20.0 72. Con la siguiente distribución de frecuencias, donde la variable es la cantidad de hijos por mujer, calcular el promedio aritmético o la cantidad media de hijos por mujer: Xi Fi 1 3 2 4 3 7 4 4 5 2 73. Dado el siguiente cuadro donde la variable es el "monto de venta" en pasos, calcular el promedio aritmético o monto mínimo por ventas: X= monto de ventas Xi Fi Xi * Fi 100-105 102,5 3 307,5 105-110 107,5 4 430 110-115 112,5 9 1012,5 115-120 117,5 6 705 120-125 122,5 2 245 125-130 127,5 1 127,5 74. Se ha observado la vida de 84 lámparas de luz obteniéndose la siguiente distribución: Vida en horas Número de bombitas 0-500 4 500-1000 8 1000-1500 12 1500-2000 16 2000-2500 20 2500-3000 24 a. Calcular el modo b. La media aritmética c. Graficar un histograma y un polígono de frecuencia. Profesor Eduardo Flores 12 www.crisol.tk
75. Calcular la desviación media de las siguientes observaciones tabuladas X X i F i 10-14 12 2 15-19 17 8 20-24 22 6 25-29 27 12 30-34 32 7 35-39 37 6 40-44 42 4 45-49 47 3 50-54 52 1 55-59 57 1 Referencias Material extraído de la página http://www.sappiens.com/castellano/articulos.nsf/educadores/ejercicios:_probabilida d_y_estad%c3%adstica/2eebaba69f5469ce41256b950036bac6!opendocument Carlos Sanllorenti Matemático sanllorenti@arnet.com.ar Profesor Eduardo Flores 13 www.crisol.tk