4. Sperficies en el espacio 4. a) Parametrización Definición: Una sperficie relar (de clase C m ) es la im. biy. en 3 de na reión bidim. mediante na fnc. relar (de clase C m ) / (,)Î (,)ÎS o sea, S := () ; O(,) := r(,) = x i (,)e i El par () se llama na parametrización de S; (,) se llaman coordenadas de sperficie del pnto P = (,) en esa parametrización; se llama dominio de la parametrización. Ejemplos Parametrización cartesiana de Mone: Si z = f(x,y), entonces S : {x =, y =, z = f(,)}. Así, el hiperboloide de ec. z = x y, será: {x =, y =, z = },... Parametrización crilínea: si se parametriza en nas coordenadas crilíneas: x i = x i (,). El cono del ejercicio PR3.3 parametrizado en cilíndricas: { = a, =, z = ; >0, [0, [}. 4. b) elementos eométricos de na sperficie b) Líneas coordenadas Definiciones: -línea y -línea coordenadas de S por n pnto ( 0, 0 ) L = ({ = t + 0, = 0 }) y L, análoa b) Bases de sperficie: Dada S por (, (,)), PS se definen:. Base natral de sperficie asociada a la parametrización { (P)}: (, ) (, r ) (, xi ) e i (es base tanencial a L y L en P). Matriz de Gram de sperficie de la base natral (será la matriz coa-coa de la Iª F.F.): E (, ) F (, ) (,) = (,) (,); G(,) = [ (,)] = (,) := det[g(,)] = (,) (,) F (, ) G (, ) 3. Vec. normal N y triedro de sperficie: L L N (, ) ;triedro de S:,, N 4. Plano tanente = plano por cada P, de ector característico N(P) 5. Recta normal = recta por P, de c. director N(P) 6. Base natral recíproca de sperficie {, } / 7. Campos de sperficie: = ó T = t N 0 = t y tamb. con componentes normales a S. N (, ) Métodos - matemáticas - ºC
Ejemplos: casos notables de parametrización Parametrización de Mone A partir de la ecación cartesiana, explícita {z = f(x, y)} o implícita {F(x, y, z) = 0}: Ejemplo con MatLab: paraboloide hiperbólico; PR3.6-3 Sperficies de reolción Definición eométrica conocida: eneratriz plana, eje de reolción, meridianos y paralelos Parametrización cilíndrica (en sistema de referencia con OZ = eje de reolción; es análoo en otros casos): { x = cos, y = sen, z = f(), a < < b, 0 }, donde f corresponde a la eneratriz (fira). líneas coordenadas: meridianos y paralelos (parametrización ortoonal de S) Alternatias: i) {x = f()cos, y = f()sen, z = }. ii) Otro eje de reolción. Ejemplos: El cono recto como sp. de re.; PR3.6-4 y 5, a, 3. Sperficies reladas Definición: directriz, X(); eneratriz de. director (), en cada pnto de la directriz (fi) P Parametrización relada: r(,) = X() + () () Sp. reladas desarrollables: caracterización analítica Líneas coordenadas de la parametrización relada Ejemplos: el cono recto como sperficie relada el helicoide recto (PR3.6-y); sp. cilíndricas enerales; PR3.7, los apartados señalados del PR3.6 El helicoide desarrollable: param., fira, fira, fira3. Otros casos: sperficies tblares Ejemplo, propesto en examen sept. 008; PR3.9, 9B X() O 3 4. c) Medir sobre S: la Iª Forma Fndamental (IFF) Los objetios a medir sobre na sperficie S módlos y ánlos de campos ectoriales de sperficie, lonitdes de arcos de cra sobre S, áreas de casqetes S* Ì S. en todos los casos se aplica directamente e te la Iª FF actando sobre c. de sp. Fndamento: tensor métrico de sperficie (,) := (,) E F ; G(,) = [ (,) ] = F G Cálclo de módlos y ánlos de ectores de sperficie Si los c.. f, h definidos sobre S / f(,) = f y h(,) = h entonces f = f f = f f = [f f f ] G f fh f h cosf, h = f h f f h h Si los campos tienen componente normal, se sa el triedro {, N} y el tensor E F 0 métrico correspondiente, o sea F G 0 4 0 0 (, ) Métodos - matemáticas - ºC
Elemento diferencial de lonitd sobre na sperficie: ds cra C Ì S / r = r(t) está dada por = (t) (parametrización de sperf.) dr Por la r. de la cª.: t dr d d t r dt dt dt t r leo: ds = dr = d = d d E(d ) Fdd G(d ) Primera forma fndamental: la def. clásica (Gass (777-855)): (ds) = d d = E(d) +Fdd + G(d) := I(d,d) No depende de la parametrización (cambia como al c. de parámetros) Lonitd de arco de cra: Lon = P t ds d d P t donde se bsca expresar el arco P P como C = ({ = (t), t <t<t }) Elemento diferencial de área sobre na sperficie: ds ds = dd = det dd : EGF dd Área(S*) = Área((*)) = d S: dd S* * donde se bscará expresar S* = (*), con * = {(,) : a <<a, b ()<<b ()} o similar. S d ds d 5 Ejemplos de aplicación de la Iª.F.F. Ánlos y módlos de ectores de sperficie Ejemplo: Ánlo de la entana de Viiani con el paralelo de la sp. esférica en cada pnto. Bajo qé ánlo se corta la cra a sí misma sobre el ecador? Lonitdes de arcos de cra sobre sperficies Lonitd de la entana de Viiani (llear a na interal a aproximar) Área de n casqete de sperficie Expresar los elementos diferenciales de área de: i) na sperficie esférica; ii) na sperficie cilíndrica recta circlar; iii) na sperficie cónica Expresar S*=(*), S con * ={(,) :aa < < a, b () < < b ()} (o alternatia análoa) en los casos qe sien: Área encerrada por la entana de Viiani en el hemisferio sperior. Área abarcada por na pechina sobre na esfera de radio R: cálclo nota: en PR4: reaparecerán problemas de áreas de casqetes del Capítlo 5º Peden hacerse: PR3.8, 3.9, 3., 3., 3.7-y, 3.9a y 3.9b-y. 6 Métodos - matemáticas - ºC 3
4. d) Deriación del triedro de sperficie. d) Deriación de la base: símb. de Christoffel de sperficie. definiciones de los símbolos: son alores nominales de las componentes, en el triedro {, N} de S, de las deriadas de la propia base, o sea: 3 N : N ; 3 propiedades p :. Simetría: por teorema de Schwartz: k = k (ialdad de deriadas as crzadas). N = = cte. N N 3 3 = 0 3. los símbolos 3 := K son las componentes coas de n tensor de º orden, el tensor de cratra, K,de S, porqe cambian como lo hacen las componentes coariantes de los tensores: dem 4. Además, los símbolos 3 se relacionan con las comptes. K del mismo tensor K, pes se cmple: 3 = K = 3 : dem Así se define: K(,) )=K = K (,) K (, ) como el tensor de cratra de S en cada pnto. La forma coa se llama también IIFF. cálclo: se desprende de la definición y del modo de calclar comptes.: 3 N ; disposic. matricial N Ejemplo: Símbolos del helicoide recto (otros ejemplos en PR3.6: y en otros problemas de PR3, cando se pida sólo la IIFF, 7 como ejercicio, calclar todos los símbolos) na disposición matricial para los cálclos de los símbolos de Christoffel de S: k J J N J i J k f, ic ei N ei 3 3 3 N 3 3 3 ; K ; K 3 3 3 3 3 3 3 0,, N De las dos matrices qe se obtenan (=, ) se peden extraer los símbolos: 3 := K = componentes coariantes de sperficie del tensor de cratra K de S; Salo el sino. También se obtienen las componentes mixtas del mismo K. 3 También peden calclarse directamente: N (sin J ) Los símbolos de Christoffel restantes,, se disponen matr. a coneniencia Métodos alternatios para calclar a partir de la matriz de Gram G(,) Si A := G= G/ ; B = [ cols. ª de las A's]; C = (B ) t : [ ] = f, = c = ½ G (A + B C ) [donde " ", prodcto matricial ordinario] [B También se peden disponer con = matriz: [ ] = f, = c = ½ G C A ] * [B C A ] 8 [donde "*" indica aloritmo combinación lineal de cajas] Métodos - matemáticas - ºC 4
d) Ejemplos de Símbolos de Christoffel y IIFF de sp. Sperficie de reolción Sperficie tórica de radios a b. Si (,) {x = cos, y = sen, z = f() ; 0<, 0<<}, calclar los símbolos de Christoffel de la sperficie en esa parametrización (PR3.7) solción: Ejemplo: PR3.8 (la catenoide) Una sperficie relada: el helicoide recto Si r(,) = X() + () = (R)cos i + (R)sen j + c k es la parametrización relada del helicoide recto [directriz, la hélice X(); eneratrices en la dirección de la normal principal de la hélice en cada pnto]. Calclar los símbolos de Christoffel de S en la forma [ k i] k=f, i=c, =m. solción: (er PR3.6) parm. cil.: {=, =}{x = cos, y = sen, z = ; >0, [0,]} IFF: (,) = + (+ ) (coas pras de sperficie) IIFF: K(,) = ( + ) (coas pras de sp.) 9 4. e) Cratª de na sperf.: tensor crª. y IIª FF. Concepto matemático : La cratra en 3ó de na cra C : {r = r(s) } es na manitd ectorial, qe inclye módlo (cantidad, el escalar ) y dirección (normal principal de C en cada P) y qe se da por el ector := ( ˆt )' s = (r)'' ss : ˆn La cr. de na sperficie es na man. tensorial, qe indica cánto dobla S en n pnto P en cada dir. tanencial, e : Eler (707-783) considera para cada e la cra C(e) := S (P;e,N), la sec. plana S seún e (fi.); si ˆ ˆ ˆn es el c. crª. de C(e), se define la crª. norm. de S en la dir.epor: n (e) := ˆ (e, N) Obs.: En eneral, si C { = (s)} S, reslta: d ˆ d d d d ds ds ds ds ds N P L d d d d 3 d e N ds ds ds ds ds ˆ C(e) : ˆ : ˆ n n^ L 3 3 ˆ d d ˆ ˆ n ds ds N t K t N; K : n (de S ) S Teor.: todas las cras de S qe pasen por P en la misma dirección, e, comparten la misma cratra normal, n (e), qe se llama cr. normal de S en esa dirección, e, y en cada P relar. 0 Métodos - matemáticas - ºC 5
. Definición de tensor de cratra : Como ha resltado qe n (e) = e 3 e es na forma cadrática, pesto qe los 3 son las componentes coas de n tensor de sperficie ( 3ª propiedad ista de los símb. de Christoffel, ya ista) se define en cada pnto relar P(, ) = (, ) el campo tensorial de sperficie: α β K(, ) = K / K := 3 αβ(, ) (, ), llamado tensor de cratra de S. La forma cadrática n (e) = e K e, se llama IIª FF de S, en cada P y para cada dirección tanencial, e. 3. Análisis del tensor: K es simétrico admite base propia ortonormal. atoalores de K : se llaman cratras principales, k y k ; son la máxima y la mínima cratra normal de S en P. atoectores nitarios de K: se llaman direcs. principales de cratra, d y d ; son las dir. tanenciales en qe se obtienen las secciones normales de máxima y mínima cratra en el pnto; forman na base tanencial ortonrm. llamada base principal de S 3. la representación espectral de K en s base propia de las dir. ppales. Se llama representación principal de K : K(,) = k (,) d (,)d (,) + k (,) d (,)d (,) (con k = cr. ppales.) y reslta: Th. de Eler: e = cosd + send n (e) = k cos + k sen 4. na parametrización de S se dice parametrización principal si en ella la IIFF es diaonal la base natral normalizada es base principal de la sperficie. 4. Clasificación de los pntos de na sperficie Lamando: cr. media, K M := ½ tr(k) = ½(k +k ); cr. total o de Gass, K G := det(k) = k k, de S en P, se clasifican los pntos de S seún la IIFF, asociada intrínsecamente al tensor cratra K. Así: pntos elípticos: ªFF definida (estrict. pos. o ne.) K G > 0 crs. normales 0 y del mismo sino en toda direc. tan. e (S = sp. cóncaa o de n mismo lado del pl. tanente fira ª) pntos parabólicos: ªFF semidefinida K G = 0, K M 0 como antes, salo en na dir. ppal. d en qe k = n (d) = 0 (fira ª) pntos hiperbólicos: ªFF indefinida K G < 0! := dir. asintóticas de S en P / n ( ) = 0; son las dir. de la cra intersecc. de S con s propio plano tanente en P ( fira 3ª) pntos planos: K G = 0 = K M sperficie "achatada" contra s plano tanente (se presenta cando hay n contacto de orden mayor qe entre S y s plano tanente en P ( fira 4ª) nota: la indicatriz de Dpin explica n orien intitio de estos nombres Ejercicios: ) Clasificar los pntos del paraboloide de reolción z = x + y. ) Clasificar los pntos del helicoide recto Métodos - matemáticas - ºC 6
Ejemplos y ejercicios de sperficies Ejemplos de aplicación de la IFF y IIFF La sperficie tórica (sp. de re.): clasificar ss pntos. El helicoide recto (sp. relada): PR3.6 Problema: Dada S {z{ = f(x,y)} hallar los coeficientes de la IªFF y IIªFF en términos de las deriadas parciales de f, denotando: p = f' x, q = f' y, R = f'' xx, S = f'' xy, T = f'' yy Calclar ds, ds, K, K M y K G en dicha S. Otros ejercicios de sperficies qe se peden hacer: ) Los problemas de cras PR3.3 y 3.5 peden hacerse también tratando la cra incónita como cra de la sperficie cónica dada en el ennciado, en la forma { = (s) =?, = (s) =?} / t(s) e = cos ó t(s) k = cos ) Peden hacerse PR3.8, 3.0i y ii, 3.4, 3.5, 3.6i a, 3.8i a iii, En eneral, en PR3. a 3.5, los apartados de aplicaciones de la IFF y los qe piden la IIFF o la cratra normal de na cra dada, C S) o clasificar los pntos de S. 3 Firas sobre parametrización de sperficies parametrizaciópn relada pasrametrización de Mone parametrización de reolción 4 Métodos - matemáticas - ºC 7
Otras firas de sperficies Carl F. Gass (777-855) Leonard Eler (707-783) helicoide recto y líneas de cratra en n pnto helicoide tanencia (desarrollable) sperficie tblar de directriz parabólica 5 Sperficie tórica y ss pntos parabólicos sperficie esférica y entana de Viiani Catenoide de reolción y ss líneas principales de cratra Parametrización de na sperficie tblar de directriz dada, C. 6 Métodos - matemáticas - ºC 8