Sucesiones. Progresiones

230 11 PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Sucesiones. Progresiones INTRODUCCIÓN En este tema se estudian las sucesiones, estableciendo su definición y deteniéndose en el estudio de las progresiones aritméticas y geométricas. Es importante que los alumnos entiendan y manejen con soltura la notación de las sucesiones; que sepan en todo momento que el subíndice de un término indica el lugar que ocupa dicho término dentro de la sucesión. Los alumnos también deben entender el significado de la ley de formación de una sucesión relacionándola con su término general, el cual permite obtener todos los términos de la sucesión. Por último, es fundamental que los alumnos distingan las progresiones aritméticas de las geométricas y que sepan cómo obtener el término general de ambas a partir de unos pocos datos. OBJETIVOS Identificar sucesiones y deducir su término general. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Obtener términos de una sucesión y deducir su regla de formación. Identificar una progresión aritmética y calcular correctamente la suma de n términos consecutivos. Distinguir las progresiones aritméticas y geométricas del resto de las sucesiones, obteniendo su regla de formación, y aplicarlas a la resolución de problemas. Identificar una progresión geométrica y calcular correctamente la suma de n términos consecutivos. Aplicar las progresiones aritméticas a la resolución de problemas. Aplicar las progresiones geométricas a la resolución de problemas. La programación didáctica se encuentra en el CD de Programación

Comprender la notación característica de las sucesiones, relacionando el subíndice de un término con la posición que el término en la sucesión. (C2) COMPETENCIAS BÁSICAS 231 PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Reconocer sucesiones o progresiones que se dan en nuestro entorno y ser capaz de interpretarlas con las herramientas matemáticas adecuadas. (C2, C3) Conceptos Regularidad. Sucesión. Término de una sucesión. Término general o término enésimo. Sucesiones recurrentes. Producto de una sucesión por un número. Suma de sucesiones. Producto de sucesiones. Progresión aritmética. Diferencia. Término general de una progresión aritmética. Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. Progresión geométrica. Razón. Término general de una progresión geométrica. Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. CONTENIDOS Procedimientos Identificación de una sucesión y cálculo de su término general. Obtención del término general de una progresión aritmética. Cálculo de elementos de una progresión aritmética a partir de otros. Cálculo de la suma de n términos de una progresión aritmética. Obtención del término general de una progresión geométrica. Cálculo de los elementos de una progresión geométrica a partir de otros. Cálculo de la suma de n términos de una progresión geométrica. Resolución de problemas que impliquen progresiones aritméticas y geométricas. Actitudes Apreciación de la expresión matemática para organizar la información. Valoración de la aplicación de las sucesiones en diversas disciplinas: economía (interés compuesto y análisis técnico), física (distancia interplanetaria), biología (distribución de frutos según la ley de Fibonacci). Interés por la observación y el estudio de regularidades presentes en la vida cotidiana. MÁS RECURSOS ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En el cuaderno de atención a la diversidad puedes encontrar actividades de refuerzo (páginas 24 y 25) y actividades de ampliación (páginas 58 y 59) relativos a estos contenidos. También existen más actividades clasificadas por grados de dificultad en el CD Banco de actividades. SUGERENCIAS Y MATERIALES DIDÁCTICOS Calculadora científica. Vídeo Progresiones aritméticas, de la colección Investigaciones matemáticas. Producido por la BBC y distribuido en España por Mare Nostrum. Ctra. de Villaverde, km 17. Vídeo La magia de los números, de la serie de TVE Más por menos, dirigida por Antonio Pérez.

232 REGULARIDADES SUCESIONES Término general PROGRESIONES ARITMÉTICAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Suma de n términos Suma de n términos INTRODUCCIÓN Las sucesiones y progresiones se pueden encontrar en multitud de situaciones de nuestra naturaleza. Por eso surgen como instrumento matemático. Podemos poner algunos ejemplos como el de la entrada para que los alumnos reconozcan estas regularidades.

233 CONTENIDOS DEL EPÍGRAFE Regularidad. Sucesión. Carácter infinito de las sucesiones. Representación de una sucesión. Término. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS En este epígrafe se introduce de forma intuitiva el concepto de sucesión a partir del concepto de regularidad. Para que los alumnos identifiquen claramente regularidades conviene hacer, aparte de los ejemplos, los ejercicios 1 y 2. Construir una o dos piezas más para que así vean la secuencia y se den cuenta de que a partir de los primeros elementos pueden deducir qué va a suceder posteriormente. Mejor construirlas que dibujarlas, ya que al manipular pueden comprenderlo mejor. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Básico Libro del alumno: actividades 26, 28, 73 y 75. 1. a) 76 b) 6 5 (n 1) 5n 1 2. a) 12, 12, 12 b) 30, 20, 10 c) 31, 33, 35 d) 4, 8, 16 3. a) 11 b) 2 7 5 c) 52 d) 4

234 CONTENIDOS DEL EPÍGRAFE Sucesión recurrente Término general SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Se harán ejercicios sencillos de series de números que los alumnos deberán completar, a partir de la regularidad que presenta la serie. Se pueden escoger ejemplos que los alumnos identifiquen rápidamente, como las tablas de multiplicar. Una vez completada la serie, se tratará de obtener una expresión, en términos de n, que la generalice. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Básico Libro del alumno: actividades 25, 57, 76 y 77. Ampliación 4. a) 1, 0, 1 2 4, 2 5, 1 2, 4 b) 13, 28, 49, 76, 109... 7 c) c 6 33, c 20 383 d) d 3 d 10 0 5. 2, 3, 8, 13 1 6. 1 6, 1 8, 1 4, 1 2 7. 1, 3, 5, 7, 9

235 CONTENIDOS DEL EPÍGRAFE Suma de sucesiones. Producto de un número por una sucesión. Producto de dos sucesiones. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Para introducir la suma, el producto por un número y el producto de dos sucesiones, bastará con hacer los ejemplos del libro y los ejercicios 5 y 6. Si se quiere introducir el concepto de sucesión recurrente con los alumnos aventajados, habrá que detenerse un poco más, poniendo como ejemplo la de Fibonacci, y centrarse solo en el cálculo de los primeros términos a partir de la ley de recurrencia. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Básico Libro del alumno: actividades 27 y 74. 8. a) 6, 12, 18, 24 b) 4, 9, 14, 19 c) 4, 20, 48, 88 9. a) a n 3, 5, 7, 9 b n 7, 10, 13, 16 b) 4(a n ) 8n 4 (a n ) (b n ) 5n 5 (a n ) (b n ) 6n 2 11n 4

236 CONTENIDOS DEL EPÍGRAFE Progresión aritmética. Diferencia. Obtención del término general de una progresión aritmética. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Se introduce el concepto de progresión aritmética con ejemplos para que los alumnos vean cómo se obtiene cada término y se den cuentan del papel tan importante que juega la diferencia. Antes de obtener el término general de una progresión aritmética es conveniente pedir a los alumnos que aporten sus propios ejemplos de progresiones aritméticas para ver si así han entendido el concepto. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Básico Libro del alumno: actividades 31, 32, 33, 45, 58, 59, 60 y 79. Ampliación Libro del alumno: actividades 55, 69, 70 y 71. 10. a n 3n 8 11. a 8 45 12. 270 personas

237 CONTENIDOS DEL EPÍGRAFE Igualdad entre la suma de los términos equidistantes de una progresión aritmética. Obtención de la fórmula de la suma de los n términos consecutivos de una progresión aritmética. Cálculo de la suma. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Hay que probar que la suma de términos equidistantes es constante, y convendría demostrarlo con detalle, para que los alumnos vayan acostumbrándose a las demostraciones. Aunque luego hay ejercicios propuestos, convendría hacer algún ejemplo de la utilidad de sumar n términos de una sucesión. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Básico Libro del alumno: actividad 34. Ampliación Libro del alumno: actividades 36, 37, 67 y 90. 13. 780 14. 30 15. 10, 14 y 18 años 16. 420 km

238 CONTENIDOS DEL EPÍGRAFE Progresión geométrica. Razón. Término general de una progresión geométrica. Propiedades de las progresiones geométricas. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Se puede pedir a los alumnos que den un número cualquiera como primer término y otro número como razón. Se introduce en la calculadora el primer término y después se van obteniendo los distintos términos, multiplicando sucesivamente por la razón y anotando los resultados. A la vista de las construcciones hechas con la calculadora, se comprueba que el cociente entre dos términos consecutivos de una progresión geométrica es constante e igual a la razón. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Básico Libro del alumno: actividades 38, 39, 46, 47, 48, 60, 84 y 85. Ampliación Libro del alumno: actividades 44, 56, 68 y 72. 17. a n 2 3 n 1 1792 18. a 9 0,091 1 9683 19. 83886080

239 CONTENIDOS DEL EPÍGRAFE Fórmula de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Aplicación. Demostración de la suma de los n términos de una progresión geométrica. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS La demostración conviene hacerla paso a paso, para que los alumnos, en un momento determinado, si olvidan la fórmula, sean capaces de desarrollarla por sí mismos. Se puede introducir a modo ilustrativo la leyenda del inventor de ajedrez y que los alumnos calculen el número de granos de trigo que recibiría. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Básico Libro del alumno: actividades 41, 42 y 86. Ampliación Libro del alumno: actividades 91 y 92. 20. 1,5 21. a 10 2048; s 10 1364 22. 6,34 10 28

240 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es conveniente insistir a los alumnos en los diferentes pasos que requiere la resolución de un problema: Leer el enunciado. Ir formando los casos más sencillos. Encontrar la regularidad. Establecer la fórmula que rige la regularidad y probar, con los casos ya establecidos en el segundo apartado, que es correcta. Volver a leer el enunciado para identificar qué es lo que se pide. 23. n 1 n 2 24. 10 pisos, 190; n pisos, 2n 2 n

241 ORGANIZA TUS IDEAS Como una actividad de resumen que sirva para que trabajen el esquemaresumen, los alumnos pueden asignar las actividades realizadas en la unidad a los distintos contenidos presentados en el resumen. Sería suficiente con que encontraran dos o tres ejemplos de actividades para cada apartado. De esta forma se les obliga a repasar el trabajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y procedimientos adquiridos. Una segunda actividad de interés puede ser que los alumnos completen el resumen tanto con otros contenidos presentes en el tema pero no incluidos en este esquema como con contenidos de cursos anteriores relacionados pero no tratados explícitamente en el tema.

242 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Sucesiones y operaciones 25. Roja: 3n; Azul: n 2 ; Verde: 4n 3 5 26. a) 14 b) 30 c) 6 d) 2 7 27. a) (a n ) (1, 5, 9, 13, 17 ); (b n ) ( 2, 4, 6, 8, 10 ) (c n ) (3, 6, 11, 18, 27 ) b) a n b n 4n 3 ( 1) n 2n 3 a n 3 (4n 3) 12n 9 b n c n ( 1) n 2n (n 2 2) ( 1) n 2n 3 2( 1) n a n (b n c n ) 4n 3 ( 1) n 8n 2 3n 2 ( 1) n 6n 8n 6 28. Azules: 0,1, 3, 6, 10; rojos: 1, 3, 6, 10, 15 29. 2, 7, 32, 157, 782, 3907, 19532, 97657, 488282, 2441407 30. a) 2, 2, 6, 10 b) 6, 8, 10, 12 c) 2, 3, 13, 62 d) 1, 2, 3, 6, 12 Progresiones aritméticas 31. a) Sí; a n 4n 12 c) No b) Sí; b n 1 2 n d) Sí; d n 1 32. a 1 7; a n 3n 4 33. La madre mide 1,65 m, y el hijo, 1,50 m. 34. a 1 5 35. 186 36. n 55 37. 4, 9, 14 y 19 puntos

243 Progresiones geométricas 38. a) Sí; a n 1 3 n 1 c) No b) Sí; a n 2 n 1 d) Sí; a n 5 3 5 n 1 39. a 1 1 40. 9 41. 94,5 42. 27333,3 2 43. a) a 5 1 2 4 0,012 cm 2 b) 4,18 cm 2 44. 6,34 10 28 mm CUESTIONES PARA ACLARARSE 45. Aritmética 46. Geométrica 47. Sí, de razón el producto de las razones. 48. a 1 negativo y la razón positiva 49. 2, 4, 6 2n 50. 1, 3, 5 2n 1 51. 3, 7, 11... 52. a) Aritmética; d 10 c) Geométrica; r 10 b) Aritmética; d 10 d) Geométrica; r 1 1 0 53. Constante 54. Negativa 55. La suma de ambos es igual a la suma del primero y el último. 56. El producto de ambos es igual al producto del primero y el último.

244 PROBLEMAS PARA APLICAR 57. 2, 5, 7 58. a n 1 1 (n 1) 1 5 2 4 59. 25 términos 60. a n 4 3 n 1 61. 3, 5, 7 62. 1665 63. a 1 2, d 3 64. 30 m 65. 1905 euros 66. 4893,75 cm 2 67. 66700 68. 0,67 cm 2 69. 12, 10, 8, 6, 4 70. 1,37 10 11 71. a 1 10 a 2 28 a 3 46 a 4 64 a 5 82 a 6 100 72. a 1 1 a 2 2 3 2 a 3 4 3 4

245 REFUERZO Sucesiones y operaciones 1 1 73. a), 1 6 3 2, 1 64, 1 128, 1 256 ; b) 2, 4, 6, 8, 10, c) 3, 9, 27, 81, 243 74. a) (3, 7, 11, 15 ); b) (17, 16, 15, 14 ); c) (32, 52, 60, 56 ) 75. a) 8 b) 0 c) 3 d) 1 3 76. a 2 1 a 1 1 2 a 3 4 3 a 4 1 1 7 77. a 1 2; a 10 101; a 20 401 b 1 5; b 10 3 2 19 ; b 20 6 2 39 78. a) 3, 4, 6, 10, 18... b) 5, 5, 25, 65, 145... Progresiones aritméticas y geométricas 79. a) a n 4n 9; b) c n 9 n 2 80. a) 9 b) 45 81. 4185 personas 82. a 10 67 83. 735 n 1 1 84. a) a n 1 3 1 5 n 1 b) b n 5 5 85. a 1 3 86. 1073741823 87. 5 88. 0,5 89. 3 41 32 90. 180 campanadas 91. a) 31,97 cm 2 b) 25,11 cm 2 92. a 1 2; r 2

246 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 93. A partir de n 2, un panal con n celdas precisa de 4n 3 unidades de cera. 51 4n 3 n 51 3 12 4 Por tanto, un panal de doce celdas precisará de 51 unidades de cera para su construcción. Autoevaluación 1. a n 4n 1 2. a) 1, 18, 71, 178, 357 b) 3, 0, 5, 12, 21 c) 5, 7, 29, 79, 245 3. 520 4. 13120 5. 30, 60, 90 6. 4,27 cm 2 7. 21 8. 7,25; 8,75; 10,25 y 11,75 años 9. 8 términos 10. a n 4n 1 11. a n 5 3 n 1

247 MURAL DE MATEMÁTICAS A partir de la noticia acerca de Fibonacci se podrían trabajar las matemáticas financieras y la bolsa, aprovechar la oportunidad de gráficos y tablas, elementos comunes en bolsa y en matemáticas. Con la construcción de polígonos se puede tratar de buscar la aproximación a, simplemente para que se hagan una idea de cómo es el trabajo matemático en algunos casos.