INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA Supongamos que tenemos una función. Consideramos la recta que corta a la gráfica en los puntos A y B. Esta recta se llama secante y su pendiente es Definición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función, y = f(x) en un intervalo [a,b] al cociente: T.V.M.[a,b] = Este cociente es la pendiente de la recta que une los puntos A(a,f(a) ) y B(b,f(b) ). Con frecuencia, el intervalo se designa mediante la expresión [a,a+h], siendo h la longitud del intervalo. En tal caso, la tasa de variación media se obtiene: T.V.M. [a,a+h] = Si una función es creciente en [a,b], su tasa de variación media es positiva; y si es decreciente, negativa. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Definición: Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I) de una función, y = f(x) en un punto a T.V.I.(a) = limtvma,x x a Es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a. Significado: Si es positiva La función es creciente en el punto a. Si es negativa La función es decreciente en el punto a. = limtvm a,ah h0
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DEFINICIÓN Llamaremos derivada de una función y = f(x) en el punto límite si existe y es finito: f (a) = T.V.I.(a) = limtvm a,x x a x = a y se designa por f (a) al siguiente = limtvm a,ah h0 SIGNIFICADO f (a) es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a) ) Por tanto la ecuación punto-pendiente de la recta tangente a una curva en el punto x = a : y f(a) = f (a) (x a) La recta que pasa por el mismo punto, (a; f(a)) y que es perpendicular a la recta tangente se le llama recta normal y su ecuación es 1 y f(a) = (x a) f'(x) APLICACIONES - Si f (a) > 0 La función es creciente en el punto x = a. - Si f (a) < 0 La función es decreciente en el punto x = a. - Si hay un máximo o mínimo relativo en x = a f (a) = 0. FUNCIÓN DERIVADA DE OTRA Se llama función derivada de f (o simplemente derivada de f) a una función f que asocia a cada abscisa, x, la derivada de f en ese punto, f (x). A la derivada de f la llamaremos f o Df y si se pide calcularla por la definición, o realizar la demostración, se hará el siguiente límite En los demás casos, utilizaremos las reglas de derivación directamente. REGLAS PARA OBTENER LAS DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES. OPERACIONES CON DERIVADAS 1- Multiplicación por un número :( k f ) = k f 2- Suma y resta: (f ± g ) = f ± g 3- Producto: ( f g ) =f g + f g (No hay que confundir la 1 con la 3) 4- Cociente: f g ' f' g g' f g 2 5- Composición: [f(g)] =f (g) g
REGLAS DE DERIVACIÓN Derivadas sucesivas o derivadas de orden superior de F F es la derivada o primera derivada de F. F es la segunda derivada y se calcula derivando F F es la tercera derivada y es la derivada de F... UTILIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVADA CALCULAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN VARIOS PUNTOS Para hallar f (a) se calcula la expresión general de la derivada f (x) y luego se sustituye la x por a. OBTENER LAS ABSCISAS EN LAS CUALES LA DERIVADA TIENE UN CIERTO VALOR Para averiguar los valores de x para los cuales f (x) = k, se calcula la expresión de la derivada f (x), se iguala a k y se resuelve la ecuación.
OBTENER LAS ABSCISAS DE LOS PUNTOS SINGULARES Se llaman puntos singulares a los puntos de tangente horizontal, es decir, a los puntos en los que la derivada es cero. Entre ellos están los máximos y mínimos relativos, pero puede haber otros. Las abscisas de los puntos singulares son las soluciones de la ecuación: f (x) = 0 OBTENER LOS TRAMOS DONDE LA CURVA CRECE O DECRECE Si f (x) > 0 la función es creciente y si f (x) < 0 la curva es decreciente. Por tanto, resolviendo tales inecuaciones se obtienen los intervalos donde la curva crece o decrece. OBTENER LOS TRAMOS DONDE LA CURVA ES CÓNCAVA O CONVEXA Si f (x) > 0 la función es convexa y si f (x) < 0 la curva es cóncava. Por tanto, resolviendo tales inecuaciones se obtienen los intervalos donde la curva es convexa o cóncava. OBTENER LAS ABSCISAS DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN Se llaman puntos de inflexión en los que cambia la curvatura de la función. Están entre las soluciones de la ecuación f (x) =0 ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DOMINIO - Cocientes: D = R {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par: D = {Lo de dentro de la raíz 0} - Raíces de índice impar: D = R - Logaritmos: D = {Lo de dentro del logaritmo > 0} PUNTOS DE CORTE - Con el eje OX : y = 0 x = x 0 P(x 0,0) - Con el eje OY : x = 0 y = y 0 P(0,y 0 ) SIMETRÍA - Simétrica respecto del OY o par: f( x) = f(x) - Simétrica respecto del Origen o impar: f( x) = f(x) SIGNO DE LA FUNCIÓN Se resuelven las inecuaciones f(x)>0 y f(x) <0 ASÍNTOTAS - Asíntotas verticales: Puntos donde la función se va al infinito: y, x = a - Cocientes: Puntos que anulan el denominador - Logaritmos: Puntos que anulan lo de dentro del logaritmo - Aproximación a la asíntota: Calcular límites laterales - Asíntotas horizontales: Puntos donde la x se va al infinito : x, y = b - Cálculo: limf(x) b y = b x MONOTONIA Y PUNTOS CRÍTICOS - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio x = a,...
- Se resuelve la ecuación f (x) = 0 x = x 0, x = x 1,... Se resuelven las inecuaciones f (x)>0 y f (x) <0 - Si f (x) > 0 la función es creciente, y si f (x) < 0 es decreciente. - Máximo relativo: P(x 0,f(x 0 )) : x = x 0 es el punto del dominio donde la función pasa de creciente a decreciente. En él la función es cóncava f (x o )<0 - Mínimo relativo: P(x 1,f(x 1 )) : x = x 1 es el punto del dominio donde la función pasa de decreciente a creciente. En él la función es convexa f ((x 1 )>0 CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio x = a,... - Se resuelve la ecuación f (x) = 0 x = x 2, x = x 3,... Se resuelven las inecuaciones f (x)>0 y f (x) <0 - Si f (x) > 0 la función es convexa en dicho intervalo, y si es f (x) < 0 es cóncava. - Puntos de inflexión: P(x 2,f(x 2 )) : x = x 2 es el punto del dominio donde la función cambia la curvatura. REPRESENTACIÓN GRÁFICA - Se dibujan los ejes con escalas adecuadas. - Se dibujan las asíntotas. - Se dibujan todos los puntos obtenidos. - Se unen según indiquen los intervalos de monotonía y curvatura.