Teorías decidibles Definición Una teoría Σ sobre un vocabulario L es decidible si existe un algoritmo que, dada una L-oración ϕ, verificasiϕ Σ. Ejercicio Sea Ord k el siguiente conjunto de axiomas sobre el vocabulario L = {<}, para una constante k 1: x (x < x) x y z (x < y y < z x < z) x y (x < y y < x x = y) x 1 x k x k+1 ( x i = x j ) Demuestre que Th(Ord k )esdecidible. (i,j) :1 i <j k+1 IIC2213 Teorías 29 / 83
Teorías decidibles Th(Ord k )esunateoríadecidible. Las estructuras que satisface Th(Ord k )tienenalosmásk elementos Son Th(N) yth(r) teoríasdecidibles? Qué herramientas podemos usar para responder este tipo de preguntas? Veamos primero una herramienta para demostrar decibilidad: Eliminación de cuantificadores IIC2213 Teorías 30 / 83
Eliminación de cuantificadores Sea Σ una teoría sobre un vocabulario L. Definición Σ admite eliminación de cuantificadores si para cada L-fórmula ϕ(x 1,...,x k ),existeunal-fórmula ϕ sc sin cuantificadores tal que: Σ = x 1 x k (ϕ(x 1,...,x k ) ϕ sc (x 1,...,x k )) Nota Si ϕ es una oración, entonces ϕ sc es (una tautología) o (una contradicción). IIC2213 Teorías 31 / 83
Eliminación de cuantificadores Ejemplo Sea L = {0, 1, s, +,,<} y ϕ la siguiente fórmula: ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = y (x 1 y y + x 2 y + x 3 =0) Sobre Th(R), los cuantificadores de ϕ pueden ser eliminados. Si: ) ϕ sc (x 1, x 2, x 3 ) = ((x 1 x 3 + x 1 x 3 + x 1 x 3 + x 1 x 3 ) < x 2 x 2 ) ((x 1 x 3 + x 1 x 3 + x 1 x 3 + x 1 x 3 )=x 2 x 2 se tiene que: Th(R) = x 1 x 2 x 3 (ϕ(x 1, x 2, x 3 ) ϕ sc (x 1, x 2, x 3 )) IIC2213 Teorías 32 / 83
Eliminación de cuantificadores Teorema Si una teoría admite eliminación de cuantificadores, y existe un algoritmo que construye ϕ sc a partir de ϕ, entoncesesdecidible. Cómo se demuestra este teorema? A qué teorías puede aplicarse? IIC2213 Teorías 33 / 83
Sea L = {0, s( )} y N s la estructura de L con dominio N yque interpreta 0 y s como la estructura N. Teorema Th(N s ) admite eliminación de cuantificadores. Además, existe un algoritmo que construye ϕ sc a partir de ϕ. Demostración: La demostración es por inducción en ϕ. Si ϕ es una fórmula atómica, entonces ϕ sc = ϕ Para los conectivos lógicos la propiedad es simple de verificar IIC2213 Teorías 34 / 83
Suponga que ϕ(x 1,...,x k )= y ψ(x 1,...,x k, y) yqueexiste fórmula ψ sc (x 1,...,x k, y) sin cuantificadores tal que: Th(N s ) = x 1 x k y (ψ(x 1,...,x k, y) ψ sc (x 1,...,x k, y)) Entonces tenemos que: Th(N s ) = x 1 x k (ϕ(x 1,...,x k ) y ψ sc (x 1,...,x k, y)) y podemos construir ϕ sc (x 1,...,x k )desdeψ sc (x 1,...,x k, y) IIC2213 Teorías 35 / 83
Dado que x (α β) esequivalentea( x α) ( x β), nos concentramos en el caso: ( m ) ( n ) ψ sc (x 1,...,x k, y) = t i = t i t i t i donde t i y t i son L-términos. i=1 i=m+1 Sea u una variable o la constante 0. Entonces para j 0: u j =0 s j (u) = s(s( s (u) )) }{{} j > 0 j símbolos s IIC2213 Teorías 36 / 83
Entonces de Th(N s )esconsecuencialógica: x 1 x k (ϕ(x 1,...,x k ) ( m y s p i (u i )=s q i (v i ) i=1 n i=m+1 )) s p i (u i ) s q i (v i ) donde: Cada símbolo ui (y cada símbolo v i )eselsímbolo0óunade las variables x 1,..., x k, y Si vi = y, entoncesu i = y IIC2213 Teorías 37 / 83
Para construir ϕ sc, primero generamos la fórmula α sc desde ψ sc considerando las fórmulas de la forma s p i (u) =s q i (u) o s p i (u) s q i (u), donde u = y o u =0: Si pi = q i,entoncess p i (u) =s q i (u) esreemplazadopor y s p i (u) s q i (u) esreemplazadopor Si pi q i,entoncess p i (u) =s q i (u) esreemplazadopor y s p i (u) s q i (u) esreemplazadopor IIC2213 Teorías 38 / 83
Si y es la única variable libre en ψ sc,entoncesϕ sc es generada desde α sc de la siguiente forma: 1. Si al menos una fórmula en α sc es, entoncesϕ sc = 2. Si no es mencionado en α sc,entonces: 2.1 Si α sc no menciona una fórmula de la forma s p i (y) =s q i (0), entonces ϕ sc = 2.2 Si α sc menciona una fórmula de la forma s p i (y) =s q i (0) con p i > q i,entoncesϕ sc = 2.3 Suponga que ninguno de los casos anteriores se cumple: α sc menciona fórmula s p r (y) =s q r (0) con p r q r ϕ sc es obtenida eliminando primero el cuantificador y ylas fórmulas desde α sc,paraluegoreemplazary por s q r p r (0) en las fórmulas restantes IIC2213 Teorías 39 / 83
Suponga ahora que y no es la única variable libre en ψ sc. Si alguna de las fórmulas en α sc es, entonces ( k ) ϕ sc (x 1,...,x k ) = x i x i i=1 En caso contrario, β sc es generada eliminando desde α sc,y el proceso continua como es descrito a continuación. IIC2213 Teorías 40 / 83
Suponga ahora que β sc no menciona a ninguna fórmula de la forma s p i (y) =s q i (v i ). Pueden aparecer fórmulas de la forma s p i (y) s q i (v i ) En este caso ϕ sc es generado eliminando desde β sc todos las fórmulas atómicas que mencionan a la variable y. Por qué funciona bien esto? IIC2213 Teorías 41 / 83
Antes de continuar, veamos un ejemplo del último paso. Sea β sc (x 1, x 2, y) la fórmula: s(s(y)) s(x 1 ) s(y) s(s(s(x 2 ))) s(x 1 )=s(s(x 2 )) s(x 2 ) s(0) Para eliminar y desde β sc (x 1, x 2, y), son eliminadas las fórmulas s(s(y)) s(x 1 )ys(y) s(s(s(x 2 ))): ϕ sc (x 1, x 2 ) = s(x 1 )=s(s(x 2 )) s(x 2 ) s(0) IIC2213 Teorías 42 / 83
Dado que de Th(N s )esconsecuencialógica: ( x 1 x 2 (ϕ(x 1, x 2 ) y s(s(y)) s(x 1 ) )) s(y) s(s(s(x 2 ))) s(x 1 )=s(s(x 2 )) s(x 2 ) s(0) Se tiene que de Th(N s )esconsecuencialógica: ( )) x 1 x 2 (ϕ(x 1, x 2 ) s(x 1 )=s(s(x 2 )) s(x 2 ) s(0) IIC2213 Teorías 43 / 83
Para terminar, suponga que β sc menciona al menos una fórmula de la forma s p r (y) =s q r (v r ). Para eliminar y desde β sc se utiliza la igualdad s p r (y) =s q r (v r ). La fórmula s p i (y) =s q i (v i )esequivalentea: s p i +p r (y) = s q i +p r (v i ) por lo que usando s p r (y) =s q r (v r ), obtenemos que: s p i +q r (v r ) = s q i +p r (v i ) IIC2213 Teorías 44 / 83
De manera precisa, sea γ sc la fórmula generada desde β sc ejecutando los siguientes pasos: Se elimina s p r (y) =s q r (v r )desdeβ sc Se reemplaza cada una de las restantes fórmulas s p i (y) =s q i (v i )pors p i +q r (v r )=s q i +p r (v i ) Se reemplaza cada fórmula s p i (y) s q i (v i )por s p i +q r (v r ) s q i +p r (v i ) Si p r =0,entoncesϕ sc = γ sc. Pero en caso contrario, hay que agregar algo a γ sc. Por qué no basta con γ sc si p r > 0? IIC2213 Teorías 45 / 83
Finalmente, si p r > 0, se tiene que: ϕ sc = γ sc ( pr 1 i=0 ) s q r (v r ) s i (0) En ambos casos, tenemos que: Th(N s ) = x 1 x k (ϕ(x 1,...,x k ) ϕ sc (x 1,...,x k )) IIC2213 Teorías 46 / 83
Para concluir, veamos un ejemplo del último paso. Sea β sc (x 1, x 2, x 3, x 4, y) lafórmula: s(s(y)) = s(x 1 ) s(s(y)) = x 2 s(x 2 )=s(s(x 4 )) s(s(y)) s(s(x 3 )) s(x 3 ) s(s(0)) Para eliminar y desde β sc (x 1, x 2, x 3, x 4, y), primero utilizamos la fórmula s(s(y)) = s(x 1 ): s(s(s(x 1 ))) = s(s(x 2 )) s(x 2 )=s(s(x 4 )) s(s(s(x 1 ))) s(s(s(s(x 3 )))) s(x 3 ) s(s(0)) ydespuésagregamoslafórmula: s(x 1 ) 0 s(x 1 ) s(0) IIC2213 Teorías 47 / 83
Dado que: Th(N s ) = x 1 x 2 x 3 x 4 (ϕ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) ( y s(s(y)) = s(x 1 ) s(s(y)) = x 2 s(x 2 )=s(s(x 4 )) s(s(y)) s(s(x 3 )) )) s(x 3 ) s(s(0)) IIC2213 Teorías 48 / 83
Tenemos que: Th(N s ) = x 1 x 2 x 3 x 4 (ϕ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) ( s(s(s(x 1 ))) = s(s(x 2 )) s(x 2 )=s(s(x 4 )) s(s(s(x 1 ))) s(s(s(s(x 3 )))) s(x 3 ) s(s(0)) )) s(x 1 ) 0 s(x 1 ) s(0) IIC2213 Teorías 49 / 83
Corolario Th(N s ) es una teoría decidible. Qué otras teorías admiten eliminación de cuantificadores? Vamos a ver que esta es una herramienta muy útil para decidir una teoría IIC2213 Teorías 50 / 83
La teoría de los números reales es decidible Recuerde que R = R, 0 R, 1 R, s R, + R, R,< R. Teorema (Tarski) Th(R) admite eliminación de cuantificadores. Además, existe un algoritmo que construye ϕ sc a partir de ϕ. Corolario Th(R) es una teoría decidible. IIC2213 Teorías 51 / 83
La teoría de los números naturales con adición es decidible Sea L = {0, 1, s( ), +,<} y N + la estructura con dominio N yque interpreta los símbolos de L como la estructura N. Queremos demostrar que Th(N + )esdecidible. Es posible utilizar la técnica de eliminación de cuantificadores en este caso? Th(N + ) no admite eliminación de cuantificadores. Por ejemplo, no es posible eliminar los cuantificadores de fórmula ϕ(x) = y (x = y + y) IIC2213 Teorías 52 / 83
La teoría de los números naturales con adición es decidible Pero hay una posible solución al problema. Extender L con un conjunto de predicados que permita la eliminación de cuantificadores Ejemplo Sea 2 un predicado definido como: n 2 m es cierto si (n m) es divisible por 2. n y m son congruentes en módulo 2 Si agregamos 2 a L entonces es posible eliminar el cuantificador desde ϕ(x) = y (x = y + y). ϕ(x) esequivalentea(x 2 0) IIC2213 Teorías 53 / 83
La teoría de los números naturales con adición es decidible Sea L el vocabulario L { k k 2}. Además,seaN una L -estructura tal que: N es el dominio de N los símbolos de L son interpretados en N como en la estructura N + Para cada k 2: (n, m) estáenlainterpretaciónde k en N si y sólo si (n m) esdivisiblepork Teorema (Presburger) Th(N ) admite eliminación de cuantificadores. Además, existe un algoritmo que construye ϕ sc apartirdeϕ. IIC2213 Teorías 54 / 83
La teoría de los números naturales con adición es decidible Corolario Th(N ) es una teoría decidible. Obtenemos el resultado que estábamos buscando: Corolario Th(N + ) es una teoría decidible. IIC2213 Teorías 55 / 83
Dónde estamos? Utilizando la técnica de eliminación de cuantificadores mostramos que las siguientes teorías son decidibles: Th(N s ), Th(N + ), Th(N )yth(r) Todavía nos queda responder si Th(N) es decidible. La técnica de eliminación de cuantificadores no funciona en este caso Qué otras técnicas pueden ser usadas para demostrar que una teoría es decidible? IIC2213 Teorías 56 / 83
Teorías finitamente axiomatizables Sea Σ una teoría sobre un vocabulario L. Definición Σ es finitamente axiomatizable si existe un conjunto finito y consistente Ax de L-oraciones tal que Σ=Th(Ax). Ejemplo Th(Gr) es una teoría finitamente axiomatizable. IIC2213 Teorías 57 / 83
Teorías finitamente axiomatizables: Una propiedad fundamental Demostramos que Th(Gr) no es una teoría completa. Existen entonces teorías finitamente axiomatizables que no sonni completas ni categóricas Pero estos conceptos están relacionados: Teorema Si una teoría es finitamente axiomatizable y completa (categórica), entonces es decidible. Ejercicio Demuestre el teorema. IIC2213 Teorías 58 / 83
Teorías finitamente axiomatizables y completas: Ejemplo Sea L = {<} y OrdDen el siguiente conjunto de axiomas: x (x < x) x y z (x < y y < z x < z) x y (x < y x = y y < x) x y (x < y) x y (y < x) x y (x < y z (x < z z < y)) Th(OrdDen) es la teoría de los ordenes lineales densos sin primer ni último elemento. R,< y Q,< son modelos de esta teoría IIC2213 Teorías 59 / 83
Teorías finitamente axiomatizables y completas: Ejemplo Proposición Th(OrdDen) es una teoría completa y finitamente axiomatizable. Corolario Th(OrdDen) es una teoría decidible. IIC2213 Teorías 60 / 83