Ejercicios Resueltos: Geometría Plana y del Espacio 1. Determine el valor del ángulo en el triángulo de la figura: Ejercicios extraídos de pruebas parciales. Roberto Vásquez B. x x 4x x x 180º 1x 180º x 15º x x 180º 180º 60º 10º R : 10º. Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos es igual al triple del otro. Determine ambos ángulos. 180º 180º 0º 540º 0º 540º 4 540º 15º 4 180º 45º R : 15º; 45º. La suma del lado de un triángulo equilátero con su altura es 5 cm. Determine la medida del lado. a h 5 a sabemos que h a a 5 / a a 6 4 5 a 6 4 5 6 4 5 R : a cm. 4. En la figura, ABCD es un rombo, AN BN, AB AE y NMB 55º. Determine la medida del x. NMB 55º AMN 5º AN NM NAM 5º MAD NAM MAD x 90º x 90º 70º 0º R : x 0º
5. Determine el área sombreada del de la figura: A base altura 10 5 50 cm Rectángulo base altura 5 5 ATriángulo 1,5 cm A A A 50 1,5 7,5 cm Achurada Rectángulo Triángulo R : A 7,5 cm Achurada 6. En la figura, QA y QB son tangentes a la circunferencia y C es punto de la misma. Si AQB 0º, determine el valor de ACB. AOB Ángulo del Centro AQB AOB 180º AOB 150º AOB ACB 75º R : ACB 75º 7. Calcule el volumen de un cilindro cuya altura es el triple del radio de su base de área A 1 cm. A r 1 r 1 r 1 h 6 V r h 1 6 7 R : V 7 cm 8. Determine la medida de la diagonal de un paralelepípedo de aristas 5, 7 y 11 cm. D 5 7 11 5 49 11 195 R : 195 cm. 9. Determine el volumen de un cubo de arista a 10 cm, si se le resta el volumen de otro cubo de arista a 4 b. a 10 a 1000 10 4 b 7 b 4 a b 1000 4 657 R : 657 cm
10. Determine la medida de x en la figura, considerando que L 1 // L : 5x 5º 4x 5º 180º 9x 180º x 0º R : x 0º 11. Calcule el área de un cuadrado si su diagonal mide 5 m. D a 5 / 5 15 D a 5 a R : a 61,5 m 1. Considerando que BCD 140º, determine la medida del arco AB. BCD 140º ACB 40º AOB ACB 40º 80º R : AOB 80º 1. La Circunferencia está inscrita en el cuadrado de lado 8 cm. Calcular el área achurada de la figura. cuadrado cuadrado cuadrado circunferencia circunferencia achurada cuadrado circunferencia l 8 cm A l 64 cm r 4 cm A r 4 16 cm A A A 64 cm 16 cm 64 16 cm 1,76 cm R : A 1,76 cm achurada
14. El triángulo ABC de la figura es isósceles, con AC BC. El trazo AD es bisectriz del ángulo CAB, y la medida del ángulo ECD = 100. Calcular la medida del ángulo Y. C E 100 D A Y B ECD 100º ACD 80º CAB ABC 100º, pero CAB ABC CAB 50º Como AD es bisectriz, entonces y 5º R : y 5º 15. Calcular el valor de x en la siguiente figura, considerando que L 1 y L son paralelas: L 1 x 5º 4 L x 0º Los ángulos de la figura son Alternos Externos, entonces x 5º x 0º 4 x 5º 4 x 0º 6x 50º 4x 80º 6x 4x 80º 50º x 0º x 15º R : x 15º 16. Determine el valor de x en la figura: Ángulo adyacente a 140º 40º Ángulo adyacente a x 180º 90º 90º 90º 40º 50º x 180º 50º 10º R : x 10º 4
17. Calcule al Perímetro de un si sus lados están en la razón 14:8 y su diagonal mide 4 60. Si los lados están en la razón 14:8, implica que existe un factor "x" de tal forma que P 14x 14x 8x 8x 44x Ahora, si los lados son 14x y 8x, entonces D lado mayor lado menor D 14x 8x D 196x 64x D 60x 4 60 / 60x 16 60 x 16 60 60 1 x 16 1 x 4 x 4 Por lo tanto P 44x 44 4 176 R : P 176 18. Determine el área achurada, si O: centro de la circunferencia, r 8, 5 cm. y α es igual a la mitad del suplemento de 110º. El suplemento de 110º es 70º, y su mitad es 5º, lo que implica que 5º. Entonces ASectorCircular r 5º 8,5 cm Total 60 60,06 cm A r 8,5 cm 6,98 cm A A A 6,98 cm,06 cm Achurada Total SectorCircular 04,9 cm R : A 04,9 cm Total 19. Calcule el área achurada en el ABDC si AB cm. y BD, 5 cm. A base altura cm.,5 cm. 7 cm círculo A r 1cm cm achurada círculo A A A 7 cm cm 7 cm,86 cm R : A,86 cm achurada 5
0. La siguiente representa la punta de una flecha. El Radio del Cono es de 5 cm. y su altura es de 8 cm. El cilindro donde va el eje de la flecha tiene una altura de cm. y su radio es cm. menos que el radio del cono. Determine el Volumen del cono. cilindro r h 5 cm 8 cm VCono 09,4 cm Si el radio del cilindro es cms. menos que el radio del cono, entonces r tanto : cilindro Total Cono cilindro cm, por lo V r h cm cm 7,69 cm V V V 09,4 cm 7,69 cm 171,74 cm R : V 171,74 cm Total 1. Calcule el Área de un prisma de base triangular, si la base es un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 5 cm., el otro lado mide 6 cm. y la altura del prisma es de 1 cm. Si el triángulo es isósceles, quiere decir que: Por lo tanto, podemos usar el Teorema de Pitágoras para determinar la altura del triángulo: h 5 h 5 9 h 16 h 4 Considerando entonces que el volumen del prisma es 6 cm 4 cm VPrisma Abase hprisma 1 cm 144 cm R : V 144 cm Prisma. Considerando que el triángulo ABC es equilátero, y que BE es bisectriz del ángulo CBD, determine el valor del ángulo x : Si ABC es equilátero, entonces ABC 60º, y BE es bisectriz, tenemos que DBE 60º. Además, DEB es suplemento de 100º, por lo tanto DEB 80º, entonces como: DEB BDE DBE 180º 80º BDE 60º 180º BDE 40º por lo tanto, considerando que BDE y x son suplementarios, entonces x 140º. R : x 140º 6
. L1 // L, y L4 es bisectriz del ángulo formado por la intersección de L y L. Determine el valor de x : x 16º x 14º 180º x 16º 6x 8º 180º 8x 1º 180º 8x 180º 1º 8x 19º 19º x 8 x 4º R : x 4º 4. Dos ángulos son adyacentes y suman 98º. Su diferencia es º. Cuál es la medida de ambos? 98º º sumamos ambas ecuaciones 11º 11º 11º 98º 98º / 11º 196º 11º 75º R : ; 196º 11º 75º 5. Determine el área achurada si ABCD es un cuadrado de lado a 0 cm., AB corresponde a una semicircunferencia de diámetro AB, DE y EC son semicircunferencias de igual diámetro. D E C A B A 0 cm 0 cm 900 cm A cuadrado semicirculomay circulomen r 15 cm 5,4 cm A r 7,5 cm 176,71cm A A A A 69,85 cm Total cuadrado semicirculomay circulomen R : A 69,85 cm Total 7
6. Determine el área de un triángulo equilátero si su perímetro es P 51 cm. Si el perímetro es P 51cm, entonces el lado P es ltriángulo 17 cm, ya que los tres lados son iguales. Por lo tanto A TEquilátero a 17 cm 15,14 cm 4 4 R : A 15,14 cm TEquilátero 7. Determinar el valor de x y, considerando que AC BC. De acuerdo al dibujo, tenemos que DAB ABD BDA 180º, pero 40º ABD 9º 180º ABD 48º Si AC BC, entonces tenemos que ACB 84º, ya que CAB 48º ABC x 180º 84º 96º Además, y 180º 9º 88º, entonces x y 96º 88º 184º R : x y 184º 8. Dado el siguiente trapecio equilátero, determine su área. Sabemos que la altura de un trapecio, teniendo la medida de las bases, está dada por la fórmula: h a sen h 10 cm sen 5º 7,98 8 cm Entoncestenemos bsuperior binferior A h 10 cm cm A 8 cm 16 cm 8 c m 18 cm R : A 18 cm 8
9. En el triángulo de la figura, AB BC CA. El segmento CD divide el ángulo ACB de tal forma que. Determine la medida de x. SiAB BC CA,entoncesABCesuntriángulo equilátero.deserasi,tenemosquesi, y 60º 60º 0º Sabemosademásque DCB CBD BDC 180º,pero 0º 60º x 180º x 180º 80º 100º R : x 100º 0. Un estanque cilíndrico lleno hasta las altura, cuáles son sus dimensiones? partes tiene 6 m de agua. Si el diámetro del estanque es igual a su Si VCilindro 6 m, entonces V Cilindro 6 m 54 m r h 54 m r h pero h D r entonces 54m r r r 54 m / r 7 m r m. R : r m.; D 6 m. h 6 m. 9