Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: Combinatoria Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemático/ Aplicación / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo, Cumplimiento Aprendizajes Esperados: Calcular probabilidades condicionales en situaciones problemáticas. Curso: 4 E.M Guía N 1 Recursos TICs: Resolución de las problemáticas a través de un POWERPOINT en la pizarra Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clases Tiempo: 4 bloques Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme Profesores de nivel: Gastón Castro H.- Miguel Fernández R Unidad: Ejercicios de Combinatoria Nombre: CURSO: 1
1. Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra CASO, sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas ordenadamente. 2. Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra CASA. Después escríbelas ordenadamente. 3. Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse con un conjunto de 8 elementos? (En los subconjuntos no importa el orden en que se escriban los elementos) 4. En una carrera en la que participan 10 caballos existen dos tipos de apuesta: en la primera hay que acertar quién va a llegar primero, quién segundo y quién tercero; en la segunda hay que acertar cuáles van a ser los cuatro primeros caballos en llegar, pero no su clasificación. Cuál de los dos tipos de apuesta crees que es más sencilla de acertar? 5. Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden escribirse con las cifras, sin repetir {0, 1, 3, 8 }; y con repetir los dígitos? 6. Dibuja una circunferencia y marca sobre la misma diez puntos. Uniendo parejas de esos puntos Cuántos pentágonos distintos se podrían formar? 7. Con las cifras 0, 1, 3, 7 y 9 cuántos números distintos de tres cifras, todas ellas diferentes, pueden formarse? 8. Cuántos números mayores que 4100 se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 sin que se repita ninguna? Y mayores que 2300? 2
9. Recordando que una diagonal de un polígono convexo es el segmento que une dos vértices no consecutivos cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono convexo? 10. Averiguar de cuantas maneras se pueden ordenar linealmente las figuritas, si se van a elegir 3 de ellas. Cuántas si se ordenan las 5 figuras circularmente? 11. Cuántos números de 4 cifras distintas que se pueden formar con las cifras {1, 3, 5, 7 }? 12. En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales está unido a todos los demás por una cinta transportadora. Calcula el número de centros de la fábrica si se sabe que el número de cintas transportadoras es 66. 13. Cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras { 2, 3, 5, 7, 8 }, Teniendo en cuenta que la primera cifra debe ser par? 14. Hallar cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } que estén comprendidos entre 400 y 600.. 3
15. Cuántas señales distintas pueden hacerse con cinco banderas distintas agrupándolas de tres en tres y sin que se repita ninguna? Y agrupándolas de todas las formas posibles (es decir, de una en una, de dos en dos, etc)? 16. Cuántas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de la palabra POLAR y que empiecen y terminen por vocal? 17. En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son arqueros. Cuántas alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo puede jugar como defensa, medio o delantero? (cada equipo de fútbol tiene 11 jugadores entre ellos 1 arquero) 18. Cuántos equipos de baloncesto de 5 jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 8 jugadores chilenos y 3 extranjeros?. En cancha a lo más puede haber 2 extranjeros 19. Averiguar cuántos números mayores que 200 y menores que 700 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sin que tengan cifras repetidas. Responde a la misma cuestión en el caso de que las cifras se puedan repetir. 4
20. Cuántos puntos de intersección como máximo producen 8 rectas coplanarias (que pertenecen al mismo plano), sabiendo que dos de ellas son paralelas? 21. Cuántas palabras que contengan dos consonantes y dos vocales pueden formarse con cinco consonantes y cuatro vocales? 22. Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con las cifras 4, 5, 6 y 7? Cuántos de esos números terminan en 5? 23. Con, exactamente, las letras de la palabra FRANCISCO cuántas palabras pueden formarse con la condición de que empiecen por N y terminen por una consonante? 24. De cierto número de rectas coplanarias se sabe que no hay tres de ellas que concurran en el mismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas rectas producen 45 puntos al cortarse. De cuántas rectas estamos hablando? 25. En cada uno de los ocho vértices del octógono en que termina la torre de mando de un buque hay luces de colores diferentes. Cuántas señales distintas se podrán hacer encendiendo menos de cinco luces? 5
Ejercicios de combinatoria. Segunda parte. 1. Reducir: E = (n + 3)! - 3(n + 2)! (n 1)! 2. Reducir: R n (n 1)! 3. Resolver: (n 4)! (n 3)! 2 (n 2)! (n 1)! 4. De cuantas maneras se puede escoger una comida (1 entrada, 1 plato de fondo y un postre), si se dispone de 4 entradas, 5 platos de fondo y 3 postres. 5. Katherine tiene 6 pantalones y 5 blusas. De cuantas maneras distintas puede ponerse una blusa y un pantalón? 6. De cuantas maneras se pueden ubicar 10 personas en una camioneta si solo uno de ellos sabe manejar. 7. Cuantas palabras que terminen en O pueden obtenerse con las letras de la palabra CUBIERTO sin que se repita la letra y no importa si tienen significado. 6
8. De cuantas maneras 5 soldados forman una fila. 9. Cuantas palabras diferentes, sin importar si no tienen significado, se puede formar con la palabra MISSISSIPPI. 10. De cuantas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en 6 asientos unipersonales ubicados alrededor de una mesa redonda? 11. De cuantas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en 6 sillas ubicadas alrededor de una mesa redonda, sabiendo que entre ellos hay un matrimonio y deben sentarse juntos? 12. De cuantas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en 6 sillas ubicadas alrededor de una mesa redonda, sabiendo que son tres matrimonios y cada uno debe sentarse al lado de su esposo? 13. Determinar el valor de n en la siguiente expresión: np3 = 60 14. Cuantos números distintos de cinco cifras cada uno, sin que ninguna, se repita, se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 de tal manera que todos empiecen con 2 y terminen en 1. 7
15. En la prueba de fórmula 1, hay 18 participantes, los cuales han de disputar, un primer, segundo y tercer lugar para llegar al podio; si se trata de que Ud. Acierte con la clasificación final, de cuantas posibilidades tendría que escoger una? 16. Tenemos las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cuántos números de 5 cifras diferentes podríamos tener si las 2 primeras cifras de estos números pueden ser solo ocupados por 1, 2, 3 y 4, las que a su vez no pueden ocupar los otros tres lugares restantes. 17. Cuantas banderas tricolores diferentes, de franjas horizontales se pueden confeccionar si se disponen de 7 colores distintos 18. Hallar el valor de x en la igualdad 3 (x C 5) = 2 (x C 6) 19. En un club de vóley tienen un total de 10 jugadoras, de las que en cada partido solo pueden jugar 6 de ellas. Cuántos equipos diferentes de 6 jugadoras cada uno podría formarse en este club, sabiendo que en todos ellos siempre tienen que estar como capitana la misma jugadora? 8
20. De cuantas maneras diferentes pueden elegirse un comité de 4 personas en un club de 10 miembros, sabiendo que los cargos ha desempeñar son de diferente rango. 21. Si en una reunión se han dado 105 apretones de manos. Cuántas personas han ido a dicha reunión? 22. La primera división de una liga europea consta de 25 equipos. Cuántos partidos deben jugarse para completar la primera rueda? 23. *Se tienen nueve puntos en un plano. Cuatro de ellos están alineados y los restantes están dispuestos de forma que no hay nunca 3 alineados. Cuántos triángulos pueden formarse que tengan sus vértices sobre esos 9 puntos? Cuántas rectas distintas determinan esos puntos? 24. Cuál es el número de colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de modo que tres libros determinados estén siempre separados entre sí? (dos pueden estar juntos) R: 4.320 9
25. Un grupo de tres chicos y dos chicas son colocados al azar en una mesa circular. Si a es el número de colocaciones diferentes en las que se sientan dos chicas juntas y b es el número de colocaciones diferentes en las que no se sientan dos chicas juntas (dos colocaciones serán iguales si una puede ser obtenida de la otra mediante una rotación apropiada). Entonces cual es el valor de a y el b? R: 12 y 12. 26. Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir los siguientes dígitos 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 5? Úselos como quiera. R: 30 27. Cuál es el tamaño mínimo de una población para que exista al menos un día al año (de 365 días) donde coincidan la fecha del aniversario de nacimiento de al menos nueve personas? R: 2921 28. Sea E un alfabeto con 5 vocales y 21 consonantes. Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse con las letras de E, tales que la primera y las últimas letras sean vocales distintas y las otras tres sean consonantes distintas? R: 5 4 21 20 19 29. Cuántas permutaciones del conjunto de números {1, 2, 3, 4, 6, 9 } satisfacen la condición de que en la primera posición y en la última haya un múltiplo de 3? R: 144 30. De cuántas maneras se pueden ordenar la palabra EXAMENES si no puede haber dos E adyacentes? R: 2400 10
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