CIRCUNRNCIA UNIA III III. INICIÓN CIRCUNRNCIA Una cicunfeencia se define como el luga geomético de los puntos P, que equidistan de un punto fijo en el plano llamado cento. La distancia que eiste de cualquiea de sus puntos al cento ecibe el nombe de adio. Cabe señala que una cicunfeencia un cículo no son sinónimos, a que un cículo es la poción del plano compendida limitada po una cicunfeencia, es deci, toda su egión inteio. Si el cento de la cicunfeencia se ubica en el punto de coodenadas, como la siguiente:, su gáfica tendá una foma PC P, C, Paa obtene la ecuación que descibe a este luga geomético, se aplica la fómula de distancia ente los, C, : puntos P d Peo po definición, esta distancia es igual al adio, po lo tanto: elevando al cuadado: que es la ecuación odinaia o canónica de la cicunfeencia con cento en, adio.
Paa el caso especial en que el cento se localiza en el oigen, esta ecuación toma la foma: jemplos. Obtene la ecuación de la cicunfeencia con cento en 3, 7 3, 7,, aplicando la fómula: C que tenga adio seis. 3 7 3 7 9 9 0 nconta la ecuación de la cicunfeencia con cento en el oigen de adio cuato. Como se tata del caso especial se aplica la fómula:, esto es: 0 3 Halla la ecuación de la cicunfeencia que sea tangente a las ectas, que esté sobe el eje. Gaficando: C0, - Se obseva que el punto medio de las dos ectas es el eje, tiene abscisa 0 aplicando la fómula se tiene: 0,, po lo tanto, al esta sobe, el cento seá C. l adio es 0 0, po lo que
3 III. CUACIÓN GNRAL LA CIRCUNRNCIA Sea la ecuación odinaia: desaollando se tiene: acomodando: 0 aoa, si se acen los siguientes cambios de vaiable:,, si se sustituen, la ecuación esultante es: 0 epesión conocida como ecuación geneal de la cicunfeencia. jemplo. Obtene la ecuación geneal de la cicunfeencia con cento en 3, C que pase po el punto 9, P. Al no tene el adio como dato debe encontase mediante la distancia que sepaa a los puntos. sa distancia viene dada po: d, consideando a P como punto uno al cento como punto dos: 3 9 9 3 sustituendo se tiene: 9 9 9 3 3 3 0 III.3 OBTNCIÓN LA CUACIÓN ORINARIA A PARTIR LA CUACIÓN GNRAL Sea la ecuación geneal: 0 acomodando convenientemente: 0 completando los tinomios cuadados pefectos: 0 factoizando: 0 o bien: efectuando los siguientes cambios de vaiable:,, la ecuación toma la foma:
compaando ambas ecuaciones, el cento se ubica en: su adio es: C, Po lo tanto: Si > 0, la cicunfeencia es eal Si 0, la cicunfeencia es un punto Si < 0, la cicunfeencia es imaginaia no eiste. jemplos. Halla las coodenadas del cento, enconta la magnitud del adio detemina si se tata de una cicunfeencia eal, imaginaia o un punto en las siguientes ecuaciones: 8 0 0 8, 0, 8 0 C, C, como 3 > 0, entonces la cicunfeencia es eal. 8 0 00 8 3 3 0,, C, C, como 0 < 0 3, entonces la cicunfeencia es imaginaia 0 3 8 08 97 0 8 97 ividiendo todo ente queda: 3 0 8 97, 3, 8 3 8 3 3 C, C, C, 7 3
8 3 97 3 3 3 388 388 388 0 0 388 9 9 388 3 como el esultado es ceo entonces la cicunfeencia es el punto de coodenadas: C, 3 III. PROBLMAS RLATIOS A LA CIRCUNRNCIA jemplos misceláneos. Obtene la ecuación de la cicunfeencia con cento en 3, 8 0 C que sea tangente a la ecta Como no se tiene el adio debe encontase po medio de la fómula de distancia de un punto a una ecta: A B C 8 3 30 0 0 d A B 8 00 0 3 9 0 0 8 0 Halla la ecuación de la cicunfeencia que tiene como etemos de uno de sus n diámetos a los, B, puntos A Como no se tiene ningún dato diecto, paa obtene el cento se debe obtene el punto medio ente A B. Po su pate, paa obtene el adio se debe enconta la distancia del cento a cualquiea de los dos puntos: 8 ; C, su adio es: 3 9 3 la ecuación queda: 3 3 8 3 8 7 0 3 nconta la ecuación de la cicunfeencia que tenga adio cinco que tenga el mismo cento que la cicunfeencia 3 0 ividiendo ente dos la ecuación queda: 8 7 0, 8, 7 obteniendo su cento: 8 C, C,9 9 8 8 8 9 0
Cuáles de los siguientes puntos: A, 3, B 9,,,, K, 3,3 W petenecen a la cicunfeencia 0?,,, así que el cento se encuenta en: C, C su adio es: 9 8 00 0 0 su ecuación es: 3 7 0 o bien: 3 7 00. Sustituendo: el punto A : 3 3 7 9 8 97 00 A a la cicunfeencia el punto B : 9 3 7 8 00 00 B a la cicunfeencia el punto : 3 7 8 00 00 a la cicunfeencia el punto K : 3 7 0 00 3, 7 K a la cicunfeencia el punto W : 3 3 3 7 0 0 0 00 00 00 W a la cicunfeencia Obtene la ecuación de la cicunfeencia que pase po los puntos: L 3,, M,7 N, Como los tes puntos petenecen a la cicunfeencia, satisfacen la ecuación geneal, po tanto: 3 3 0 3 9 sustituendo el punto L : sustituendo el punto M : 7 7 0 7 9 sustituendo el punto N : 0 3 acomodando queda: 7 8 9 Resolviendo el sistema de ecuaciones po el método de deteminantes: 8 9 3 7 7 3 7 03 0 30 3 8 9 3 7 7 90 70 70 87 30 8
3 7 8 9 3 7 09 30 00 30 0 7 30 30 compobación: 7 7 8 8 0 9 3 po lo tanto, sustituendo en la ecuación geneal los valoes de, se obtiene la ecuación buscada: 0 obteniendo su cento: C, C, su adio es: 0 00 0 Nótese como los puntos son los vétices de un ti, cuo cicuncento es el cento de la cicunfeencia. III. LMNTOS UNA CIRCUNRNCIA Los oco elementos básicos de una cicunfeencia son los siguientes: c d a C s n t 7
Cento C. s el punto fijo en el plano sobe el que gia un punto que genea la cicunfeencia. Radio. s el segmento de ecta que eiste del cento a cualquie punto de la cicunfeencia. iámeto d. s el segmento de ecta ente dos puntos de la cicunfeencia que pasa po el cento. Tangente t. s la ecta que sólo toca a un punto de la cicunfeencia. Cueda c. s un segmento de ecta une dos puntos de la cicunfeencia. Aco a. s una pate o subconjunto de la cicunfeencia, limitada po dos puntos de ella. Secante s. s la ecta que cuza a una cicunfeencia en dos puntos. Nomal n. s la ecta que es pependicula a la tangente de una cicunfeencia. Po su pate, los s elacionados a una cicunfeencia son seis: Cental.- s el que tiene su vétice en el cento de la cicunfeencia. Inscito.- s el que tiene el vétice en la cicunfeencia sus lados la cotan. Semiinscito.- s el fomado cuando su vétice está en la cicunfeencia, siendo un lado secante el oto tangente a ella. Inteio.- s el que tiene el vétice en el contono delimitado po la cicunfeencia peo no en su cento. teio.- s el fomado cuando su vétice no está en la cicunfeencia ni en el contono delimitado po ella Cicunscito.- s el fomado cuando su vétice está en la cicunfeencia, siendo los dos lados tangente a ella. cental inscito semiinscito inteio eteio cicunscito III. POSICIONS RLATIAS OS CIRCUNRNCIAS ependiendo de la distancia a que se encuenten de sus adios, dos cicunfeencias, cuos centos se encuentan a una distancia d pueden se: teioes, si d es mao que la suma de sus adios Tangentes eteioes, si d es igual a la suma de sus adios Secantes, si d es meno que la suma de los adios peo mao que su difeencia Tangentes inteioes, si d es igual a la difeencia de los adios Inteioes si d es meno que la difeencia de los adios mao que ceo Concénticas, si d es ceo. 8
d d d teioes d Tangentes eteioes d Secantes Tangentes inteioes Inteioes Concénticas os de los cuato puntos notables de un ti definidos en el capítulo I son el incento el cicuncento: l incento es el punto de intesección de las bisectices una bisectiz es un ecta que divide a un en dos pates iguales. l cicuncento es el punto de intesección de las mediatices una mediatiz es la ecta pependicula de un segmento en su punto medio. stos puntos tienen elación diecta con la cicunfeencia. l incento es el cento de la cicunfeencia que es tangente inteio a los lados del ti. Po su pate el cicuncento es cento de la cicunfeencia que contiene los tes vétices del ti. mediatiz bisectiz Incento Cicuncento 9
III.7 APLICACIONS La cicunfeencia se aplica en todo aquello elacionado con movimiento otativo, po ejemplo:. l movimiento cicula. s aquél cua taectoia de un punto siempe posee la misma distancia a su cento. Tal es el caso de un epoducto de discos compactos o de, el plato de un ono de micoondas, los geneadoes, etc. l movimiento cicula puede se: unifome, si la velocidad angula es constante, o bien aceleado si la aceleación angula es difeente de ceo. n el pime caso se puede inclui aquellos mecanismos de poceso continuo como la fabicación de papel en el segundo caso se puede inclui el compotamiento de los neumáticos de un automóvil o el moto de una lavadoa.. La cicunfeencia también se utiliza en constucciones, tales como en puetas, cúpulas, columnas. La taectoia de algunos satélites desciben óbitas ciculaes, así como el compotamiento de la luz de un fao. 3. Algunas piezas mecánicas pesentan fomas ciculaes, tales como ondanas, cabezas de tonillos, el filo de un oificio ceado po la boca de un talado, las aspas de un ventilado, en geneal, todo aquello que gia po medio de motoes.. Algunos fenómenos natuales, tales como el aco iis o la somba de la luna en la Tiea en un eclipse total de Sol, están también deteminados po cicunfeencias 0