TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

ACADEMIA SABATINA TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Llamaremos transformación geométrica a una operación que permite producir una nueva figura (imagen) de la dada originalmente. Las podemos clasificar en directas, cuando las figuras conservan el sentido en el plano orientado, e inversa, cuando los sentidos de las dos figuras son contrarios. También se pueden clasificar según el aspecto de la imagen respecto a la original: Isométricas, cuando conservan las dimensiones y ángulos. Se denominan también movimientos. Veremos las simetrías axial y central, la traslación y la rotación. Isomórficas, cuando conservan la forma de la figura original (los ángulos), pero existe una proporcionalidad entre las dimensiones de las dos figuras, por ejemplo, la homotecia. Anamórficas, cuando cambia la forma de la figura original, por ejemplo, la homología. Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas. La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), igual medida. La figura inicial y la imagen son semejantes y geométricamente congruentes. Existen tres tipos: traslación, simetría y rotación. Traslación: es una isometría que mueve cada punto de la figura a una distancia dada, en una dirección específica, a lo largo de un vector v = (a, b). La coordenada a del vector indica el movimiento horizontal, si es positivo mueve a la derecha y si es negativo a la izquierda. La coordenada b del vector indica el movimiento vertical, si es positivo mueve hacia arriba y si es negativo hacia abajo. Formalmente, una traslación dada por el vector v = (a, b) es una función del plano al plano, tal que, a todo punto (x, y) le corresponde el punto (x + a, y + b). Ejm 1: Traslación del punto A, según el vector u Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 1

Ejm 2: Traslación del triángulo ABC, según el vector u Ejm 3: Traslación del segmento FG, según el vector c, usando regla y compás 1. Trazamos rectas paralelas al vector c por los puntos F y G. 2. Tomamos con el compás la magnitud del vector y trazamos arcos con centro en F y G con esta magnitud. 3. Unimos los puntos de intersección de las rectas con los arcos para obtener la imagen. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 2

Rotación: es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, éste permanece a una distancia constante del centro. Es una transformación del plano determinada por mantener un punto fijo, llamado centro, y rotar el plano alrededor de este punto una cierta cantidad en una dirección específica. Esta cantidad se denomina ángulo de rotación y se toma su medida en grados. Si el ángulo es positivo, se rota en sentido contrario a las manecillas del reloj; si es negativo, se rota en el sentido de las manecillas del reloj. Ejm 4: Rotación del punto A, alrededor del punto O, un ángulo de 60 Ejm 5: Rotación del segmento BC, alrededor del punto D, un ángulo de 120 Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 3

Ejm 6: Rotación del triángulo EFG, alrededor del punto H, un ángulo de 90 Cuando el ángulo de rotación es múltiplo de 90, podemos realizar la rotación usando papel cuadriculado, formando los ángulos rectos entre los puntos y el centro de rotación. 1. Asumimos que el punto de rotación es (0,0). 2. Buscamos las coordenadas de cada punto de la figura con relación al punto de rotación. 3. Intercambiamos las coordenadas de dichos puntos. Los signos de las coordenadas dependerán del cuadrante en el que se ubique cada punto y donde se ubicará su imagen. Simetría: es la correspondencia exacta en la disposición regular de los puntos de una figura con relación a un punto (centro de simetría), una recta (eje de simetría) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral. Simetría central: es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones: a. El punto y su imagen están a igual distancia del centro de simetría. b. El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta. Según esto, una simetría central es igual que una rotación de 180º. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 4

Ejm 7: Simetría central del punto A, respecto a O Ejm 8: Simetría central del triángulo BCD, respecto a E Ejm 9: Simetría central del segmento FG, respecto a H, usando regla y compás. 1. Trazamos rayos desde los puntos F y G hacia el centro de simetría. 2. Trazamos dos arcos con centro en H y radio F y G hasta que intersequen los rayos. 3. Unimos los puntos de intersección entre los arcos y los rayos para obtener la imagen. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 5

Simetría axial: es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto, que cumple con las siguientes condiciones: a. La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría es la misma. b. El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría. Esta simetría es conocida mayormente con el nombre de reflexión. En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA. Ejm 10: Reflexión del punto A, respecto a la recta L Ejm 11: Reflexión del triángulo DEF, respecto a la recta L Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 6

Ejm 12: Reflexión del segmento GH, respecto a la recta L, usando regla y compás. 1. Trazamos rayos perpendiculares a la recta L desde los puntos G y H. 2. Trazamos dos arcos con radio G y H y centro los puntos de intersección de los rayos con la recta L (I y J). 3. Unimos los puntos de intersección entre los arcos y los rayos para obtener la imagen. Composición de simetrías: Ejm 13: Si aplicamos dos simetrías respecto de ejes paralelos, obtenemos una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre dichos ejes. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 7

Ejm 14: Si aplicamos dos simetrías respecto de ejes que se cortan en D, obtenemos una rotación con centro en D, cuyo ángulo es el doble del que forman dichos ejes. Ejm 15: Si aplicamos la misma simetría dos veces, obtenemos la transformación identidad. Líneas de simetría: una figura geométrica tiene líneas de simetría, si la imagen de la reflexión respecto a esta línea coincide con la misma figura. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 8

Simetría rotacional: una figura geométrica tiene simetría rotacional cuando al rotar la figura, alrededor de algún punto, un ángulo menor de 360, la imagen coinciden con la figura original. Actividades 1. Cuáles son las coordenadas del punto A al reflejar el cuadrilátero ABCD con respecto al eje x? A. (5,5) B. (5, 5) C. ( 5, 5) D. ( 5,5) 2. El triángulo con vértices en los puntos P = (1,2), Q = (5,6), R = (4,3) es reflejado respecto al origen. Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo resultante? A. P = (2,1), Q = (6,5), R = (3,4) B. P = ( 1, 2), Q = ( 5, 6), R = ( 4, 3) C. P = ( 1,2), Q = ( 5,6), R = ( 4,3) D. P = (1, 2), Q = (5, 6), R = (4, 3) Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 9

3. Cuáles de las siguientes transformaciones del plano no preserva la semejanza de figuras? A. Rotación B. Traslación C. Reflexión D. Homología 4. Cuál de las siguientes figuras muestra una rotación? A. B. C. D. 5. Ana hizo el siguiente diseño usando un hexágono regular y un rectángulo. Cuántos ejes de simetría tiene el diseño de Ana? A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 6. Cuál de las siguientes figuras tiene simetría rotacional? A. B. C. D. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 10

El diagrama muestra los muebles de la habitación de Manuel. Use la cuadrícula para dibujar la nueva distribución de la habitación con las nuevas coordenadas: Cama: (1, 1); (1, 6); ( 3, 6); ( 3, 1) Armario: (2,4); (2,6); ( 3,6); ( 3,4) Silla: (4, 2); (6, 4); (4, 6); (2, 4) Escritorio: ( 5,2); ( 5,5); ( 6,5); ( 6,2) 7. El mueble que rotó 90 alrededor de una de sus esquinas iniciales es: A. Cama B. Armario C. Silla D. Escritorio 8. El movimiento que realizó al armario fue: A. Trasladarlo 4 unidades hacia abajo B. Rotarlo alrededor de uno de sus lados C. Reflejarlo respecto al eje vertical D. Trasladarlo 4 unidades a la izquierda 9. El mueble que reflejó respecto al origen es: A. Cama B. Armario C. Silla D. Escritorio Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 11

10. Cuál de las siguientes sería una imagen de la figura original bajo rotación? A. B. C. D. Dibuje el paralelogramo A = (1,5); B = ( 1,2); C = (2,3); D = (4,6) en un plano cartesiano. Realice las siguientes transformaciones y de las nuevas coordenadas del paralelogramo. 11. Traslación según el vector v = (0,4). 12. Traslación de la imagen resultante del paso anterior según el vector u = (6,0). 13. Cuál vector transforma el cuadrilátero inicial en la imagen del ejercicio b? Los puntos A = ( 10,7); B = ( 3,8); C = (2,3); D = ( 5,2) son los vértices de un rombo en el plano cartesiano. Escriba las coordenadas del rombo transformado mediante: 14. Simetría respecto al eje x. 15. Simetría respecto al eje y. 16. Simetría respecto a la recta que pasa por los puntos M = (0, 3), N = (3,6). 17. Rotación de 90 alrededor del punto A. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 12

18. Complete las figuras según las líneas de simetría mostradas. Encuentre otras líneas de simetría, si las hay. Cree una nueva figura y rete a un compañero a descubrirla. 19. Determine cuántas líneas de simetría tiene la figura y si tiene simetría rotacional. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 13

20. La imagen de la palabra NOON después de rotarla 180 es NOON. Qué otras palabras tienen esta propiedad? 21. La imagen de la palabra TOT al reflejarla respecto a la línea vertical a través de la O es TOT. Qué otras palabras tienen esta propiedad? 22. La imagen de la palabra BOOK al reflejarla respecto a la línea horizontal es BOOK. Qué otras palabras tienen esta propiedad? 23. La imagen del número 1881 al reflejarlo respecto a la línea horizontal y luego vertical es 1881. Qué otros números menores que 2000 tienen esta propiedad? 24. Si la moneda superior se rota alrededor de la moneda inferior hasta que esté al lado, en qué posición queda la cara de la moneda superior? Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 14

25. Busque el punto en que la bola blanca debe golpear la banda inferior para chocar después con la bola negra. Dónde debe golpear si el juego es a dos bandas? 26. Escriba las transformaciones para llegar de una figura a la otra en el orden mostrado. 27. Use el compás para dibujar un círculo de 4 pulg. de diámetro sobre un papel y córtelo. Doble por las líneas punteadas que muestran las figuras y finalmente haga los cortes indicados. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 15

28. Doble una hoja de papel por la mitad y luego nuevamente por la mitad en el otro sentido. Realice el dibujo aquí mostrado, sobre la esquina doblada. Corte por la línea y desdoble. 29. Polihueso: a partir de un cuadrado construir los huesos para teselar el plano, siguiendo las indicaciones. 30. Palomita: a partir de un triángulo equilátero construir las palomitas para teselar el plano, siguiendo las instrucciones. Angy C. Coronel Suárez Febrero 2016 16