MATEMÁTICA 3 BÁSICO REDES Y CUERPOS GEOMÉTRICOS Material elaborado por: Irene Villarroel Adaptación: Equipo de Matemática Programa Mejor Escuela
1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD En esta unidad se estudian los cilindros, las pirámides de distintas bases y los conos. Se trata de caracterizar cada uno de estos cuerpos geométricos en función de las superficies y las líneas que los delimitan. Así también, se seleccionan redes para poder armar los distintos cuerpos geométricos conocidos. Finalmente, se plantean situaciones problemáticas que implican para su solución el empleo de los conocimientos adquiridos. 2. DURACIÓN APROXIMADA 3 semanas. 3. CONTENIDOS Caracterización de pirámides, cilindros y conos. Identificación y empleo de redes que permiten construir cuerpos geométricos. Resolución de problemas. 4. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Demostrar que comprenden la relación que existe entre figuras 3D y figuras 2D: - construyendo una figura 3D a partir de una red (plantilla). - desplegando la figura 3D. Indicadores o describen las figuras 2D que forman las redes (plantillas) de figuras 3D como cubos, paralelepípedos, cilindros y conos, desarmándolas o describen figuras 3D como cubos, paralelepípedos, cilindros y conos de acuerdo a sus caras, aristas y vértice. o relacionan redes de figuras 3D con las figuras 2D correspondientes o reconocen figuras 3D de acuerdo a vistas de dos dimensiones o arman una figura 3D, por ejemplo un cubo y/o un paralelepípedo, a partir de una red trazada o Describen pirámides con diversas bases poligonales en función de sus caras, aristas y vértices. o Dado un conjunto de cuerpos geométricos identifican aquellos que son pirámides. o Identifican las redes que les permiten armar cubos, prismas rectos, pirámides, cilindros y conos, considerando las características de dichos cuerpos geométricos. o Arman cubos, y prismas rectos con bases rectangulares, cuadradas y triangulares en base a redes proporcionadas por el docente o elaboradas por ellos mismos. o Arman cilindros, conos y pirámides en base a redes proporcionadas por el docente. 2
Describir cubos, paralelepípedos, esferas, conos, cilindros y pirámides de acuerdo a la forma de sus caras, el número de aristas y de vértices. Indicadores o identifican y denominan figuras 2D como parte de figuras 3D concretos del entorno. o clasifican figuras 2D. o elaboran una figura dada en un geoplano, con las partes de un tangrama y/o recortes. o elaboran figuras 2D en forma pictórica, utilizando una matriz de puntos. o elaboran un cuadrado, plegando una hoja de papel. o dibujan figuras, usando papel cuadriculado o de puntos. 3
MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE 1. Profundización de contenidos Acerca de las pirámides La pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono y cuyas caras laterales son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado ápice o cúspide. A veces se le llama también vértice de la pirámide, aunque la pirámide tiene más vértices. Una pirámide puede ser recta u oblicua. La pirámide recta se caracteriza porque todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Y la pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles. El nombre de cada una de las pirámides está asociado al polígono que forma su base. Ellas pueden ser pirámides triangulares, pirámides cuadrangulares, pirámides pentagonales, etc. según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono, etc. En este nivel se estudiarán especialmente las pirámides de base triangular entre las que destaca aquella que está formada por 4 triángulos equiláteros y que se la denomina tetraedro regular. En tal caso, cualquier cara puede ser la base de la pirámide. La pirámide cuadrangular o de base cuadrada que tiene 5 caras, la base de forma cuadrada y 4 caras laterales con forma de triángulo. La pirámide rectangular, cuya base es un rectángulo y tiene 4 caras laterales con forma de triángulo. Se trata de que los estudiantes reconozcan las características básicas de cada una de las pirámides mencionadas, las distingan del resto de los cuerpos geométricos conocidos y puedan construirlas a partir de redes. También es importante que puedan asociarlas con objetos o construcciones existentes en el mundo real. Por ejemplo, las pirámides de Egipto y México, la pirámide de entrada al Museo de Louvre en París, Francia. 2. Recomendaciones metodológicas Para el desarrollo de esta unidad proporcione a los estudiantes cuerpos geométricos tales como prismas rectos, pirámides de distintas bases, cilindros y conos de modo que los estudiantes puedan manipularlos y fijar con mayor exactitud sus características. Estos cuerpos geométricos pueden estar construidos en cartulina, madera, plástico u otros materiales. Se sugiere, asimismo, que para cada uno de los cuerpos geométricos entregados haya de diferentes tamaños. También es importante contar con un conjunto de objetos que tengan formas similares a los cuerpos geométricos estudiados. 4
Se sugiere comenzar repasando los conceptos de caras, aristas y vértices de un cuerpo geométrico y los conceptos de superficies planas y curvas. En relación con las redes se sugiere, por ejemplo, obtener redes desarmando cajas con formas semejantes a los cuerpos geométricos estudiados. Así los estudiantes podrán reconocer más fácilmente aquellas redes que les permitirían construir cada uno de los cuerpos estudiados o determinar si faltan algunos elementos para lograrlo. Es importante destacar que la construcción de redes para cilindros, pirámides y conos es un tanto compleja de modo que en estos casos sólo se sugiere que los estudiantes puedan armar estos cuerpos con redes dadas. La distinción entre formas de 2 dimensiones (figuras geométricas planas) y formas de 3 dimensiones (cuerpos geométricos) resulta a veces difícil de captar para algunos estudiantes. En este sentido, es recomendable contrastar, por ejemplo, el dibujo de una red para armar un prisma (forma de 2 dimensiones) con el prisma ya armado (forma de 3 dimensiones) de modo que los estudiantes puedan, a través de estas actividades, desprender algunas conclusiones respecto de la diferencia entre ambas formas geométricas. Finalmente, en relación a los cuerpos geométricos es conveniente repasar situaciones que permitan reforzar el razonamiento geométrico y la imaginación espacial. En tal sentido se recomienda realizar actividades tales como efectuar asociaciones entre los cuerpos geométricos estudiados y objetos del entorno. 3. Sugerencias metodológicas Antes de iniciar el trabajo con las guías se sugiere hacer un pequeño repaso relacionado con el reconocimiento de los prismas rectos y pirámides y de los conceptos de caras, aristas y vértices en un cuerpo geométrico. Así también repasar el reconocimiento y caracterización de triángulos, cuadrados y rectángulos. En cuanto al trabajo con redes se sugiere en primer término analizar qué características deberían tener las redes para construir cada uno de los cuerpos geométricos estudiados. En el caso de los cilindros y conos es necesario entregar las redes ya confeccionadas ya que los estudiantes carecen de los conocimientos necesarios para su elaboración. Para el caso de los prismas rectos y las pirámides es posible que los estudiantes, aplicando las características que conocen de estos cuerpos geométricos, puedan hacer sus propias redes o ampliar los modelos que se presentan en las guías. Es importante tener presente que el trabajo con redes ayuda a fortalecer la comprensión de las características de los cuerpos geométricos estudiados, permite también reforzar la diferencia entre formas geométricas de 2 dimensiones y formas geométricas de 3 dimensiones y contribuye al desarrollo de la imaginación espacial. Para el desarrollo de esta unidad se sugiere formar grupos de trabajo y proporcionarle a cada grupo el conjunto de cuerpos geométricos de que se dispone. Se sugiere prestar atención al trabajo que se realiza al interior de cada uno de los grupos, asegurarse, por ejemplo, que todos los estudiantes manipulan los cuerpos geométricos en estudio y participan activamente en la realización de las actividades propuestas. 5
MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍAS 1, 2, 3 Y 4. LOS PRISMAS Y LAS PIRÁMIDES A través de estas guías se espera que los estudiantes distingan entre prismas rectos y pirámides e identifiquen y caractericen las caras de la pirámide de base triangular, de base cuadrada, de base rectangular y el tetraedro regular. Que saquen conclusiones respecto de la relación entre los lados del polígono que forma la base de las pirámides y el número de caras de la misma y asocien algunos objetos del mundo real con la forma de las pirámides en estudio. Se solicita, asimismo, que hagan una pequeña investigación respecto de las pirámides que hay en México y Egipto estableciendo así una conexión entre lo que están estudiando y el mundo real. Se sugiere que los estudiantes trabajen en grupo y dispongan de una variada gama cuerpos geométricos, en especial, de prismas rectos y pirámides. GUÍA 5. ARISTAS Y VÉRTICES EN UNA PIRÁMIDE En este caso se trata de que los estudiantes puedan identificar las aristas y los vértices de cada una de las pirámides en estudio, que puedan determinar sus características y establecer relaciones entre ellas y el número de caras. También aquí es importante que los estudiantes puedan realizar las actividades propuestas teniendo en sus manos y efectuando observaciones de cada uno de los cuerpos en estudio. GUÍA 6. EL CONO En esta guía se espera que los estudiantes puedan, a través de la manipulación de un cono, lograr caracterizarlo como un cuerpo geométrico que tiene 1 cara curva y una cara plana con forma de círculo, una arista con forma circular y un vértice. Así también que puedan reconocer al observar la red con la que se puede formar un cono cuál de las partes corresponde a la base y cual a la cara curva. GUÍA 7. EL CILINDRO En esta guía se espera que los estudiantes manipulen cilindros y puedan observar que el cilindro tiene 2 caras planas con forma circular y una cara curva que al extenderla tiene forma de rectángulo. Se trata, asimismo, que reconozcan que el cilindro no tiene vértices y sus aristas corresponden a la línea en la que se unen las caras planas con la cara curva. Se sugiere que los estudiantes puedan observar y manipular cilindros de distintos tamaños y grosores. GUÍA 8. CUERPOS REDONDOS Aquí se introduce la idea de cuerpos redondos a los que pertenecen el cilindro, el cono y la esfera. Se trata de cuerpos que tienen caras curvas las que permiten que dichos cuerpos puedan rodar a diferencia de la pirámide y de los prismas rectos que no lo pueden hacer. Aquí también se espera que los estudiantes puedan reconocer formas semejantes a los cilindros y conos en objetos del mundo real. GUÍAS 9, 10, 11 Y 12. REDES En estas guías se introducen las redes para armar prismas rectos, pirámides, cilindros y conos. Cabe señalar que las redes constituyen formas planas que permiten construir los 6
cuerpos mencionados. Se trata de que los estudiantes reconozcan el cuerpo geométrico que se puede construir a partir de cada una de las redes que se presentan para lo cual es fundamental que manejen las características básicas de los cuerpos estudiados. Estas redes pueden construirse en papel, cartulina o cartón que sea fácil de doblar. Es importante tener presente que este trabajo con redes es especialmente apropiado para mostrar cómo a partir de una figura geométrica plana (la red) es posible construir un cuerpo geométrico. Lo anterior facilitará la comprensión de la diferencia que existe entre una figura plana (2 dimensiones) y un cuerpo geométrico (3 dimensiones). GUÍAS 13 Y 14. DEL PLANO AL ESPACIO Y FORRANDO CUERPOS GEOMÉTRICOS Estas guías son de trabajo grupal y es indispensable contar con todos los materiales indicados en las guías para realizar las actividades. La idea es que establezcan relación entre las figuras 2D y las figuras 3D, identificando las figuras planas que les permitirán armar cuerpos y cuáles son las características que deben tener para que esto ocurra. GUÍA 15. RESOLVIENDO PROBLEMAS En esta guía se plantean situaciones problemáticas que se espera que los estudiantes resuelvan haciendo uso de los contenidos tratados en esta unidad. Se sugiere comentar los resultados esperados de modo que los estudiantes puedan corregir posibles errores. GUÍAS 16 y 17. RESOLVIENDO EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE En estas guías se plantean ejercicios de selección múltiple relacionados con los contenidos tratados. Se sugiere que los estudiantes los resuelvan en forma individual y que luego comenten las respuestas dadas y corrijan los posibles errores. Las respuestas correctas a los ejercicios planteados son los siguientes: 1B, 2A, 3D, 4C, 5B, 6C, 7B, 8B, 9B, 10C, 11A, 12C. 7