Disecciones de Figuras Construcciones con regla y compás Actualmente se entiende por Matemáticas una amplia variedad de disciplinas: Álgebra, Cálculo Infinitesimal, Cálculo de Probabilidades, Estadística,... dentro de las cuales la Geometría ocupa un lugar destacado aunque no principal. En un principio no era así y era usual identificar Matemáticas y Geometría. En épocas como la griega, la demostración geométrica era la única posible y la única forma de razonar sobre un problema era que los pasos que debían darse para su solución pudieran simularse mediante la utilización de regla y compás. A base de trazar líneas rectas y transportar distancias mediante un compás se pueden empezar a hacer construcciones como: Recta paralela a una dada por un punto exterior, Recta perpendicular a una dada por un punto exterior, División de un ángulo en dos partes iguales, Obtención de un cuadrado de área doble de uno dado,... Cuando aparece el álgebra, siglos después, muchos de estos problemas simplifican su solución y se resuelven otros que habían permanecido abiertos mucho tiempo. Duplicar el área de un cuadrado dado se 2 hace equivalente a resolver la ecuación x = 2, esto es, hallar 2, operación que puede hacerse de forma sencilla con el número de decimales que se precise. De la misma forma, la duplicación del cubo 3 equivale a resolver la ecuación x = 2, esto es hallar 3 2 que se opera de forma análoga. En el primer caso la construcción puede hacerse con regla y compás. En el segundo no. Es más, hay que esperar al siglo XIX para que los trabajos de Abel y Galois demuestren la irresolubilidad del problema de duplicar el cubo con regla y compás. Es claro que la introducción del álgebra que permite asociar las soluciones de un problema con las raíces de un polinomio y los Métodos Numéricos que permiten hallar las raíces de cualquier polinomio con la precisión que se desee quitan algo de interés a las construcciones con regla y compás o a los razonamientos geométricos. Es evidente que se ha perdido el interés práctico pero a costa de perder la belleza que una demostración geométrica tenía. Veamos la elegancia de la resolución de los problemas de la disección del ángulo o la duplicación del cuadrado utilizando exclusivamente regla y compás. isección de un ángulo Tracemos un círculo con centro O para obtener los puntos M, N. Después trazamos círculos iguales centrados en M y N. El punto de corte P nos da la solución. 1
Duplicación de un cuadrado Trazamos un círculo de centro D y radio la diagonal del cuadrado dado. El punto obtenido a partir de A y C da la solución. Quizá se aprecie mejor la elegancia de una demostración geométrica dando dos pruebas de la conocida 2 2 igualdad Sin x + Cos x = 1 1 ) - La igualdad es cierta para x=0 2 2 - Derivando la función f ( x) = Sen x + Cos x tenemos f '( x) = 2Sen xcos x 2Cos x Sen x = 0 - La función f(x) es pues constante y como f(0)=1 la igualdad queda demostrada 2
2 ) En el triángulo rectángulo AC de hipotenusa 1 se tiene a=1 c C x b A c= Senx ; b= Cosx y por el Teorema de Pitágoras sigue la igualdad El interés práctico de problemas como la duplicación del cuadrado si pensamos en reparto de terrenos es clara. Otro tipo de problemas como la duplicación del cubo tienen una componente mas lúdica. En un principio imperaban mas bien consideraciones de tipo místico o religioso El arquitecto romano Vitrubio ( Siglo I d.c.) cuenta en su obra la fascinación que sentía Platon (427-327) por dos problemas de enunciados sencillos y que, sin embargo, rompieron las ideas sobre los números de la escuela pitagórica. Uno de ellos era el siguiente: dado un cuadrado, cómo construir otro cuadrado con un área doble? Se dice que Pericles (429 a.c) murió de la peste que se llevó también a una cuarta parte de la población ateniense. Para conjurar el peligro se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos para preguntarle cómo podría desaparecer la peste. El oráculo contestó que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer, los atenienses duplicaron diligentemente las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste. El oráculo había exigido la duplicación del volumen del altar, y los atenienses, al duplicar las tres dimensiones por separado, lo habían multiplicado por ocho. En la respuesta a estos dos problemas puede considerarse que se encuentra el origen de los números irracionales Hoy sabemos que muchos de los problemas clásicos no son resolubles con regla y compás, su solución se ha obtenido por otros métodos, quizá poco elegantes pero muy efectivos. En cualquier caso, los intentos de resolución se han plasmado a lo largo de los siglos en la introducción de nuevos conceptos que tenían a su vez su propia problemática. Es típico el estudio e introducción de curvas como herramientas de solución del algún tipo de problemas y cuyas características y belleza les ha hecho tomar carta de naturaleza y vida propia independiente del problema que las introdujo. Veamos como ejemplo la resolución de Arquímedes del problema de la trisección del ángulo mediante el uso de la espiral La Espiral de Arquímedes es la curva formada por los puntos del plano que giran alrededor del origen de forma que se alejan del él una distancia proporcional al ángulo girado. Es la trayectoria que seguiría una persona que avanza con velocidad uniforme desde el centro de un tiovivo hasta su periferia. 3
A Trisección del ángulo mediante la Espiral de Arquimedes Espiral de P Arquímedes - Se coloca el ángulo AO a trisecar en unos ejes como los indicados. - Se dibuja una Espiral de Arquímedes partiendo del origen. - Se divide el segmento OP en tres partes iguales - Los puntos M,N dan la trisección de AO P1 P2 N O M Una serie de problemas de tipo geométrico y que, de momento, sólo tienen soluciones de tipo geométrico son los problemas de disección de figuras. Estos problemas relacionados con las teselaciones y las diferentes maneras de cubrir espacios planos tienen un interés al menos lúdico aunque, es claro, que no se deben descartar sus posibles aplicaciones. Veamos alguno. Se trata de diseccionar un cuadrado y reorganizar los trozos obtenidos para formar otra figura: Una cruz Griega, una cruz latina, un octógono,... 4
Disección de un cuadrado en una T La disección del cuadrado MNFH da la te ACDEFGH A M H G D C N F E Como vemos en el ejercicio anterior, la solución es puramente artesanal. Los ejemplos que siguen sistematizan un poco más la búsqueda de solución a base de considerar cubriciones del plano Disección de un cuadrado en un octógono regular 5
cuadrado en Disección una cruz de un griega cuadrado en una cruz griega Disección de un cuadrado en una cruz latina - El cuadrado equivalente a la cruz tiene área 6 y su lado será raiz de seis A Q M P N C A' P' Q' ' C' M' N' 6