Unidad 6 Derivadas PÁGINA 15 SOLUCIONES 1. La solución en cada caso es: f ( ) f () ( ) 5 17 1 a) lím lím lím lím (1 ) 1 0 0 0 0 b) g ( ) g ( ) ( ) 1 1 lím lím lím 0 ( 1 1) 1. Queda: 1 La reca debe ener una forma: y b 5 Como a de pasar por 1 A (, ) b b 5 5 1 1 La ecuación de la reca es: y 5 5 1
La ecuación de la perpendicular es: y 5 b Por pasar por A (, ) 10 b b 1 La reca pedida iene por ecuación y 5 1. Queda: 4. Queda: f ( ) 4 si 4 0 4 si < lím 0 lím f ( ) f () lím f ( ) f () lím ( ) 4 0 ( ) 4 0
PÁGINA 155 SOLUCIONES 1. La solución es: Denoando con, y, z, los lados de los disinos riángulos recángulos que se formen y con a la disancia que queremos allar, al aplicar el eorema de Piágoras, obenemos: 1800 600 100 a z z y y 1800 600 100 1800 600 100 600 100 z z y y Enre esa úlima igualada obenida y la úlima igualdad del sisema, obenemos: m a a 700 1800 600 100
. Queda: Llamando a la epresión dada, obenemos: 1 1± 1 4 1± 5 1 5 1 1 0, luego Φ numero de oro.. La solución queda: En la figura puedes ver 18 monedas colocadas en 9 filas y con 4 monedas 4. La solución es: Sabemos que 600 700 6,66... y que 99 11 75 475 85,9797... 99 11 7 700 Al 6,66 % de los que quedan les gusa la música, es decir, al % 11 les gusa la música. 85 Al,97 % de los que queden les gusa usar panalones vaqueros, es decir, al % 7 gusa usar panalones vaqueros. les Les gusa la música: 700 11 7 11 Les gusa usar vaqueros: 85 700 148 Por ano, a de ser múliplo de 11 y 148. Puede ser 168; 56; 4884; 651. Se fueron de vacaciones: 6 7 si 168;4 744si 56; así sucesivamene. 4
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SOLUCIONES 1. La solución en cada caso es:. Queda: Crece más rápidamene en el inervalo [,5].. La solución es: N (5) N () a) Vm vm [,5] 6, 89 550 1000 4 N (,5 ) N (,5) 100 (,5 ) b) Vi vi (,5) lím lím 8, 8 4. En cada caso: V () 7 i V (10) 40 i V (8) i Aumena los 0 primeros días y después disminuye. 5. Las derivadas quedan: a) b) f( ) f(1) 1 f (1) lím lím lím lím ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 f ( ) f () 1 4 f () lím lím lím lím ( 1)( ) 1 6
c) f ( ) f (0) 10 10 0 f (0) lím lím lím lím 0 0 0 0 0 0 0 f ( ) f(7) ( )( ) d) f (7) lím lím lím 7 7 7 7 7 ( 7)( ) 1 1 lím 7 4 6. La solución es: f (0 ) f (0) 0 a) f (0 ) lím lím 1 f (0 ) lím f (0 ) f (0) lím 0 1 f () no es derivable en 0, pues las derivadas laerales son disinas. g (0 ) g (0) 11 b) g (0 ) lím lím 0 g (0 ) lím g (0 ) g (0) lím 11 lím 0 g () es derivable en 0. (0 ) (0) sen 0 c) (0 ) lím lím 1 (0 ) lím (0 ) (0) lím ( 1) lím 1 La función () no es derivable en 0. 7
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SOLUCIONES 7. La represenación queda: Esudiamos la coninuidad en 1 y en. Luego f() es coninua en odo R 0 si < 1 f ( ) 1 si 1< < si > f ( 1 ) 0 f ( 1 ) 1 Luego f () no es derivable en 1, pues sus derivadas laerales no coinciden. Por oro lado f ( ) 1 ; f ( ) 6, por ano f () ampoco es derivable en. Por ano, f () es derivable en R { 1,}. 8. Las derivadas quedan: f ( 1) 10 y los límies son: lím ( 1 1) 10 1 f () es coninua en (0, ) siempre que b c 0. y lím (0 1 b c) 0 b c 1 f ( ) 40 b si 0 < < 1 si 1< < Las derivadas laerales son: f ( 1 ) 9 ; f (1 ) 40 b f () es derivable en (0, ) si 40 b 9, es decir, si b 49. Por ano, es coninua y derivable en (0, ) si b 49 y c 19 9
9. En cada caso: a) La ecuación de la reca angene buscada es y 4 16 b) En ese caso la ecuación de la reca angene es y 4 10. Queda: y 6 1 7 ± (punos en los que la pendiene es -1). Los punos de angencia son: P (,51) y Q(, 51) Las recas angenes pedidas son: y 51 1( ) y 54 0 y 51 1( ) y 54 0 11. En cada caso: D [ f ( )] 9, que es la pendiene de la reca angene a la función en. Razonando de forma análoga. D [ f ( 1)] 0 D [ f (1)] 0 1. La solución es: a) f ( ) 0 b) g ( ) 4 4 c) d) ( ) 1 ( ) Fácilmene se represenan esas funciones y sus funciones derivadas. 1. Las derivadas son: 6 a) D 1 1 ( ) ( ) 4 b) D 10 ln 10 5 10 11 5 9 5 c) D ( ) ( ) 5 6 5 ln d) D ln( 7 ) 7 7 10
1 1 e) D ln cos sen g) D 1 cos 1 cos ( ) f) ( D ln ) 5 10 ) D g cos i) D arcsen 1 4 1 j) D k) D ln4 4 4 m) D ln( 1) 1 1 e 1 ñ) D ln 1 e 1 e p) ( ) D cos sen( ) cos( ) l) D ( ) 1 1 1 1 1 ln1 n) D ln ( ) o) D ( sen cos ) ( cos sen ) 1 q) D arcg 1 1 r) D 1 4 4 4 ( 1 4 ) e s) D e 7e ) D 1 7e 1 7e u) D ln( 1 ) 5 10 1 v) D ln ln w) D 1 ln ( 4) 1 1 ) ln( cos ) g g y) D e e ( 1 g ) D g z) D arcg 4 11
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SOLUCIONES 14. La solución es: f () f (0) ln( b) ln( b) 1 b vm [ 0,] ln b 1 b Resolviendo la ecuación ln ln b b vi ( 0) vi () 8 15. Las soluciones en cada caso son: 5 a) f(5) 4000 97000 ongos. b) v i [ 5] f (5) f ( ) 4000 ln v [ 5] f (5) 4000 ln 1067 851,4 Hongos/día i c) v i ( ) f ( ) 4000 ln 9610 660, 187 7,6 Al cabo de 8 días. 16. Las soluciones en cada caso son: f ( ) f () 1( ) ( ) a) f () lím lím lím b) f () es el valor de la pendiene de la reca angene a la grafica de la función en el puno de abscisa. Reca angene en P (,): y ( ) y 0. el puno de core de esa reca con OX es (1, 0). 17. La solución es: 1 El puno donde calcularlo es: P [ 1, y (1)] P 1, La pendiene en ese puno es la derivada: m y (1) quedando: 1 1 La ecuación de la reca angene es: y ( 1) y 0 y ( ) m (1 ) 4 1 1
18. La solución es: a) y ( ) k 1 k La pendiene de la reca angene en A es: ma y ( 1) ma k 1 k k 1 La pendiene de la reca angene en B es: m y ( ) m 1k 4 k 11k 4 B B Ambas recas serán paralelas si ma m : k 1 11k 4 k 4 B b) Reca angene en A ( 1, 1) m 0 y la reca queda: y 1 0( 1) 0 y 0 A Reca angene en B (, 18) m 0 y la reca queda: y 18 0( ) 0 y 0 19. Queda: B a) Esudiamos la coninuidad en 0 : Veamos su derivabilidad: T () no es derivable en 0 Es derivable en [ 0, ) {0} b) Ningún deporisa arda más de 10 minuos. 14
0. Queda: 1. La solución es: a) y f ( ) b) La grafica B corresponde a la función: y f ( ) 15