19 Transformaciones Isométricas Introducción. Al término de esta lección podrás: Interpretar las transformaciones isométricas de figuras planas como cambios en la posición de una figura. Clasificar las transformaciones isométricas en traslaciones, reflexiones y rotaciones y características de cada una de ellas. Transformar figuras aplicando traslaciones, reflexiones y rotaciones. Describir patrones que se observan en la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones en el plano cartesiano. Interpretar una teselación como un patrón de figuras repetidas que cubre una superficie plana sin dejar espacios ni sobreponer las figuras Al mirar la naturaleza, muchas veces quedamos sorprendidos con la belleza que hay en ella. Pensemos tan solo en una mariposa, sus colores y figuras que cualquiera diría que alguien las diseñó y pintó; sin embargo no es así, esta es un ser vivo que cada primavera nos deslumbra con su vuelo de flor en flor. Intuitivamente observamos en la vida figuras proporcionadas, bien equilibradas, que nos conducen al concepto de simetría en donde hay una especie de concordancia entre partes diversas que se integran en un todo. Entre las palabras simetría e isometría hay una estrecha relación que nos lleva a pensar en conceptos tales como orden, belleza y perfección. En esta lección veremos tres tipos de isometrías: la reflexión o simetría axial, la traslación y la rotación. Encontramos simetrías e isometrías en la naturaleza y en el entorno que nos rodea. Por ejemplo, existen simetrías en organismos vivos (cuerpo humano, insectos ), en edificios, en figuras de adornos o pinturas. Las isometrías se pueden observar en diseños de papeles murales, en embaldosamientos, etc. Juegos y aplicaciones: WWW http://www.youtube.com/watch?v=r65ci-dbhxi&feature=related Lección 19 1
1. Isometrías. La palabra isometría tiene su origen en el prefijo griego iso (igual o mismo), y metría (de medir). Su acepción más precisa en nuestra lengua sería algo así como igual medida. Usualmente esta palabra se utiliza para una acción, movimiento o transformación geométrica que deja inalterada una figura en el plano. Esto quiere decir, que una isometría conserva la forma y el tamaño de la figura original. Hay tres tipos de isometrías: 2. Simetrías. 2.1 Simetría axial o reflexión. Una reflexión es una transformación isométrica fijada por una recta llamada eje de simetría. El segmento que une dos puntos correspondientes es perpendicular al eje de simetría y este último es simetral de dicho segmento. Los puntos correspondientes se dicen simétricos respecto del eje. A) Simetría axial entre dos puntos: Dados los puntos A y A y la recta L, se dice que A es la imagen de A por reflexión con respecto a L (llamado eje de simetría) si el segmento AA es AA' L = C y AC = AC. perpendicular a L, { } A. L C A' Si A es la imagen por reflexión de A respecto a L entonces A es el simétrico de A. Si A es la imagen de A con respecto a L entonces A es a su vez la imagen de A respecto de la misma recta L. Diremos, entonces, que A y A son puntos tales que cada uno es la imagen del otro respecto de L. B) Simetría axial entre dos figuras: Sean F y F dos figuras y L una recta: Lección 19 2
La imagen F de la figura F con respecto al eje de simetría L, es el conjunto de las imágenes obtenidas de cada punto de la figura F por reflexión con respecto de la recta L. Si F es la imagen de F con respecto a L entonces F es a su vez la imagen de F respecto de la misma recta L. Diremos, entonces, que F y F son figuras tales que cada una es la imagen de la otra respecto de L. La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o más ejes de simetría. Atención Una reflexión desde el punto de vista intuitivo, consiste en tomar una figura, sacarla del plano, dale media vuelta en torno a su eje (como si fuera una bisagra) para ponerla de nuevo en el plano, al otro lado del eje. 2.2 Simetría central. A) Simetría central entre dos puntos: Dados los puntos A y A y otro punto C, perteneciente al trazo AA, se dice que: A es la imagen de A con respecto a C si AC = CA. Lección 19 3
Si A es la imagen por reflexión de A respecto de C, entonces A es el simétrico de A respecto de C. Si A es la imagen de A con respecto a C entonces A es, a su vez, la imagen de A respecto del mismo punto C. B) Simetría central entre dos figuras: Sean F y F dos figuras y C un punto llamado centro de simetría, entonces: La imagen F de la figura F con respecto al centro de simetría C, es el conjunto de las imágenes obtenidas por reflexión de cada punto de la figura F respecto del punto C. Si F es la imagen de F con respecto a C, entonces F es a su vez la imagen de F respecto del mismo punto C. Diremos entonces que, F y F son figuras tales que cada una es la imagen de la otra respecto de C. 3. Traslaciones. Una traslación en el plano es el resultado del cambio de posición de una figura, en una distancia, sentido y dirección determinados. Consideremos NN en el plano y un segmento de medida a, entonces: A) Traslación punto a punto: Sean A y A dos puntos en el plano tales que el segmento AA tenga medida a y la misma dirección que NN. En este caso se dice que el punto A es la imagen de A obtenida por una traslación con dirección NN y magnitud a. Lección 19 4
B) Traslación entre dos figuras: Sean las figuras F y F, la dirección NN y la magnitud a. Entonces: La imagen F obtenida por traslación desde F, es el conjunto de las imágenes obtenidas de cada punto de la figura F en la dirección y sentido NN con magnitud a. Se dice también que F es la imagen de F por traslación según la dirección y sentido NN con magnitud a. Podemos pensar entonces que F es obtenida por algún movimiento de la figura como un todo en la dirección y sentido NN y con magnitud a. Si la figura F es obtenida desde F por una traslación en la dirección y sentido NN con una magnitud a, entonces la figura F puede ser obtenida desde F por una traslación en el sentido N N (opuesto a NN ), y en la misma magnitud a. Esto nos permite hablar de pares de figuras relacionadas por traslación. De lo anterior se desprende que todos los puntos de la figura F se trasladan en la misma dirección, en la misma distancia y en el mismo sentido. Esto es, que todos los segmentos que asocian a los correspondientes puntos en las figuras F y F son paralelos. Ejemplos: 1) En la figura 1, la recta L es la imagen de L según la dirección NN y magnitud a: 2) En la figura 2, la estrella F es la imagen de F según la dirección NN y magnitud a. Lección 19 5
3.1 Traslaciones en un sistema de coordenadas. Al observar los triángulos dibujados en este sistema de coordenadas, podemos decir que el triángulo E F G es el traslado del triángulo EFG. Y 8 7 G' 6 5 4 3 G E' F' 2 1 E F -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X Cómo encontrar el vector traslación? El punto E tiene coordenadas (2,1) y E que es su imagen, tiene coordenadas (6,4). El punto E se desplazó en el plano 4 unidades hacia la derecha en el eje X y 3 unidades hacia arriba en el eje Y. Lección 19 6
Lo mismo ocurre con el punto F(5,2) que se desplaza 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba llegando a F (9,5). Del mismo modo podemos comprobar que G(3,4) también se trasladó 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba llegando a G (7,7). Así, el triángulo EFG fue trasladado según el vector que anotaremos por (4,3) y que indica los desplazamientos que deben realizarse para llegar a E F G. 4. Rotaciones. Una rotación es una transformación isométrica que mueve una figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, y en un determinado ángulo, llamado ángulo de rotación. El ángulo se dice positivo si el giro se realiza en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativo en el otro caso. A) Rotación de un punto: Escojamos un punto O en el plano y un ángulo α. Consideremos además una dirección de rotación (por ejemplo, el sentido antihorario). Sean A y A dos puntos del plano tales que OA = QA y AOA = α, es decir, OA es dirigido en base al ángulo α en la dirección elegida de manera que coincida con OA. En este caso decimos que el punto A se obtiene del punto A por medio de una rotación de centro O y ángulo de giro α. También se puede decir que A es la imagen de A según una rotación de centro O ángulo de giro α. B) Rotación de figuras: Sean F y F dos figuras en el plano, O un centro de rotación y α un ángulo de giro. Se dice que todos los puntos obtenidos de los puntos de la figura F por una rotación de centro O y un ángulo de giro α forman la figura F. Lección 19 7
Algunas veces se dice que F es la imagen de F según la rotación como un todo (con centro O y ángulo α ). Estas palabras significan que todos los puntos de la figura F son rotadas a través de círculos concéntricos en O y que ellos describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos. Si F es la imagen de F por la rotación de centro O y ángulo de giro α entonces es posible obtener la imagen de la figura F desde F por una rotación con el mismo centro y con ángulo de rotación de 360º - α o bien con el mismo ángulo α con dirección opuesta (sentido horario). En este caso decimos que una es la rotación inversa de la otra. 5. Teselaciones. Una teselación (o mosaico) es un patrón de figuras repetidas que cubre, pavimenta o embaldosa una superficie plana sin dejar espacios ni sobreponer figuras. Las teselaciones se crean usando las transformaciones isométricas que hemos estudiado, es decir, los movimientos de rotación, traslación y reflexión. Las teselaciones más comunes son las realizadas en base a polígonos regulares. Sin embargo, Maurit Escher diseñó grandes obras en las cuales descubrió un ingenioso método para cubrir teselas a partir de una figura básica sometida a transformaciones. Veamos como se hacen estas teselaciones: 1) Figura básica: un cuadrado. Lección 19 8
2) Recortamos una región o trozo de la figura a un lado y la parte recortada la trasladamos paralelamente al lado opuesto, como muestra la figura: 3) El corte puede ser poligonal, una curva o mixto y puede realizarse en más de un lado. Una teselación con la figura anterior sería algo como lo siguiente: Lección 19 9
Lección 19 10
1. Cual de las siguientes letras no tiene ningún eje de simetría: Ejercicios a) C b) M c) A d) R e) X 2. El cuadrado ABCD de la figura se a trasladado transformándose en el cuadrado EFGH. La dirección de traslación es: 3.Cuantos ejes de simetría tienen las siguientes figuras: i) ii) Lección 19 11
iii) iv) v) vi) vii) viii) 4) En cuál de las siguientes figuras se aprecia una simetría respecto de un eje horizontal?: a) b) c) d) e) Lección 19 12
5) Una de las figuras representa, respecto de la otra a)una simetría respecto del eje Y b)una simetría respecto del eje X c)un giro de 180 en el plano d)una traslación horizontal e)una traslación vertical 6) Si al polígono cuyos vértices son los puntos A(5,4), B(6,1) y C(9,8) se le realiza un desplazamiento de vector (-4,-3),entonces sus vértices quedarán en los puntos: a)a(-1,-1); B(-2,2) y C(-5,5) b)a(1,-1); B(2,2) y C(-5,-5) c)a(-1,1); B(-2,2) y C(5,5) d)a(-1,1); B(-2,-2) y C(-5,5) e)a(1,1); B(2,-2) y C(5,5) 7) Cuál es la posición final del punto (2,-3), si primero se refleja en torno al eje Y, y después este segundo punto se traslada de acuerdo al vector (3,-1)? a) (1,2) b) (-5,-2) c) (1,-2) d) (1,-4) e) (5,2) 8. En la figura, la imagen reflexiva del punto C, con respecto al eje de simetría y = 3, es el punto: Lección 19 13
a) (2,1) b)(2,2) c) (5,4) d)(4,5) e) (1,2) 9) En la figura adjunta puede ser obtenida por: I. Traslación II. Rotación III. Simetría a)sólo I b)sólo II c)sólo III d)sólo I y II e)sólo II y III 10. En cuál de los siguientes casos se verifica una mejor simetría axial con respecto a L? Ingresa al Campus Virtual para hacer consultas e interactuar con tus compañeros de curso. Comparte con tus amigos este material, invitándolos a inscribirse gratuitamente en www.preujoven.cl Lección 19 14