TEMA 8 : LA PROPORCIÓN. ESCALAS 8.1.- LA PROPORCIÓN Desde las antíguas civilizaciones, Egipto, Grecia, Roma, el hombre ha estudiado la armonía en la naturaleza y ha intentado dotar de armonía a sus creaciones, en arquitectura, pintura, escultura Pero la armonía en las formas- se basa en la proporción, es decir, en la relación de sus medidas, que es la primera cualidad que necesita toda figura para ser mas bella. Así, para que el rectángulo sea agradable debe existir una correcta proporción entre sus lados, asegurada esta proporción se puede reducir o ampliar a cualquier medida siempre de modo proporcional. En la antigua Grecia y en Egipto se utilizaban medidas y proporciones que se aplicaban a sus esculturas y construcciones arquitectónicas. Qué medidas utilizaban? Al no existir cintas métricas ni aparatos modernos de medición, se utilizaban partes del cuerpo humano como la cabeza o un dedo. A esta proporción se le llamaba "Canon". En la imagen de Micerinos y su esposa observamos que se utiliza el puño, el codo o el pie para establecer la medida total del cuerpo. En cambio el Canon que utilizaron los griegos para representar el cuerpo humano fue la cabeza, siendo en un número de entre 7 y 9 el canon que se utilizó con mayor asiduidad. Número de Oro Fueron el griego Euclides el que descubrió el número dorado o número de oro como el resultado de un quebrado. Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto no como unidad sino como relación o proporción entre segmentos de una recta. Al tomar un segmento cualquiera y lo dividimos en dos partes de forma que ambas tuvieran una proporción concreta: la relación entre la parte mayor y el segmento fuera la misma que entre la parte menor y la mayor, y el resultado siempre es 1,618., teniendo infinitos números decimales, esto lo convierte en un número aproximado, y por tanto irracional. El número áureo es representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias, y su valor numérico viene dado por esta razón:). Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza, creyeron que el entendimiento de la proporción podría ayudar a acercarse a Dios. Más tarde a esta proporción se la denominó como Divina Proporción, ya que se le atribuía un valor divino por encontrarse misteriosamente en la naturaleza: como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen esta proporción áurea Así, la «sección áurea» constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griegos; el diseño del Partenón de Atenas está basado en esta proporción. Tema 4 / página 1
El rectángulo áureo de Euclides Existe un tipo de rectángulo en el que la relación entre sus lados responde a la divina proporción, es el rectángulo áureo que descubrio euclides. En el, al dividir el lado menor por el menor el resultado tiene que ser siempre φ, es decir, 1.618. Existen varias maneras de dibujar un rectángulo áureo, una de ellas es a partir de su lado menor: sabiendo lo que tiene que medir este, podemos hallar lo que tien que medir el mayor. Para ello seguimos los siguientes pasos: 1. Dibujamos un cuadrado con la medida me su lado menor; 2. Hallamos el punto medio de uno de sus lados; 3. Haciendo centro en este punto ½, y abertura hasta uno de sus vértices opuestos, obtenemos sobre la recta la medida de su lado mayor. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada. Esto también sucede en cualquier rectángulo que no sea áureo, en estos, las dos mitades de un rectángulo áureo tienen esta misma proporción: La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un rectángulo áureo de 1m 2 de superficie, que es el formato A- 0. Su mitad es el formato A-1, la mitad de éste es el A-2, la mitad de éste A-3, y así con el A-4 que sustituye los tradicionales formatos arbitrarios de folio, el A-5 que sustituye la cuartilla, el A-6 la octavilla, etc. etc. Pero la proporción áurea no solo se encuentra en los rectángulos, también se encuentra -siempreen los pentágonos regulares: si dividimos la diagonal por su lado el resultado será φ = 1.618 Dibuja un pentágono inscrito en una circunferencia de radio= 30mm, y comprueba la divina proporción. Tema 4 / página 2
2.- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA - Semejanza: Es la relación que une a dos figuras cuando sus lados son proporcionales y sus ángulos homólogos iguales, es decir, que teniendo la misma forma, sus dimensiones son distintas. Dos magnitudes son directamente proporcionales, si la razón entre dos cantidades correspondientes de cada una de ellas es siempre la misma, de tal forma que, al aumentar o disminuir una de la magnitudes, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Es decir, la razón es constante. A esa constante se le llama constante de proporcionalidad. Hay varias posibilidades de poder dibujar una figura semejante a otra ya dada, en función de los datos o del tamaño del objeto o imagen a representar, una es de forma analítica y otra de forma gráfica. - Construcción gráfica Ejemplo: Construir una figura semejante a la dada aplicando una razón K= 1/2 Pasos: 1. Tomamos un punto P, cualquiera exterior a la figura 2. Unimos el punto P elegido con uno de los vértices, 3. A esa distancia le aplicamos la razón de semejanza, en este caso ½, es decir, la dividimos por la mitad 4. Repetimos la operación con los otros vértices o bien los hallamos por paralelas a sus lados desde el nuevo vértice K= PA/PA =1/2 = 0,5 + P Ejercicio: Construir una figura semejante a la dada aplicando una razón K= 1/3 El punto P que elijamos puede estar situado en cualquier parte, no sólo exterior a la figura si no también interior o incluso en uno de sus vértices; el proceso y la figura resultante será el mismo: Tema 4 / página 3
3.- ESCALAS Las Escalas. Construcción de escalas gráficas Al observar un mapa, sabes que las medidas son bastante más pequeñas que la realidad. Es decir, existe una relación proporcional entre las medidas del dibujo y las medidas reales. Por lo tanto, la realidad y lo representado son semejantes. El cociente que se plantea en las escalas es el siguiente: escala = dibujo / realidad. La escala que se suele colocar a los pies de los mapas se denomina ESCALA GRÁFICA y se sitúa con la idea de no utilizar operaciones matemáticas. Para construir una escala gráfica primero debemos conocer la escala numérica utilizada en el mapa. Por ejemplo, si la escala es E 1 :150.000 sabemos que: 1 cm. (del mapa) = 150.000 cm. (reales) 1 cm. = 1500 m. 1 cm. = 1,5 Km. EJEMPLO: construcción de la escala gráfica: E= 1:150.000. 1. Traza un segmento de 10 cm. - Divídelo en 15 partes iguales utilizando el Teorema de Thales. 2. Marca cada unidad (0,67 cm.) como 1, 2, 3... - Al final de la escala, coloca la unidad de medida real (en esta caso Km). Embellece la escala rellenando cada unidad alternativamente con negro y blanco. Tema 4 / página 4
El hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci El Hombre de Vitruvio es probablemente una de las imágenes más famosas y reconocibles de Leonardo, y en él se representan las proporciones que podían establecerse en el cuerpo humano, demostrando que todas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea. Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dos mitades por los órganos sexuales, mientras que el ombligo determina la sección áurea. En é, el cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. De acuerdo con las notas de Leonardo en el Hombre de Vitruvio se dan otras relaciones: Una palma equivale al ancho de cuatro dedos. Un pie equivale al ancho de cuatro palmas (12 pulgadas). Un antebrazo equivale al ancho de seis palmas. La altura de un hombre son cuatro antebrazos (24 palmas). La longitud de los brazos extendidos (envergadura) de un hombre es igual a su altura. La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre. La longitud de la mano es un décimo de la altura de un hombre. La distancia de la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara. Enlace muy interesante con vídeos sobre el tema: http://www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.htm Tema 4 / página 5