Capítulo 4: Conjuntos

Capítulo 4: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 1 / 34

Contenido 1 Conjuntos. Operaciones básicas 2 Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia 3 Aplicaciones Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 2 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Conjuntos Qué es un conjunto? Definición (Conjunto) Llamaremos conjunto a una colección de objetos, distintos entre sí, que comparten una propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un objeto arbitrario está o no en él. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 3 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Subconjunto Definición (Subconjunto) Dados dos conjuntos A y B, diremos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también un elemento de B. Lo notaremos por A B, escribiremos A B. Proposición (1.1.3) Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. Se tienen las siguientes propiedades: a) A A, A. b) Si A B y B C, entonces A C. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 4 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Igualdad de conjuntos Definición (1.1.2) Dados dos conjuntos A y B, diremos que son iguales si tienen los mismos elementos. Lo notaremos por A = B. Dos conjuntos son iguales si se verifica que A B y B A. Habitualmente se utiliza la prueba por doble inclusión para demostrar que dos conjuntos son iguales. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 5 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Conjunto universal Definición (Conjunto universal) El conjunto universal o de referencia, que lo notaremos por U, es un conjunto del que son subconjuntos todos los posibles conjuntos que origina el problema que tratamos. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 6 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Complementario Definición (Complementario) Dado un conjunto A se define el complementario de A, notado por A o A c, como A = {x x U, x / A}. Se dan las siguientes igualdades: = U, U =, A = A. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 7 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Cardinal de un conjunto Definición (Cardinal de un conjunto) Cuando A es un conjunto finito, el número de elementos de A se denomina cardinal de A y se notará #(A). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 8 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Unión de conjuntos Definición (Unión de conjuntos) Dados dos conjuntos A y B se define la unión de A y B, notado por A B, como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos, A o B, es decir A B = {x x A x B}. De igual forma se definen A 1 A n = n i=1 A i y i I A i Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 9 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Unión de conjuntos Proposición (Propiedades de la unión) La unión de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para cualesquiera conjuntos A, B y C: (a) Conmutativa: A B = B A. (b) Asociativa: (A B) C = A (B C). (c) A A B, B A B. (d) A = A. (e) A B si y sólo si A B = B. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 10 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Intersección de conjuntos Definición (Intersección de conjuntos) Dados dos conjuntos A y B se define la intersección de A y B, notado por A B, como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a los dos conjuntos, A y B, es decir A B = {x x A x B}. De igual forma se define A 1 A n = n i=1 A i y i I A i Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 11 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Intersección de conjuntos Proposición (Propiedades de la intersección) La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para cualesquiera conjuntos A, B y C: (a) Conmutativa: A B = B A. (b) Asociativa: (A B) C = A (B C). (c) A B A, A B B. (d) A =. (e) A B si y sólo si A B = A. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 12 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Diferencia de conjuntos Definición (Diferencia de conjuntos) Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia de A y B, notada por A \ B, como el conjunto formado por aquellos elementos de A que no pertenecen a B, es decir A \ B = {x x A x / B}. Luego A \ B = A B. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 13 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Diferencia simétrica de conjuntos Definición (Diferencia simétrica de conjuntos) Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simétrica de A y B, notada por A B, como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a uno sólo de los conjuntos A y B, es decir A B = {x x A \ B x B \ A}. Luego A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) (A B). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 14 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Propiedades de las operaciones entre conjuntos Proposición (1.1.8) Sean A B dos conjuntos. Entonces A (B \ A) = B y A (B \ A) =. Teorema (Leyes distributivas y de De Morgan) Dados tres conjuntos A, B y C se verifican las siguientes igualdades: (a) Leyes distributivas: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). (b) Leyes de De Morgan: Supongamos que A, B C C \ (A B) = (C \ A) (C \ B), C \ (A B) = (C \ A) (C \ B). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 15 / 34

Conjuntos. Operaciones básicas Partes de un conjunto Definición (Partes de un conjunto) Dado un conjunto X, se define el conjunto de las partes de X, notado P(X ), como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X. Teorema (1.1.10) El conjunto P(X ) es finito si y sólo si lo es X. De hecho, en este caso, #(P(X )) = 2 #(X ). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 16 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Producto cartesiano Definición (Producto cartesiano) Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de A y B como el conjunto de pares ordenados formados (por este orden) por un elemento de A y uno de B y se denota A B = {(a, b) a A, b B}. También se puede definir el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos de la forma natural A 1 A n = n A i = {(a 1,..., a n ) a i A i, para i = 1,..., n}. i=1 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 17 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Correspondencia {(a, 1), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 3)}. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 18 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Correspondencia Definición (Correspondencia) Una correspondencia G de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A B. Equivalentemente se puede definir como una regla que asocia algunos elementos de A con algunos elementos de B. Concretamente, G asocia a A con b B si el par (a, b) G. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 19 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Relación Definición (relación) Sea A un conjunto. Una relación R definida en A es una correspondencia de A en sí mismo. Si el par (x, y) A A está en R, diremos que x está R relacionado con y, o que está relacionado con y por R. Esto se notará frecuentemente xry (nótese que el orden es importante). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 20 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Relación Definición (Posibles propiedades de una relación) Sea R una relación en un conjunto A. Entonces diremos que R es: (a) Reflexiva cuando para todo x A se tiene que xrx. (b) Simétrica cuando xry siempre implica yrx. (c) Antisimétrica cuando, si tenemos xry e yrx, entonces x = y necesariamente. (d) Transitiva si tenemos xry e yrz siempre es xrz. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 21 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Relaciones de orden y de equivalencia Definición (Relación de orden) Las relaciones reflexivas, antisimétricas y transitivas se denominan relaciones de orden. Definición (Relación de equivalencia) Las relaciones reflexivas, simétricas y transitivas se denominan relaciones de equivalencia. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 22 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Clases de equivalencia Definición (Clases de equivalencia) Si R es una relación de equivalencia en A, denominamos clase de equivalencia de un elemento x A al conjunto de todos los elementos de A relacionados con x, esto es, x = R(x) = {y A xry}, donde la primera notación se usa si R se sobreentiende, y la segunda si no es así. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 23 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Clases de equivalencia Teorema (Las clases de equivalencia como una partición) Sean A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Entonces se verifican las siguientes propiedades: (a) Todo elemento pertenece a una clase de equivalencia. (b) Dos clases de equivalencia son disjuntas o iguales. Esto es, la relación R divide completamente al conjunto A en subconjuntos disjuntos (las clases de equivalencia), es decir, las clases de equivalencia forman una partición del conjunto A. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 24 / 34

Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Conjunto cociente Corolario (1.2.6) Sean A un conjunto y R una relación de equivalencia en A, Sean los elementos x, y A. Se tiene que las clases de equivalencia de x e y son iguales, R(x) = R(y), si y sólo si xry. Definición (Conjunto cociente) Dada una relación de equivalencia R definida sobre un conjunto A, el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de A por R se denomina conjunto cociente de A por R. La notación usual es A/R = {R(x) x A}. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 25 / 34

Aplicaciones Aplicación Definición (Aplicación) Una aplicación f de A en B es una correspondencia donde todo elemento de A tiene asociado un único elemento de B. Esto es, en notación matemática, una correspondencia G es una aplicación si y sólo si se verifica que a A!b B tal que (a, b) G. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 26 / 34

Aplicaciones Aplicación Es habitual denotar una aplicación entre A y B de la forma f : A B. En estas condiciones, dado a A el único b B verificando (a, b) f se denota f (a) y se denomina imagen de a (por f ). De esta notación surge la terminología, comúnmente usada, de llamar a A conjunto original (o dominio) y a B conjunto imagen. Sea X un conjunto cualquiera. Siempre se tiene la aplicación f : X X, definida por f (x) = x, x X, que llamaremos aplicación identidad y notaremos por 1 X. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 27 / 34

Aplicaciones Imagen Definición (Imagen) Dada una aplicación f : X Y y dos subconjuntos A X y B Y, definimos la imagen de A (o imagen directa de A), notada f (A), como f (A) = {y Y x A con f (x) = y} Y, esto es, el conjunto de elementos del conjunto imagen que son imagen de un elemento de A. Si A = X se denota f (X ) = im(f ) y se denomina imagen de f. En general, si f : X Y es una aplicación, f (X ) Y. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 28 / 34

Aplicaciones Anti-imagen Definición (Anti-imagen) Dada una aplicación f : X Y y dos subconjuntos A X y B Y, definimos la anti imagen (o contraimagen, o imagen recíproca o imagen inversa) de B, notada f 1 (B), como f 1 (B) = {x X f (x) B} X, esto es, el conjunto de elementos del conjunto original cuya imagen está en B. Si f : X Y es una aplicación, siempre f 1 (Y ) = X. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 29 / 34

Aplicaciones Propiedades de la imagen y la anti-imagen Proposición (1.3.5) Sean f : X Y una aplicación, A 1, A 2 X y B 1, B 2 Y. Se verifica: (a) f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ), f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ). (b) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (c) f (f 1 (B1)) B 1, A 1 f 1 (f (A 1 )). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 30 / 34

Aplicaciones Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva Definición (Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva) Sea una aplicación f : X Y. (a) f se dice inyectiva si dos elementos distintos de X siempre tienen imágenes distintas. Dicho de otro modo, f es inyectiva si, de f (x) = f (x ), para x, x X, se deduce que x = x. (b) f se dice sobreyectiva (o sobre) si todo elemento de Y es imagen de algún elemento de X. O sea, f es sobre si f (X ) = im(f ) = Y. (c) f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 31 / 34

Aplicaciones Aplicación inversa. Composición de aplicaciones Definición (Aplicación inversa) Sea f : X Y una aplicación biyectiva. La aplicación inversa de f, notada f 1 : Y X, está definida por f 1 (y) = x, siendo x el único elemento de X que verifica f (x) = y. Definición (Composición de aplicaciones) Dadas dos aplicaciones f : X Y y g : Y Z se define la composición de f y g, notada g f, de X en Z como (g f )(x) = g(f (x)), para todo x X. Obviamente g f : X Z es una aplicación. Además la composición de aplicaciones verifica la propiedad asociativa. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 32 / 34

Aplicaciones Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva Lema Sea f : X Y una aplicación, se verifican las siguientes propiedades: (a) f es inyectiva si existe una aplicación g : Y X tal que g f = 1 X. (b) f es sobreyectiva si existe una aplicación g : Y X tal que f g = 1 Y. Proposición (1.3.11) Sea f : X Y una aplicación, se verifica que f es biyectiva si y sólo si existe una aplicación g : Y X tal que En este caso se tiene que f 1 = g. g f = 1 X y f g = 1 Y. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 33 / 34

Aplicaciones Restricción de una aplicación Definición (Restricción de una aplicación) Dada una aplicación f : X Y y un subconjunto A X, se define la restricción de f a A como la aplicación f A : A Y x f A (x) = f (x) Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de 2014 34 / 34