Matrices. Álgebra de matrices.

Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,..., n} R tal que A(i, j) = a ij R i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. La matriz A se representa dando ordenadamente la imagen de todos los elementos del conjunto inicial: a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n A = a 31 a 32 a 33... a 3n.... a m1 a m2 a m3... a mn Los subconjuntos horizontales de A se llaman filas de A y los subconjuntos verticales de A son las columnas de A. Por tanto la matriz A sería una matriz de m filas y n columnas. Por la propia definición de A, el elemento a ij es el número real que ocupa la fila i y la columna j. Definición 1.2 Dos matrices A y B de orden m n se dicen iguales cuando lo son los elementos que ocupan el mismo lugar, es decir, a ij = b ij i, j. Definición 1.3 Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas. Una matriz es una matriz fila si es de orden 1 n. Una matriz es una matriz columna si es de orden m 1. ( 4 8 2 0 1 ) es una matriz fila de orden 1 5 8 2 es una matriz columna de orden 3 1 0 Definición 1.4 Dada una matriz cuadrada A se define la diagonal principal de A como el conjunto {a 11, a 22, a 33,..., a nn }. Una matriz cuadrada es matriz triangular superior si los elementos situados debajo de la diagonal principal son todos cero, es decir si a ij = 0 i > j. Una matriz cuadrada es matriz triangular inferior si los elementos situados encima de la diagonal principal son todos cero, es decir si a ij = 0 i < j. Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si es a la vez triangular superior y triangular inferior. 1

2 8 8 0 3 1 es una matriz triangular superior 0 0 5 6 0 0 0 1 3 0 0 1 1 5 0 es una matriz triangular inferior 3 4 3 7 Definición 1.5 Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. La matriz unidad o matriz identidad es la matriz escalar con unos en su diagonal principal. La matriz cero es la matriz escalar con ceros en su diagonal principal. 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 I 5 = 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 es la matriz unidad de orden 5 Definición 1.6 Si A es una matriz de orden m n se define la matriz traspuesta de A, y se nota como A t, como aquella matriz que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A. Así si A = (a ij ) entonces A t = (a ji ), y esta matriz traspuesta es de orden n m. 1 2 0 8 2 0 0 3 1 0 8 3 T 1 2 1 = 2 0 0 0 0 8 8 3 3 Definición 1.7 Una matriz cuadrada A es una matriz simétrica si A = A t, y es una matriz antisimétrica o hemisimétrica cuando A = A t. 1 7 3 7 6 2 es una matriz simétrica 3 2 0 2. Operaciones con matrices Vamos a estudiar en este apartado las operaciones que podemos realizar con matrices. Para ello vamos a notar como M m n al conjunto de matrices de números reales de orden m n. 2.1. Suma de matrices Definición 2.1 Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) dos matrices de orden m n. Se define la suma de A y B como otra matriz C = (c ij ) de orden m n tal que c ij = a ij + b ij i, j. 2

Notemos que para poder sumar dos matrices ambas deben ser del mismo orden: 1 2 0 3 8 4 + 0 3 7 1 1 9 = 1 1 7 2 9 5 5 5 6 4 4 0 1 9 6 Las propiedades de la suma de matrices son: I) Propiedad asociativa: Si A, B, C M m n (A + B) + C = A + (B + C) II) Propiedad conmutativa: Si A, B M m n A + B = B + A III) Existencia de elemento neutro: el elemento neutro de M m n es la matriz nula: a ij = 0 i, j IV) Existencia de elemento opuesto: dada la matriz A = (a ij ) M m n, su matriz opuesta es la matriz A = ( a ij ). Estas cuatro propiedades de la suma de matrices se pueden resumir diciendo que el conjunto M m n es un grupo abeliano respecto de la suma. 2.2. Producto de un número real por una matriz Definición 2.2 Si λ es cualquier número real se define el producto de λ por A como otra matriz D = (d ij ) de orden m n tal que d ij = λ a ij i, j. 3 3 3 0 8 2 3 8 1 = 0 0 2 7 9 9 0 24 6 9 24 3 0 0 6 21 Las propiedades del producto de un número por una matriz son: I) Propiedad pseudoasociativa: Si λ, µ R, A M m n λ (µ A) = (λ µ) A II) Propiedad distributiva respecto a la suma de matrices: Si λ R, A, B M m n λ (A + B) = λ A + λ B III) Propiedad distributiva respecto a la suma de números reales: Si λ, µ R, A M m n (λ + µ) A = λ A + µ A IV) Producto por el número 1: Si A M m n 1 A = A 3

2.3. Producto de matrices Definición 2.3 Sea A = (a ij ) una matriz de orden m n y sea B = (b ij ) una matriz de orden n p. Se define el producto de A por B como la matriz C = (c ik ), de orden m p, dada por c ik = n a ij b jk j=1 Los elementos de la matriz producto se obtienen multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda. Notemos que para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primer matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por tanto el producto de matrices es una operación que no va a ser conmutativa. 3 0 2 2 4 3 2 + 0 1 + 2 0 3 4 + 0 6 + 2 ( 2) 1 1 3 1 6 = 1 2 + 1 1 + 3 0 1 4 + 1 6 + 3 ( 2) } 0 7 {{ 4 } 0 2 }{{} } 0 2 + 7 1 + 4 0 0 4 + 7 6 + 4 ( 2) {{ } 3 3 3 2 3 2 3 2 3 }{{} 3 1 (1 0 3 2 ) = }{{} 1 4 Las propiedades del producto de matrices son 1 : I) Propiedad Asociativa: II) Propiedades distributivas 3 1 3 0 3 ( 3) 3 2 2 1 2 0 2 ( 3) 2 2 } 3 1 3 0 3 ( 3) {{ 3 2 } 3 4 (A B) C = A (B C) A (B + C) = A B + A C (B + C) D = B D + C D Teorema 2.1 En el conjunto M m n se verifican las siguientes propiedades: 1. (A T ) T = A A M m n 2. (A + B) T = A T + B T A, B M m n 3. (λa) T = λa T A M m n, λ R 4. (AB) T = B T A T A M m n, B M n p 3. El conjunto de las matrices cuadradas Recordemos que una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas y que al conjunto de matrices cuadradas de orden n se le denota por M n. Definición 3.1 Si dos matrices cuadradas de orden n, A y B, verifican que AB = BA, se dice que A y B conmutan. 1 A, B, C y D son matrices cuyas dimensiones permiten efectuar las operaciones que se indican 4

3.1. Matrices inversibles Definición 3.2 Una matriz cuadrada A se dice inversible o regular si tiene inversa respecto al producto de matrices, es decir, si existe otra matriz cuadrada del mismo orden, que denotaremos por A 1 y que verifica A A 1 = A 1 A = I n A la matriz A 1 se le llama matriz inversa de A. Para estudiar si una matriz cuadrada es regular, es decir, si tiene inversa con respecto al producto y calcular ésta si existe utilizamos un método conocido como método de Gauss por que se basa en transformaciones de la matriz inicial para conseguir la matriz identidad del mismo orden. En la práctica se coloca la matriz A y a su derecha la matriz identidad. Realizamos las transformaciones necesarias en ambas matrices para que la matriz A se transforme en la matriz identidad. La matriz obtenida a la derecha será A 1. Veamos cómo usamos este método para estudiar la matriz inversa de la matriz ( 2 3 1 2 ): ( 2 3 1 ) 0 1 2 0 1 ( ) ( ) 1 2 0 1 1 2 0 1 2 3 1 0 0 1 1 2 ( ) ( ) 1 0 2 3 1 0 2 3 0 1 1 2 0 1 1 2 En vista de lo anterior la matriz inversa es ( ) 2 3 1 2. Si en alguno de los pasos anteriores hubiese aparecido en la matriz de la izquierda una fila de ceros, entonces la matriz no es regular, es decir, no tiene inversa. Lema 3.1 Si A M n es una matriz inversible, entonces A 1 es única. Teorema 3.1 Si A y B son matrices cuadradas de orden n que tienen inversa, entonces A B es una matriz cuadrada de orden n no singular y se cumple que (A B) 1 = B 1 A 1. Definición 3.3 Al conjunto de matrices cuadradas de orden n regulares se le llama grupo lineal general y se le denota por Gl(n, R). 2 3.2. Resumen de las operaciones en el conjunto M n En el conjunto de las matrices cuadradas de orden n se han definido dos operaciones internas (suma y producto de matrices) y una operación externa (producto de un número real por una matriz). Las propiedades de estas operaciones han sido vistas con anterioridad en distintas partes de este tema. Vamos a resumirlas en este apartado: Asociativa : (A + B) + C = A + (B + C) Conmutativa : A + B = B + A Suma de matrices Elemento Neutro : A + 0 n = 0 n + A = A Elemento Opuesto : A + ( A) = ( A) + A = 0 n 2 Con el producto es un grupo 5

Asociativa : (A B) C = A (B C) Elemento Neutro : A I Producto de matrices n = I n A = A Distributivas : { A (B + C) = A B + A C (B + C) A = B A + C A Pseudoasociativa { : (a b) A = a (b A) (a + b) A = a A + b A Producto por un número Distributivas : a (A + B) = a A + a B Producto por el número 1 : 1 A = A 4. Espacios Vectoriales. Dependencia e independencia lineal Antes de estudiar el rango de una matriz necesitamos conocer algunos aspectos sobre los espacios vectoriales. Definición 4.1 Sea V un conjunto en donde se definen dos operaciones, una interna (suma) y otra externa (producto por números reales). Se dice que el conjunto V junto con estas dos operaciones es un espacio vectorial si se cumplen las siguientes propiedades: 1. Suma: a) Asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y, z V b) Conmutativa: x + y = y + x para todos x, y V c) Elemento Neutro: existe el elemento 0 en V que cumple que x+0 = x para todo x V d) Elemento Simétrico: para cada elemento x V existe otro elemento x V tal que x + ( x) = 0 2. Producto por números reales: a) Pseudoasociativa: (a b) x = a (b x) para todos a, b R y x V b) Distributiva 1: (a + b) x = a x + b x para todos a, b R y x V c) Distributiva 2: a (x + y) = a x + b y para todos a R y x, y V d) Producto por 1: 1 x = x para todo x V A los elementos de V se les llama vectores y a los números reales se les llama escalares. Si recordamos lo visto anteriormente, podemos decir que el conjunto M m n junto con la suma de matrices y el producto de un número real por una matriz es un espacio vectorial. 4.1. n-uplas de números reales Una colección de números reales dados en un cierto orden recibe el nombre de n-upla. Si consideramos el conjunto de n-uplas y en él se define una suma y un producto por números reales, obtenemos un espacio vectorial que se denota por R n. Por ejemplo consideremos R 3 = {(x 1, x 2, x 2 )/x 1, x 2, x 3 R} y definimos las siguientes operaciones: 6

1. Suma: (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) 2. Producto por números reales: a (x 1, x 2, x 3 ) = (a x 1, a x 2, a x 3 ) Entonces R 3 con esas operaciones es un espacio vectorial. Estos conjuntos de números reales son importantes por que las filas o columnas de una matriz pueden considerarse como n-uplas de números reales. Los elementos de R 2 se llaman pares, los de R 3 ternas y los de R 4 son cuaternas. 4.2. Combinación lineal de vectores A toda expresión de la forma a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n con a i números reales y x i vectores del espacio vectorial V, se le llama combinación lineal de los vectores x 1, x 2,..., x n. Por ejemplo, en el espacio vectorial R 3, la expresión 2 (2, 0, 4) + 3 (1, 1, 3) = (7, 3, 17) sería una combinación lineal de los vectores (2, 0, 4) y (1, 1, 3). 4.3. Dependencia e independencia lineal Un conjunto de vectores x 1, x 2,..., x n del espacio vectorial V se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario se dice que son linealmente independientes. Por ejemplo, en el espacio vectorial R 3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que los vectores (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (3, 2, 1) son linealmente dependientes por que el último de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros dos: (3, 2, 1) = 2 (1, 1, 0) + 1 (1, 0, 1) Para determinar la dependencia o independencia de un grupo de vectores, haremos uso de la siguiente propiedad: Teorema 4.1 Los vectores x 1, x 2,..., x n del espacio vectorial V son linealmente independientes si y sólo si la igualdad a 1 x 1 + a 2 x 2 +... a n x n = 0 sólo es cierta cuando todos los números a i son cero. 5. Rango de una matriz Dada una matriz A M m n podemos considerarla como n vectores columna que son elementos de R m o como m vectores fila que son elementos de R n. Definición 5.1 Se define el rango de la matriz A como el máximo número de vectores columna linealmente independientes. Puede probarse que el rango de una matriz coincide con el de su traspuesta, con lo que el rango puede coincide con el máximo número de vectores fila linealmente independientes. Así pues si A M m n, el rango de A es como mucho el menor de los valores m o n. 7

El cálculo del rango de una matriz se puede realizar utilizando el método de Gauss para hacer ceros en las columnas de la matriz. El rango de la matriz escalonada final es el número de filas distintas del vector 0. Más adelante daremos otro método de cálculo basado en determinantes. 8