Tema 1. Cinemática de artícula Cinemática de artícula Tema 1 1. Introducción. Vectores osición, velocidad y aceleración 3. 4. Método gráfico en movimiento rectilíneo 5. de varias artículas Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 1
Tema 1. Cinemática de artícula 1. Introducción El curso de Mecánica II tiene como rincial objetivo el estudio del movimiento tanto de artículas como de cueros rígidos en condiciones de movimiento acelerado, lo que comúnmente se conoce como Dinámica. Para que su estudio sea más simle, lo dividimos en dos artes: - Cinemática: encargada de los asectos geométricos del movimiento. naliza osiciones, velocidades y aceleraciones sin imortar las fuerzas que actúan sobre las artículas y cueros. - Cinética: estudia el movimiento teniendo en cuenta las causas que lo roducen. naliza osiciones, velocidades, aceleraciones, fuerzas y momentos. En este tio de análisis se requieren además de datos de tio geométrico, características inerciales y fuerzas que ueden estar dadas or muelles, amortiguadores, actuadores, fricción, eso, etc. En ambos casos, el estudio se aborda teniendo en cuenta si analizamos artículas o cueros rígidos. Cuando hablamos de artícula nos referimos a un elemento, uede ser también un cuero, que aunque tiene masa, su dimensión es reducida a un unto, de tal manera que todas las fuerzas que actúan sobre él, son concurrentes, es decir, es alican sobre el unto. Como no hay dimensiones, no hay características inerciales además de la masa y, los giros que resenta sobre su roio eje no son tenidos en cuenta. Si nos referimos a un cuero rígido, hablamos de un elemento que además de tener masa, resenta dimensiones que le otorgan otras características inerciales como momentos de inercia de masa y ubicación de sus centros de masa resecto a un sistema de referencia articular. Las fuerzas actuantes no son concurrentes, or lo que ueden ser alicadas en diferentes untos del cuero, generando así giros del cuero alrededor de sí mismos. Otra característica imortante del cuero rígido es que son indeformables, es decir, las osiciones relativas de dos untos cualesquiera ertenecientes a un mismo cuero se conservarán a lo largo de todo su movimiento. l estudiar el movimiento de cualquier elemento debemos tener en cuenta el sistema de referencia utilizado. Si el observador está fijo a la tierra se dice que el sistema de referencia es fijo y su movimiento es absoluto. Cuando el observador se mueve, hablamos de un sistema de referencia relativo. Deenderá entonces del tio de elemento analizado; los cueros rígidos suelen ser estudiados a artir de sistemas de referencia relativos (la mayor arte de los casos), mientras que las artículas suelen analizarse a artir de sistemas de referencia absolutos.. Posición, velocidad y aceleración Las variables osición, velocidad y aceleración son cantidades vectoriales. Presentan magnitud, dirección y sentido, y son reresentadas como vectores, con un unto inicial que corresonde al sistema de referencia escogido y un unto final coincidente con la variable solicitada ara el elemento. l estudiar el movimiento de un cuero, la rimera variable involucrada es la osición. Cuando hablamos de osición nos referimos a la ubicación de una artícula o de un unto de un cuero cualquiera en el sistema de referencia. En la figura 1 se reresenta la osición del unto P resecto a un sistema de referencia fijo O. Si el unto está en movimiento, el vector osición deenderá del tiemo r=f(t) y cada una de esas osiciones consecutivas a lo largo del tiemo definirán la trayectoria seguida or el unto. Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP
Tema 1. Cinemática de artícula Figura 1. Posición del unto P En el tiemo t la osición del unto será y cuando haya transcurrido el tiemo Δt su osición será (figura ). El vector deslazamiento de la artícula desde el tiemo t hasta t+δt será la recta tangente que une los dos untos y se determina como, (1) Si este vector se divide or Δt se obtiene la velocidad media del unto P, () Observe que este valor deende únicamente de los estados inicial y final y no nos indica qué ocurre en los estados intermedios entre t y t+δt Figura. Vector deslazamiento Si hacemos muy equeño y alicamos el límite se obtiene la velocidad instantánea, lim (3) Definido de esta manera, estamos ante la derivada de un vector, or lo que, (4) De esta manera, odemos decir que la velocidad de una artícula es tangente su trayectoria (figura 3). Figura 3. Velocidad tangente a la trayectoria. Con la velocidad ocurre lo mismo que con la osición como función del tiemo y su curva se denomina curva hodógrafa. Según si hablamos de cambios de velocidad en un eríodo Δt mayor o menor (infinitesimal) estaremos hablando de aceleraciones medias e instantáneas, Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 3
Tema 1. Cinemática de artícula á lim (5) (6) Por lo tanto la aceleración será tangente a la curva hodógrafa, ero no a la trayectoria del unto. 3. Las artículas ueden moverse en trayectorias rectas, ara lo cual requerimos únicamente de un solo eje coordenado. En este caso, siendo el único, la velocidad no será tangente a la trayectoria de la artícula, ni la aceleración a la curva hodógrafa. En este caso el deslazamiento, la velocidad y la aceleración son colineales (figura 4). Figura 4. Sistema coordenado ara movimiento rectilíneo. esar de ser cantidades vectoriales, como se utiliza un solo eje coordenado, es osible trabajar las ecuaciones resultantes de forma escalar. ˆ ds, ˆ dv r, ˆ = s i v = i a = i (7) dt dt Si el valor de la aceleración es ositiva significa que la artícula está acelerando, si es nula que viaja a velocidad constante y si es negativa significa que la artícula está desacelerando. Si se conoce la función de aceleración a=f(t) ara el unto de interés P, es osible encontrar su velocidad a artir de la exresión, dv a = (8) dt Para lo cual searamos variables e integramos, De donde se tiene que, De igual manera, conociendo que, t v adt= dv (9) t0 v0 v v a dt 0 t = + (10) t0 ds t v v0 adt dt t0 = = + (11) Searando variables e integrando, se obtiene la osición ara el unto P, Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 4
Tema 1. Cinemática de artícula ds = v + adt dt s t t 0 s0 t 0 t0 s = s0 + v 0 t+ a dt dt t t (1) t0 t0 En el caso en el cual la velocidad sea función de la osición v=f(s,t), en este caso alicando la regla de la cadena, dv dv ds dv a = = = v (13) dt ds dt ds Con lo cual, de donde, s v v ads = vdv (14) s0 v0 s 0 s0 v = v + a ds (15) 3.1. Movimiento uniforme Se tendrá movimiento uniforme cuando la velocidad es constante. En este caso, su derivada, es decir la aceleración, es nula. Por tanto de las exresiones anteriores se tendrá solamente que, v= v0 (16) s = s + v t 0 0 3.. Movimiento uniformemente acelerado En este caso, la aceleración es constante y or lo tanto las integrales de las exresiones anteriores serán conocidas. Si a=constante, entonces, v = v + a t 0 at s = s0 + v 0 t+ ( ) v = v + a s s 0 0 (17) 4. Método gráfico en movimiento rectilíneo En algunos casos, es osible conocer de forma gráfica el cambio de alguna de las magnitudes de interés (osición, velocidad o aceleración) resecto al tiemo. En estos casos, es osible obtener las demás variables fácilmente, ya sea derivando o integrando gráficamente la función de la variable conocida. sí, or ejemlo, si la aceleración de una artícula entre dos estados es constante, es decir, gráficamente es una línea recta de endiente nula (figura 5), la velocidad, Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 5
Tema 1. Cinemática de artícula que corresonde a su integral, será una curva de grado uno (recta), y su deslazamiento una curva de grado dos (arábola). En caso de conocer la función osición, derivamos gráficamente ara encontrar la velocidad y volvemos a derivar ara encontrar la aceleración. Observe que si asamos desde la curva de aceleración a construir gráficamente la curva de velocidad, ésta última inicia a artir de un valor v 0 conocido y que debe ser aortado como un dato inicial. Lo mismo ocurre con la osición inicial s 0. Figura 5. Derivación e integración gráfica de las variables s, v y a como función de t Este tio de metodología es muy útil cuando se trabajan movimientos que ueden ser searados en intervalos de tiemo, or ejemlo, cuando tenemos una artícula que cambia varias veces de estado a lo largo de su movimiento (aceleraciones, desaceleraciones, movimiento uniforme, etc.). Para la construcción de las gráficas tenemos en cuenta que ara la velocidad, definida de acuerdo a la exresión (10), su cambio desde t 0 hasta t corresonde al área bajo la curva de aceleración ara el intervalo de tiemo requerido, tal como se arecia en la figura 6. De tal manera, que no es necesario integrar la curva de aceleración en cada unto ara conocer el cambio total de su velocidad en dicho intervalo, basta con encontrar el área bajo la curva. Dado que se desee conocer la magnitud de la velocidad en un unto intermedio, entre t 0 y t sí que es necesario encontrar la función de velocidad ara evaluarla en ese instante de tiemo. Figura 6. Relación de área bajo la curva e integral de función De igual manera ocurre con el deslazamiento a artir de la curva de velocidad como función del tiemo. Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 6
Tema 1. Cinemática de artícula Si acaso la gráfica dada fuese la aceleración o la velocidad de la artícula como función ya no del tiemo sino de la osición a=f(s) o v=f(s), el área bajo la curva ya no corresonde a los cambios de velocidad y osición en el intervalo dado, y se debe recurrir a alicar la regla de la cadena ara obtener dichos valores, tal como se indica en la exresión (15). En la figura 7 se resenta la curva de aceleración de una artícula que inicia su movimiento artiendo del reoso. En el rimer intervalo (0 - t 1 s), la artícula inicia su movimiento con aceleración constante de magnitud, or lo que ara este mismo intervalo de tiemo, la curva de velocidad corresonde a una recta con endiente ositiva. Para saber el cambio, en este caso aumento, de la velocidad desde el reoso (tiemo 0 s) se obtiene el área bajo la curva de aceleración ara el intervalo analizado (área ). Nótese también que la endiente de la curva de velocidad en este rango corresonde a la magnitud de la aceleración en el mismo. En este mismo intervalo, la gráfica de osición, corresonde a una curva de un grado suerior a la de velocidad, es decir, de segundo grado y cuyo cambio Δs corresonde al área bajo la curva de velocidad (área C). Figura 7. Gráficas s, v y a vs t ara una artícula dada. En el segundo intervalo (t 1 y t ), la aceleración es una recta, or lo que la velocidad corresonde a una curva de grado dos y la osición es una curva de grado tres. El área corresonde al cambio de la velocidad y el área al cambio de la osición ara dicho intervalo. En el ultimo intervalo (t y t 3 ), la aceleración es nula, or lo que la velocidad ermanece constante. quí el área E, corresondiente a la curva de velocidad, reresenta el cambio de osición en ese intervalo de tiemo. En el ejemlo anterior, las áreas bajo las curvas son ositivas en todos los casos, or eso los cambios que reresentan se adotan como ositivos. En el caso en que las áreas fuesen negativas, el cambio será negativo también y deberá restarse al valor que resenta la variable al inicio del intervalo. Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 7
Tema 1. Cinemática de artícula 5. de varias artículas Cuando analizamos el movimiento de varias artículas, es común determinar sus variables cinemáticas utilizando sistemas de referencia relativos. En la figura 8 se observan dos cueros y cuyas osiciones absolutas resecto al sistema de referencia ubicado en O son S y S resectivamente. mbas magnitudes son ositivas de acuerdo al sistema de referencia adotado. Figura 8. Vectores relativos entre artículas Como ya se indicó anteriormente, en el movimiento rectilíneo al tener un solo eje coordenado, es osible trabajar las cantidades vectoriales como si fuesen escalares, de tal manera que tendríamos, S ˆ = Si (18) S = S iˆ Si conocemos el vector osición absoluto de una de las artículas y el vector osición de una resecto a la otra, odremos determinar la osición absoluta de la otra artícula como, S = S + S / S = S + S / (19) El vector s / y s / son iguales en magnitud ero en sentido contrario y cada uno de ellos se determinan, S/ = S S (0) S = S S / Para encontrar las velocidades se deriva la osición resecto al tiemo y se tiene que, v = v + v / v = v + v / (1) Derivando nuevamente resecto al tiemo se obtienen las aceleraciones, a = a + a / a = a + a / () Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 8
Tema 1. Cinemática de artícula Dentro de las alicaciones de este tio de movimiento de artículas se tienen los sistemas de elementos unidos a través de cuerdas inextensibles y oleas. En la figura 9 se tienen varios tios de sistemas en los que el sistema de referencia fijo uede encontrarse en un extremo o en medio de las artículas. En este caso, se tendrá una magnitud que no cambiaran con el movimiento del sistema y al que se conocen como datum. Las longitudes de las cuerdas como se ha dicho son inextensibles, or lo tanto sus derivadas son nulas. Figura 9. Diversos sistemas de oleas En el caso de la figura 9, izquierda, la ecuación de la cuerda se da como, s + datum+ s = l (3) Derivando resecto al tiemo, v + v = 0 v = v a + a = 0 a = a (4) En este sistema la velocidad y aceleración de son iguales en magnitud a ero en sentido contrario. Por tanto, si se mueve hacia arriba, bajará y viceversa. En el sistema de la figura 9, derecha, el sistema de referencia se encuentra en medio de las artículas, dando lugar a la ecuación de la cuerda, s datum + s = 0 (5) Sus derivadas se obtienen como, v v + v = 0 v = a a + a = 0 a = (6) En este caso, ambos elementos se mueven en la misma dirección. Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 9
Tema 1. Cinemática de artícula Es osible también tener varias oleas, lo que se conoce como oliastos. En estos casos, las relaciones de los elementos se obtienen a través de la ecuación de todas las cuerdas existentes y sus derivadas. En la figura 10 se tiene un sistema con dos oleas móviles y una fija cuyas ecuaciones de las cuerdas se obtienen como, ( s sc) + s + datum + ( s sc) + datum3 + ( s sc) = l1 s + s sc = l1 datum1 datum (7) s + datum1 + s = l C Derivando resecto al tiemo se obtienen las velocidades y aceleraciones, v + v v = 0 a + a a = 0 C C v + v = 0 a + a = 0 C C (8) Las exresiones anteriores forman dos sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas cada uno, or lo que es necesario ara su resolución conocer de antemano una de las 3 variables imlicadas or cada sistema. Figura 10. Poliasto Mecánica II Luz driana Mejía C. UTP 10