Sistema de los Números Reales El Conjunto de los Números Racionales Ysela Ochoa Tapia Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /
Introducción Los racionales: Q Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. Cada porción será / de la pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera (/ = ). Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /
Racionales Definición Q = {x x = a b con a, b Z y b 0} a = Numerador b Denominador Numerador: Indica el número de unidades fraccionarias elegidas. Denominador: Indica el número de partes que se ha dividido la unidad. Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /
Racionales Tipos de Fracciones F. Homogeneas F. Heterogeneas Tienen el mismo denominador Ejemplo:, 7 0 0 Tienen diferente denominador Ejemplo: 4, 5 7 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 4/
Racionales Clasificación de Fracciones F. Propias F. Impropias F. Aparentes N < D N > D D divide N 8, 5, 7 0 0 6, 9 7, 5, Unitarias 5, 4 Enteras 4 Importante Las fracciones impropias se pueden escribir como fracciones mixtas = + = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 5/
Racionales Fracciones Decimales Las fracciones decimales es cuando el denominador es una potencia del 0. Ejemplos:,, 00 000 0 Fracciones Equivalentes son equivalentes a b y c d a b = c d ad = bc Ejemplo: Escribir fracciones equivalentes a. 5 multiplicamos por fracciones unitarias: = 5 0 = 5 5 finalmente y son 0 5 fracciones equivalentes a 5 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 6/
Operaciones con Racionales Multiplicación de Racionales Si a y c son números racionales, entonces: b d Ejemplo: a b c d = ac bd Antes de multiplicar verifica si se puede simplicar a su minima expresión 4 = 8 7 0 8 = 0 8 = 5 9 5 5 9 5 5 8 4 = 7 40 5 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 7/
Operaciones con Racionales División de Racionales Si a b y c d son números racionales, con c d 0 entonces: Ejemplo: a b c d = a b d c = ad bc Antes de multiplicar verifica si se puede simplicar a su minima expresión 4 7 = 7 4 = 7 6 7 5 = 5 = 9 5 5 7 7 7 4 = 7 6 = 6 4 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 8/
Operaciones con Racionales Suma y Resta de Números Racionales Se presentan los siguientes casos Fracciones Homogeneas a b ± c b = a±c b Ejemplo: 4 + = + = 5 = 5 5 5 5 + 5 = +5 = 6 = 4 0 = 4 0 = 6 = + 4 = +4 = = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 9/
Operaciones con Racionales Fracciones Heterogeneas Convert. a Homo. Usando el MCM Multipl. en Aspa Ejemplo: + 5 6 Multiplicando por una fracción unitaria + 5 = ( ) + 5 = 6 6 4 + 5 = 9 = 6 6 6 Ejemplo: + = ( 7)+ ( 5) = 5 7 5 7 7 5 + 0 = 5 5 5 Ejemplo: + 5 6 Mínimo Común Múltiplo MCM(,6)=6 + 5 6 = ()+5() 6 = 9 6 = Ejem. MCM(5,7)=5 5 + 7 = (7)+(5) +0 5 = 5 5 = Ejemplo: + 5 6 Multiplicando en aspa + 5 = (6)+(5) = 6 (6) +5 + 7 = 8 8 Ejemplo: Aspa + = (7)+5() 5 7 +0 + 5 5 5(7) = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 0/
Operaciones con Racionales Definición El Mínimo Común Múltiplo (MCM), es el número natural más pequeño que es múltiplo de dos ó más números Ejemplo: Hallando el MCM (5 y 0), descomposición en primos 5 0 5 0 5 Entonces el MCM(5 y 0)= 5 =60 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /
Operaciones con Racionales Operaciones Combinadas: ORDEN Pasar a fracción los números mixtos. Calcular potencias y raíces. Efectuar operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4 Efectuar los productos y cocientes. 5 Realizar sumas y restas. Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /
Operaciones con Racionales Ejemplo: Simplificar [ ( 5 + ) 4 6 4 + ] 5 0 Solución [ convirtiendo a homogeneas. = ( 5 ( ) + ( 4) ( )) + ] 4 6 4 4 5 0 [ = ( ) 0+4 9 4 + ] 5 0 [ = 5 + ] 4 5 0 [ = 5 + ] 0 4 5 [ = 5 + ] 4 4 = [ 4 ( ) 5 + 4 ( 4 4 )] = [ 6 5+6 ] = [ 7 ] = 7 4 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /
Ejercicios Simplificar 7 7 4 4 5 ( 7 5 Rpta : 05 + ) Rpta : ( + ) ( 5 + ) 7 6 Rpta : 4 ( 7 0 5 Rpta : 9 4 5 4( + 5 ) ( 5 ) 4 Rpta : 6 + + + 6 7 7 + + 4 8 Rpta : 6 7 Rpta : 580 7 Expresar como mixto 4 5 + 7 0 4 Rpta : 6 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 4/
Números Decimales Números Decimales Decimal Exacto Decimal Periódico Decimal Periódico Puro Decimal Periódico Mixto Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 5/
Números Decimales Decimal Exacto Tiene un número finito de decimales Ejemplo: 0.645 Decimal Periódico Puro Se repite continuamente una ó más cifras decimales Ejemplo: 0.777... = 0. 7 Decimal Periódico Mixto Tiene una cifra decimal que no se repite y otra que se repite continuamente. Ejemplo: 0... = 0, Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 6/
Números Decimales Cómo reconocer cuando una fracción produce un decimal exacto ó periódico? DECIMAL EXACTO a tendrá como resultado b un decimal exacto si b se descompone en, 5 ó ambos (únicos factores primos) DECIMAL PERIÓDICO a tendrá como resultado un decimal periódico si b b se descompone en ó 5 y además aparece otro número primo distinto al ó 5 5 Ejemplo: se expresa como decimal periódico, ya que =, esta el, además esta el. Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 7/
Converción Cómo convertir una fracción a decimal y viceversa? Fracción a Decimal Exacto 5 8 =0.645 (dividimos usando la casita) Decimal Exacto a Fracción 0.645 = 5? 8 0.645 = 645 corremos el punto decimal a la derecha 000 posiciones y agregamos la misma cantidad de ceros al denominador ( ceros). simplificamos la fraccion 645 = 5, de este modo 0.645 = 5 000 8 8 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 8/
Converción Cómo convertir una fracción a decimal y viceversa? Fracción a Decimal Periódico Puro 7 = 0.777...=0. 7 (dividimos usando la casita) 9 Decimal Periódico Puro a Fracción: REGLA DEL 9 Para el Numerador coloca la cifra que se repite. Para el Denominador colocar el nueve 9 tantas cifras tenga la parte periódica. 0.777...=0. 7 = 7 9 (solo un 9) 0...=0. = 99 lo que 0. = 7 (dos nueves), simplificando 99 = 7, por Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 9/
Converción Cómo convertir una fracción a decimal y viceversa? Fracción a Decimal Periódico Mixto 7 0 = 5.7666...=5.7 6 (dividimos usando la casita) Decimal Periódico Mixto a Fracción: REGLA DEL 9 Para el Numerador colocar la parte decimal menos la parte no periodica. Para el Denominador colocar el nueve 9 tantas cifras tenga la parte periódica seguido del cero 0 tantas cifras tenga la parte no periódica 0.7666...=0.7 6 = 76 7 (solo un 9 y solo un 0) simplificando 90 76 7 = 69 =, por lo que 0.7666...=0.7 6 = 90 90 0 0 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 0/
Converción Ejemplos: 5.7666...=5.7 6 = 5+ 0.7 6 = 5 + = 5(0)+ = 7 0 0 0 0...=0. = (dos nueves y un cero), 990 simplificando = 8 = 5 990 990 65 0.45666...=0.456 = 456 45 simplificando 456 45 900 = 4, por lo que 0. = 5 65 900 (un nueve y dos ceros), = 7 900 00, por lo que 0.456 = 7 00 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /