XIII.- TEOREMA DEL IMPULSO

XIII.- TEOREMA DEL IMPULSO http://libos.edsauce.net/ XIII.1.- REACCIÓN DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO SOBRE UN CANAL GUÍA El cálculo de la fueza ejecida po un fluido en movimiento sobe el canal que foman los álabes de una bomba o tubina, se puede ealiza aplicando el Teoema de la Cantidad de Movimiento, que dice: El incemento geomético difeencial de la cantidad de movimiento de un sistema mateial es igual al impulso elemental de la esultante de las acciones exteioes que actúan sobe dicho sistema. De acuedo con la Fig XIII.1, supondemos que el canal guía es el (ABCD) po el que va a cicula el fluido en movimiento pemanente, siendo v 1 la velocidad en la sección Ω 1 y v 2 la velocidad en la sección Ω 2 de dicho canal guía. El fluido es incompesible y las pesiones en Ω 1 y Ω 2 tienen po valo p 1 y p 2 espectivamente, siendo G el peso de la vena líquida (ABCD). Paa estudia el movimiento de la vena fluida (ABCD) como el de un cuepo libe, la supondemos aislada del esto del fluido en movimiento, sustituyendo las masas fluidas, anteio a la sección Ω 1 y posteio a la sección Ω 2, po sus acciones sobe la vena (ABCD) a tavés de dichas secciones extemas. Estas acciones son las pesiones p 1 y p 2, la pimea en el sentido del movimiento y la segunda en sentido contaio, aplicadas en Ω 1 y Ω 2 espectivamente; asimismo, el canal guía se puede sustitui po la esultante R 1 de sus acciones sobe el fluido. Designando po n 1 y n 2 a los vectoes unitaiuos diigidos en el mismo sentido que las velocidades v 1 y v 2 espectivamente, la vena fluida (ABCD), como cuepo libe, quedaá sometida a las siguientes acciones, cuya esultante seá igual a la de las fuezas exteioes F. Gavedad... Acción del canal sobe el fluido... Acción de la pesión sobe Ω 1... Acción de la pesión sobe Ω 2... G R 1 n 1 Ω 1 p 1 n 2 Ω 2 p 2 po lo que: F = G - R + n 1 Ω 1 p 1 - n 2 Ω 2 p 1 XIII.-251

Fig XIII.1.- Canal guía El cálculo de la eacción del fluido sobe el canal guía R = - R 1 se efectúa aplicando el teoema de la Cantidad de Movimiento; po lo tanto, el impulso elemental de la esultante de las acciones exteioes que actúan sobe el sistema, masa fluida (ABCD), es: F dt = G dt + R 1 dt + n 1 Ω 1 p 1 dt - n 2 Ω 2 p 2 dt Si a continuación se supone que la masa fluida (ABCD) se desplaza en el tiempo dt a la posición (A'B'C'D'), se habá poducido una vaiación de su cantidad de movimiento. En efecto, como estamos en la hipótesis de movimiento pemanente, paa las masas de fluido contenidas ente las posiciones (ABCD) y (A'B'C'D'), la cantidad de movimiento no se modifica. Sin embago, quedan aún po compoba las masas (ABA B') y (CDC'D') en las que sus velocidades espectivas son v 1 y v 2 y cuyas cantidades de movimiento vamos a calcula: El volumen ( ABAB) es: Ω 1 v 1 dt El volumen (CDC D ) es: Ω 2 v 2 dt En la hipótesis de fluido incompesible, la ecuación de continuidad es ( Ω 1 v 1 = Ω 2 v 2 ) y, po lo tanto, los volúmenes (ABA'B') y (CDC'D') son iguales, de valo: Ω 1 v 1 dt = Ω 2 v 2 dt = q dt siendo q el caudal de fluido que cicula po el canal guía. La cantidad de movimiento inicial en la masa fluida es: M 1 = M A'B'CD + γ q g La cantidad de movimiento final en la masa fluida es: M 2 = M A'B'CD + γ q g n 1 v 1 dt n 2 v 2 dt La vaiación de la cantidad de movimiento en el tiempo dt, ente las posiciones infinitamente póximas (ABCD) y (A B'C'D') es: M 2 - M 1 = γ q g ( n 2 v 2 - n 1 v 1 ) dt Aplicando el teoema de la Cantidad de Movimiento, se tiene: γ q g ( n 2 v 2 - n 1 v 1 ) dt = G dt + R 1 dt + n 1 Ω 1 p 1 dt - n 2 Ω 2 p 2 dt XIII.-252

de la que se deduce la expesión de la eacción R 1 de las paedes del canal sobe la vena fluida. R 1 = γ q g ( n 2 v 2 - n 1 v 1 ) G + n 2 Ω 2 p 2 - n 1 Ω 1 p 1 y de acuedo con el Pincipio de Acción y Reacción, el valo de la acción del fluido R 1 sobe las paedes del canal guía se obtiene teniendo en cuenta que R = -R 1, en la foma: R = γ q g ( n 1 v 1 - n 2 v 2 ) + G + n 1 Ω 1 p 1 - n 2 Ω 2 p 2 Si llamamos X e Y a las componentes de R 1 especto a los ejes catesianos de efeencia, y: α 1 al ángulo que foman con la diecci ón ( xx' ) los vectoes v 1 y ( n 1 Ω 1 p 1 ) α 2 al ángulo que foman con la diección ( xx') los vectoes v 2 y ( n 2 Ω 2 p 2 ) α 3 al ángulo que foma G con la diección ( xx' ) X = γ q g ( v 1 cos α 1 - v 2 cos α 2 ) + G cos α 3 + Ω 1 p 1 cos α 1 - Ω 2 p 2 cos α 2 se tiene: Y = γ q g ( v 1 sen α 1 - v 2 sen α 2 ) + G sen α 3 + Ω 1 p 1 sen α 1 - Ω 2 p 2 sen α 2 y despeciando el peso de la vena, y no teniendo en cuenta las pesiones, se llega a: R = γ q g ( n 1 v 1 - n 2 v 2 ) = γ q g ( v 1 - v 2 ) X = γ q g ( v 1 cos α 1 - v 2 cos α 2 ) Y = γ q g ( v 1 sen α 1 - v 2 sen α 2 ) La constucción gáfica de la eacción es la siguiente: Sobe el punto de intesección de las diecciones v 1 y v 2, punto A de la Fig XIII.1, se constuye la difeencia indicada po la fómula que da el valo de R, obteniéndose su módulo, diección y sentido, en la hipótesis de despecia el peso G y las pesiones p 1 y p 2. XIII.2.- MOMENTO CON RELACIÓN A UN PUNTO DE LA ACCIÓN R Si se quiee calcula el momento con elación a un punto de la acción, ejecida po el fluido sobe su canal guía, aplicaemos el teoema del Momento Cinético que dice: El incemento difeencial expeimentado po el momento cinético de un sistema móvil especto a un punto fijo O, es igual al momento esultante especto al mismo punto O, de los impulsos elementales de las fuezas exteioes que solicitan al sistema. Utilizando la misma notación que paa el cálculo de R y de acuedo con la Fig XIII.1 se tiene: Momento cinético inicial: µ 1 = µ A'B'CD + γ q n g 1 v 1 dt 1 Momento cinético final: µ 2 = µ A'B'CD + γ q g n 2 v 2 dt 2 siendo la vaiación expeimentada po el momento cinético: µ 2 - µ 1 = γ q g ( n 2 v 2 2 - n 1 v 1 1 ) dt El momento esultante de los impulsos que ecibe la vena es: G dt ρ + R 1 dt ρ 1 + n 1 Ω 1 p 1 dt 1 n 2 Ω 2 p 2 dt 2 XIII.-253

Haciendo µ ' = R 1 1, que es el momento de las acciones de las paedes especto a O y aplicando el momento citado, se obtiene: γ q g ( n 2 v 2 2 - n 1 v 1 1 ) dt = G dt ρ + µ ' dt + n 1 Ω 1 p 1 dt 1 n 2 Ω 2 p 2 dt 2 Dividiéndola po dt: γ q g ( n 2 v 2 2 - n 1 v 1 1 ) = G ρ + µ ' + n 1 Ω 1 p 1 1 n 2 Ω 2 p 2 2 y como µ = - µ ' es el momento esultante especto a O de las eacciones del fluido sobe el canal guía, se tiene finalmente: µ = γ q g ( n 1 v 1 1 - n 2 v 2 2 ) + G ρ + n 1 Ω 1 p 1 1 n 2 Ω 2 p 2 2 XIII.3.- TEOREMAS DE EULER APLICADOS A LAS TURBOMAQUINAS Pime teoema de Eule.- Sabemos que la eacción de una vena fluida sobe el canal que la conduce es de la foma: R = γ q g ( n 0 v 0 - n 1 v 1 ) + G + n 0 Ω 0 p 0 - n 1 Ω 1 p 1 y llamando: α 0 y α 1 a los ángulos que foman v 0 y v 1 con el eje Ox β 0 y β 1 a los ángulos que foman v 0 y v 1 con el eje Oy γ 0 y γ 1 a los ángulos que foman v 0 y v 1 con el eje Oz Ω 0 p 0 x, y consideando que: Ω 0 p 0 y Ω 0 p 0 z son las componentes de ( n 0, Ω 0, p 0 ) sobe los ejes Ox, Oy y Oz, las componentes X, Y, Z del vecto R Fig XIII.2 tienen po expesión, (despeciando la gavedad po se su efecto mucho meno que el coespondiente a la velocidad y pesión), las siguientes: X = γ q g (v 0cos α 0 - v 1 cos α 1 ) + Ω 0 p 0 x - Ω 1 p 1 x Y = γ q g ( v 0cos β 0 - v 1 cos β 1 ) + Ω 0 p 0 y - Ω 1 p 1 y Z = γ q g ( v 0cos γ 0 - v 1 cos γ 1 ) + Ω 0 p 0 z - Ω 1 p 1 Z igualdades que constituyen el Pime Teoema de Eule. Cada una de estas expesiones consta de dos téminos: - El sumando γ q g ( n 0 v 0 - n 1 v 1 ) se coesponde con la acción dinámica debida a la vaiación de la Cantidad de Movimiento de la vena líquida, ente la entada y salida de la ueda, Fig XIII.2. - El sumando n 0 Ω 0 p 0 - n 1 Ω 1 p 1 se coesponde con la acción estática esultante de las distintas pesiones existentes en las mismas secciones. Ambas ecuaciones son muy inteesantes paa la deteminación del empuje axial en las tubinas de eacción. Segundo teoema de Eule.- El momento de la eacción de una vena sobe el canal guía especto a XIII.-254

un punto O, viene dado po la expesión: µ = γ q g ( n 0 v 0 ρ 0 - n 1 v 1 ρ 1 ) + n 0 Ω 0 p 0 ρ 0 - n 1 Ω 1 p 1 ρ 1 + G ρ 0 Deteminaemos a continuación las componentes de este vecto sobe los ejes coodenados, que tienen su oigen en el punto O, especto al cual se calcula el momento µ De acuedo con la Fig XIII.3, se tiene que p 0 = OA ; p 1 = OB, y las velocidades se descomponen según las diecciones axial, tangencial y adial; también se indican las componentes meidianas v 0m y v 1m. En lo que sigue consideaemos que el momento de un vecto especto a un eje es la poyección especto a dicho eje del momento del vecto especto a un punto cualquiea de aquel. De acuedo con ésto se tiene: ( n 0 v 0 ρ 0 ) es la poyección de ( n 0 v 0 ρ 0 ) sobe Oz = Momento de v 0 especto de Oz Además: v 0 = v 0n + v 0 + v 0z = v 0n + v 0m El momento de v 0 especto a Oz es el momento de v 0n especto a Oz, ya que el momento de v 0m especto a Oz es nulo, po cota v 0m a Oz. ( n De todo ello se deduce que: 0 v 0 ρ 0 ) z = v 0n 0 k, siendo su módulo: v 0 n 0 ( n 1 v 1 ρ 1 ) z = v 1n 1 k, siendo su módulo: v 1n 1 Si llamamos a 0 y a 1 a los módulos de las componentes tangenciales v 0n y v 1n, espectivamente, y M 0x, M 0y y M 0z a las poyecciones sobe Ox, Oy, y Oz, del momento esultante de las pesiones estáticas se tiene: M 0 x = ( n 0 Ω 0 p 0 ρ 0 - n 1 Ω 1 p 1 ρ 1 ) x M 0 y = ( n 0 Ω 0 p 0 ρ 0 - n 1 Ω 1 p 1 ρ 1 ) y M 0 z = ( n 0 Ω 0 p 0 ρ 0 - n 1 Ω 1 p 1 ρ 1 ) z despeciando el peso G se puede pone: Fig XIII.3.- Canal guía en otación µ x = L = γ q g (,, 0 b0-1 b1 ) + M 0 x µ y = M = γ q g ( 0,,,, c 0-1 c1 ) + M 0 y µ z = N = γ q g ( 0 a 0-1 a 1 ) + M 0z en donde 0, 0, y 0,, son las distancias del punto A a los ejes Ox, Oy, y Oz 1, 1, y 1,, son las distancias del punto B a los mismos ejes En la páctica, los téminos M 0x, M 0y y M 0z de estas expesiones son despeciables o nulos, po se las pesiones siméticas, o esta situadas en planos que cotan al eje. Si el canal guía no puede gia más que alededo del eje Oz, la expesión del pa moto teóico, consi- XIII.-255

deando, a 0 = v 0n y a 1 = v 1n, componentes giatoias, popociona el Segundo Teoema de Eule aplicado a las tubomáquinas: C m( teóico ) = N = γ q g ( 0 a 0-1 a 1 ) = a 0 = v 0n a 1 = v 1n = γ q g ( 0 v 0n - 1 v 1n ) que sive de base a la obtención de la ecuación geneal de las tubinas hidáulicas y las bombas centífugas. XIII.-256