TEMA.2: PROBABILIDAD COMPUESTA.- INTRODUCCIÓN. RESULTADOS DE DOS SUCESOS Cuando trabajamos con probabilidades de dos sucesos, es importante ser capaz de identificar todas las posibles alternativas. Veámoslo con un ejemplo: Supongamos que podemos elegir como ingrediente adicional de una pizza uno de los siguientes: jamón, salami, gambas, pimientos o atún. Y una bebida de entre las siguientes: Coca Cola, Fanta limón o Fanta naranja, Cuántas posible combinaciones podemos hacer? MÉTODO A: Listado Sistemático Para simplificar el conteo, podemos usar la primera letra de cada bebida y de cada ingrediente podemos listar fácilmente de la siguiente forma: CJ CS CG CP CA LJ LS LG LP LA NJ NS NG NP NA Y encontramos fácilmente que hay 5 posibilidades MÉTODO B: Tabla de Doble Entrada Ingrediente Adicional J S G P A BEBIDAS C L N CJ CS CG CP CA LJ LS LG LP LA NJ NS NG NP NA En realidad es casi lo mismo, pero la tabla de doble entrada solo puede hacerse cuando son dos situaciones (imaginemos por ejemplo que también podemos tomar café o postre. Podemos hacer el listado sistemático, pero no la tabla de doble entrada)
MÉTODO C: Diagrama de Árbol C L N J S G P A J S G P A J S G P A Este, en general, es un muy buen método salvo que tengamos que hacer demasiadas flechas (como es el caso que estamos) porque permite ir escribiendo las probabilidades simples de cada uno de los sucesos. A lo largo del tema se intentará utilizar este método Actividad: Utilizar los métodos anteriores para determinar las distintas posibilidades al lanzar dos monedas
En muchas ocasiones, una experiencia aleatoria consiste en la realización consecutiva de dos o más experiencias simples. Estas experiencias reciben el nombre de experimentos compuestos. Ejemplo: Dos personas, A y B, organizan el siguiente juego: Tiran un dado tres veces. Si sale algún, gana A y si no sale ningún, gana B Cuál de las dos tiene más probabilidad de ganar? Podemos representar esta situación en la forma siguiente: Sale Sale 5 Sale NO sale 5 NO sale Sale 5 NO sale 5 Sale NO sale 5 5 5 NO sale Sale NO sale Sale NO sale La probabilidad de que no salga en número al tirar tres veces un dado será: 5 5 5 = 0.5787 La probabilidad de que salga algún es, precisamente, la del suceso contrario al anterior, es decir: 0.5787 = 0.423 En resumen es más probable que no salga ningún al lanzar 3 veces un dado que que salga por lo menos un
2.- Probabilidad Condicionada. Sucesos Independientes Son numerosas las experiencias que se realizan con reemplazamiento o devolución de las experiencias previas. Por ejemplo, si sacamos dos cartas de la baraja, pero antes de sacar la segunda, devolvemos la primera al mazo. En este caso, la experiencia previa no influye o condiciona las experiencias que siguen; en estas situaciones decimos que los sucesos que ocurren son independientes Por el contrario, en los experimentos sin devolución o reemplazamiento, los resultados de una experiencia influyen o condicionan a las otras; en estas situaciones decimos que los sucesos son dependientes. Por ejemplo si sacamos dos cartas de la baraja pero no devolvemos la primera al mazo, la probabilidad de la segunda está condicionada por lo que salió en la primera. Entonces, podemos decir que en una experiencia compuesta, dos sucesos A y B van a ser independientes siempre que: = p(a) p(b) En el caso que sean dependientes, la probabilidad de B queda condicionada a que haya ocurrido o no A. Y, por lo tanto el producto anterior cambia en la siguiente forma: = p(a) p(b A)
Ejemplo: Sacamos dos cartas de una baraja española sucesivamente y con reemplazamiento (sacamos una, la miramos y la devolvemos al mazo). Calcular la probabilidad de que las dos cartas sean de oros A: La primera es de oros B: La segunda es de oros A B: Ambas de oros NO Como devolvemos la carta, los sucesos son independientes por eso las fracciones de la segunda rama del árbol NO no cambian (las sombreadas en azul) Entonces: = p(a) p(b) NO = = = 0.025 Ejemplo: Sacamos dos cartas de una baraja española sucesivamente y sin reemplazamiento (sacamos una, la miramos y sin devolverla sacamos la otra). Calcular la probabilidad de que las dos cartas sean de oros A: La primera es de oros B: La segunda es de oros A B: Ambas de oros 9 NO Al no devolver la carta, la probabilidad de que la segunda carta sea de oros es diferente según la primera haya sido o no de oros también (sombreado en verde) y los sucesos NO son dependientes Entonces: 29 NO = p(a) p(b A) 9 = = 0.0579
3- Teorema de la Probabilidad Total Supongamos la misma experiencia de los ejemplos anteriores, sacamos dos cartas de baraja y en primer lugar vamos a centrarnos en la experiencia con reemplazamiento Cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea de oros? Tenemos dos opciones: a) Que la primera carta sea de oros también, entonces la probabilidad de que la primera sea de oros y la segunda NO también es de: p(o ) = p(a B) = = NO b) Que la primera carta no sea de oros, pero la segunda si. Como los sucesos siguen siendo independientes, la probabilidad es p(o 2 ) = p(a B) = = 3 NO Los sucesos expuestos en estos apartados, además son incompatibles, entonces la probabilidad de la unión de los dos será la suma de sus probabilidades 3 4 p(o O2) = + = = 4 Que es lo que intuitivamente ya sabíamos porque no nos importa que pasara al principio, la segunda carta es de oros con probabilidad = = 0. 25 4
Qué ocurre si la experiencia es sin reemplazamiento? Cuál será la probabilidad de que la segunda carta sea de oros? Razonamos igualmente desde el árbol de probabilidad Tenemos dos opciones: 9 a) Que la primera carta sea de oros también, entonces la probabilidad de NO que la primera sea de oros y la segunda también es de 9 p (A B) = = 3 52 NO 29 NO b) Que la primera carta no sea de oros, y la segunda si. Como los sucesos siguen siendo dependientes, la probabilidad es p (A B) = = 5 2 Los sucesos expuestos en estos apartados son incompatibles, entonces la probabilidad de la unión de los dos será la suma de sus probabilidades 3 5 3 p(o O2) = + = 52 2 52 = 4 Esta forma de proceder se conoce con el nombre de Teorema de la Probabilidad Total
4.- El Teorema de Bayes Supongamos ahora que conocemos el resultado final, en nuestro ejemplo: la segunda carta que sacamos es de oros Qué probabilidad hay de que la primera que sacamos también lo haya sido? Suponiendo la experiencia sin 9 reemplazamiento, lo que nos están pidiendo es p ( A/B) NO Sabemos que los sucesos son dependientes (ya lo hemos dicho en varias ocasiones, al ser sin reemplazamiento), en la página 2 NO 29 NO vimos entonces que: p (BIA) = p(b) p(a B) (Solo se han cambiado las letras para situar la fórmula en este contexto) Si despejamos: p ( A/B) p = ( B A) p ( B) Dicho con palabras, la probabilidad de que la primera carta haya sido de oros, sabiendo que la segunda es de oros se calcula dividiendo la probabilidad de que tanto la primera como la segunda sean de oros, entre la probabilidad de que la segunda sea de oros. Es decir: 9 3 3 p 3 52 = 9 + + 3 52 52 ( A/B) = = = 0. 28 Esta forma de proceder es lo que se conoce como Teorema de Bayes Sabrías tu proceder de forma similar cuando devolvemos la carta al mazo; es decir, cuando la experiencia es con reemplazamiento?
5.- Diagramas de Contingencia En los problemas de probabilidad condicionada, es muy práctico organizar la información en un diagrama de árbol ya que no tenemos que pensar en fórmulas sino que siempre la probabilidad de la intersección va a ser el producto de las probabilidades en una rama del árbol. Pero frecuentemente, también podemos expresar la situación mediante una tabla de contingencia. La distribución en porcentajes, de la sangre española en grupos sanguíneos y factor Rh es la siguiente O A B AB TOT Rh+ 35 4 2 8 Rh- 9 3 9 TOT 4 49 7 3 0 a) Elegido un individuo al azar, qué probabilidad hay que tenga sangre tipo B? b) Elegido un individuo al azar, qué probabilidad hay que tenga el facto Rh+? c) Si sabemos que una persona tiene el facto Rh+, qué probabilidad hay de su sangre sea tipo B? SOLUCIONES: a) 7 p = b) 0 8 p = c) 0 p = 4 8