UNIDAD Nº 6 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA PROYECCIÓN DIÉDRICA O DE MONGE EL PLANO Se sabe que un plano queda determinado por dos rectas concurrentes o por dos rectas paralelas. Supongamos que el plano α (fig. 43) sea algo tangible, como una hoja de papel, por ejemplo. Acercandonos hasta encontrar simultáneamente los planos de proyección, estos serán interceptados por la hoja de papel. Las dos intersecciones α1 y α2 se llaman trazas del plano α. El plano se lo representa por sus trazas. Las trazas de planos son rectas producto de la intersección del plano considerado con los respectivos planos de proyección. Los planos se consideran infinitos, por lo tanto se dibujan, en el diedro, solamente sus trazas.- DIFERENTES POSICIONES DE UN PLANO DADO POR SUS TRAZAS: Los planos como las rectas, pueden ocupar infinitas lugares con respecto a los planos de proyección y su ubicación en el espacio se deduce fácilmente por la posición de sus trazas con respecto a la línea de tierra.- 1 Plano Oblicuo: En la figura 43 se representa un plano oblicuo.- Toda figura situada en un plano oblicuo se proyecta deformada.- 178
2 Plano Horizontal: Se llama plano horizontal, cuando el plano α es paralelo al plano horizontal de proyección (fig. 44). La traza vertical es paralela a LT. No existe traza horizontal, por ser infinitos.- Toda figura situada en un plano horizontal se proyecta horizontalmente en verdadera magnitud; la proyección vertical (fig. 45) está sobre la traza vertical del plano α.- 179
3 Plano Vertical: Se llama plano vertical, cuando el plano α es paralelo al plano vertical de proyección (fig. 46). La traza horizontal es paralela a LT. No existe traza vertical, por ser infinitos.- Toda figura situada en un plano vertical se proyecta verticalmente en verdadera magnitud; la proyección horizontal (fig. 47) está sobre la traza horizontal del plano α.- 180
4 Plano Proyectante Horizontal: Se llama Plano Proyectante Horizontal cuando el plano α es al plano horizontal y oblicuo al vertical (fig. 48). La traza horizontal α1 forma con LT un ángulo δ igual al que forma con π2 el plano dado α.- Toda figura situada en un plano α al plano horizontal tiene su proyección horizontal sobre la traza horizontal del plano dado α1 (fig. 49). Su proyección vertical es deformada por ser oblicua al plano vertical de proyección.- 181
5 Plano Proyectante Vertical: Se llama Plano Proyectante Vertical cuando el plano α es al plano vertical y oblicuo al horizontal (fig. 50). La traza vertical α2 forma con LT un ángulo δ igual al que forma con π1 el plano dado α.- Toda figura situada en un plano α al plano vertical tiene su proyección vertical sobre la traza vertical del plano dado α2 (fig. 51). Su proyección horizontal es deformada por ser oblicua al plano horizontal de proyección.- 182
6 Plano de Perfil: Las dos trazas son a LT y a los planos de proyección. Figura 52.- 7 Plano paralelo a la LT: Las dos trazas son paralelos a la LT (fig. 53). Toda figura situada en un plano α se proyecta deformada por ser oblicuo a los dos planos de proyección (Fig.54). El ángulo δ se proyecta en el tercer plano.- 183
8 Plano perpendicular la LT: Las dos trazas coincide con la LT (fig. 55). Toda figura situada en un plano α se proyecta deformada por ser oblicuo a los dos planos de proyección (Fig.56). El ángulo δ se proyecta en el tercer plano.- 184
RECTAS CONTENIDAS EN UN PLANO DADO POR SUS TRAZAS: 1.- Si en un plano α, figura 57, dibujamos una recta r, cualquiera sea su posición de ésta, sus trazas se encuentran siempre sobre las trazas correspondiente del plano. O sea que cada traza de la recta pertenece al mismo tiempo al plano α y a uno de los planos de proyección; debe encontrarse entonces en la intersección de ambos, que, como sabemos, no es sino una de las trazas del plano α.- 185
2.- Ahora es fácil resolver el siguiente problema (fig. 58): Conocidas las trazas de un plano α α1 y α2 y una proyección r1, por ejemplo de una recta del plano, encontrar la otra proyección r2.- Sabemos ya que la traza vertical de la recta es un punto de la traza vertical del plano. Si entonces, prolongamos r1 hasta THr y desde aquí elevamos una a LT, se obtiene TH2r, proyección vertical de la traza horizontal de la recta. Nuevamente prolongamos r1 hasta LT (TV2r) y desde aquí elevamos una hasta la traza del plano α2, se obtiene TVr, proyección vertical de la traza vertical de la recta buscada. Sus proyecciones serán entonces TVr y TH2r. Uniendo TVr con TH2r se obtiene la proyección vertical de la recta.- 3.- Es fácil también resolver otro problema (fig. 59): Hacer pasar un plano por una recta dada. Se sabe que por una recta puede pasar un número infinito de planos. Recordemos el párrafo 1, si un plano contiene una recta, sus trazas pasan por las trazas de la recta. Entonces si unimos un punto cualquiera, O, de LT, con las trazas de la recta, se obtiene las trazas del plano buscado.- 186
4.-.Recta Horizontal de un Plano: Llamase horizontal de un plano a toda recta contenida en un plano α y es paralela al plano horizontal de proyección (fig. 60). Siendo r paralela al plano horizontal tendrá la proyección vertical r2 paralela a LT. Las horizontales de un plano son paralelas entre sí y paralelas, en consecuencia, a la traza horizontal del plano. La proyección horizontal r1 será entonces paralela a α1.- La traza vertical de la recta r1 y r2 es el punto A A1 y A2.- 5.-.Recta Frontal de un Plano: Llamase frontal de un plano a toda recta contenida en un plano α y es paralela al plano vertical de proyección (fig. 61). Siendo r paralela al plano vertical tendrá la proyección horizontal r1 paralela a LT. Las frontales de un plano son paralelas entre sí y paralelas, en consecuencia, a la traza vertical del plano. La proyección vertical r2 es entonces paralela a α2. La traza horizontal de la recta r1 y r2 es el punto B B1 y B2.- 187
6.-.Recta de Máxima Pendiente de un Plano: Sea AB una recta inclinada con respecto al plano horizontal (fig. 62) y sea AC su proyección sobre este plano. Desde un punto cualquiera, B, de AB, bajamos la a la proyección AC y nos queda determinado el triángulo ABC. Por lo tanto para hallar la pendiente de la recta AB con respecto al plano horizontal π1 y se escribe: Pendiente = CB AC En trigonometria esta razón recibe el nombre de tangente del ángulo α.- Consideremos ahora un plano α oblicuo con respecto al plano π1 (fig. 63). Imaginemos un esfera metálica situada en un punto cualquiera en el plano α, por ejemplo en P. Bajo la acción de la gravedad la esfera descenderá hasta llegar al plano π1 y, por más que se repita la experiencia, el camino seguido es siempre el mismo. Este camino, lo marca la recta PM, es la que más se acerca a la vertical PP1. Recibe el nombre de recta de máxima pendiente del plano α. La recta de máxima pendiente constituye otra recta notable del plano.- 188
Como hemos visto, la proyección horizontal de una recta de máxima pendiente es perpendicular a la proyección horizontal de cualquier horizontal del plano al cual pertenece. Es en consecuencia, perpendicular a la traza horizontal del plano α (fig. 64).- APLICACIONES: 1 Conocidas las trazas α1 y α2 de un plano y una de las proyecciones del punto A que pertenece al plano α, A1, por ejemplo, encontrar la proyección vertical del punto (Fig. 65). Trazamos una recta r horizontal o frontal del plano α, que contenga al punto A1. Llevando una línea de referencia desde A1 hasta la proyección vertical de la recta, queda determinado A2.- 189
2 Conocidas las trazas α1 y α2 de un plano y una de las proyecciones de una figura situada en un plano dado por sus trazas, encontrar la otra proyección. Sea A2B2C2D2 la proyección vertical de la figura (Fig. 66). Se repite aquí, para cada vértice de la figura, el procedimiento empleado en el punto 1 anterior. Resultando sin dificultad, la proyección horizontal A1B1C1D1.- 190