Modelos mixtos Diseño de experimentos p. 1/26
Introducción Cuando en la estructura de tratamientos de un experimento se tienen tanto factores fijos como aleatorios, el modelo que describe tales experimentos se llama modelo mixto. Si un efecto principal es un efecto aleatorio, entonces cualquier interacción que involucre tal efecto principal es también un efecto aleatorio. Es decir, las únicas interacciones que son efectos fijos son aquellas cuyos efectos principales son todos fijos. Por ejemplo, un modelo de tres criterios de clasificación donde A y B son efectos fijos y C es aleatorio es: y ijkl = µ + α i + β j + γij + c k + d ik + f jk + g ijk + ǫ ijkl donde la parte de efectos fijos del modelo es: µ + α i + β j + γij Diseño de experimentos p. 2/26
Introducción y la parte de efectos aleatorios: c k + d ik + f jk + g ijk + ǫ ijkl suponemos que c k N(0, σ 2 c), d ik N(0, σ 2 d ), f jk N(0, σ 2 f ), g ijk N(0, σ 2 g), ǫ ijkl N(0, σ 2 ) y que c k, d ik, f jk, g ijk y ǫ ijkl son variables aleatorias independientes. Diseño de experimentos p. 3/26
Ejemplo (2 factores balanceado) Una compañía quiere reemplazar, en una de sus fábricas, las máquinas usadas para hacer cierto componente. Hay tres diferentes marcas de máquinas en el mercado. El gerente diseña un experimento para evaluar la productividad de las máquinas cuando son operadas por su propio personal. Se seleccionaron aleatoriamente seis empleados para participar en el experimento, cada uno de los cuales operó la máquina en tres diferentes ocasiones. Los datos son calificaciones globales, que toman en cuenta el número y calidad de componentes producidos. Diseño de experimentos p. 4/26
Ejemplo (2 factores balanceado) Repetición Máquina Persona 1 2 3 1 1 52.0 52.8 53.1 1 2 51.8 52.8 53.1 1 3 60.0 60.2 58.4 1 4 51.1 52.3 50.3 1 5 50.9 51.8 51.4 1 6 46.4 44.8 49.2 2 1 62.1 62.6 64.0 2 2 59.7 60.0 59.0 2 3 68.6 65.8 69.7 2 4 63.2 62.8 62.2 2 5 64.8 65.0 65.4 2 6 43.7 44.2 43.0 Diseño de experimentos p. 5/26
Ejemplo (2 factores balanceado) Repetición Máquina Persona 1 2 3 3 1 67.5 67.2 66.9 3 2 61.5 61.7 62.3 3 3 70.8 70.6 71.0 3 4 64.1 66.2 64.0 3 5 72.1 72.0 71.1 3 6 62.0 61.4 60.5 Diseño de experimentos p. 6/26
Ejemplo (2 factores balanceado) El modelo es: y ijk = µ + τ i + p j + g ij + ǫ ijk i = 1, 2, 3 j = 1,...,6 k = 1, 2, 3 Donde µ es la media general, τ i efecto del tipo de máquina i, p j efecto de la persona j, g ij interacción máquina-persona y ǫ ijk error asociado a la j-ésima persona operando la máquina i en el tiempo k. Los componentes aleatorios y sus correspondientes varianzas son: p j N(0, σ 2 p) g ij N(0, σ 2 g) ǫ ijk N(0, σ 2 ) ej23_1_messy.jmp Diseño de experimentos p. 7/26
Ejemplo (2 factores balanceado) F.V. gl SS CM F E(CM) Máquina 2 1755.26 877.632 20.58** σ 2 + 3σg 2 + 18θm 2 Persona 5 1241.89 248.379 5.82** σ 2 + 3σg 2 + 9σp 2 Maq x Pers 10 426.53 42.653 46.13** σ 2 + 3σg 2 Error 36 33.29 0.925 σ 2 La estimación de los componentes de varianza por el método de Momentos: Componente Estimación % del total Persona 22.858 60.64 Máq x Pers 13.909 36.90 Error 0.925 2.45 Total 37.69 100.00 Diseño de experimentos p. 8/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados Realidad diseño modelo análisis El modelo debe representar lo más cercanamente posible a la realidad estudiada, esta representación está mediada por el diseño. Un factor y ij = µ + A i + ǫ j(i) i = 1,...,a j = 1,...,n i A puede ser aleatorio o fijo. ǫ siempre es aleatorio con ǫ j(i) N(0, σ 2 ) La prueba de A se hace con CM A /CME. Si A es fijo H 0 : A 1 = A 2 =... = A a = 0. Si A es aleatorio H 0 : σ 2 a = 0. Diseño de experimentos p. 9/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados Dos factores cruzados y ijk = µ + A i + B j + (AB) ij + ǫ ijk i = 1,...,a j = 1,...,b k = 1,...,n ij Diseño de experimentos p. 10/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados Dos factores anidados y ijk = µ + A i + B j(i) + ǫ k(ij) i = 1,...,a j = 1,...,b k = 1,...,n ij Diseño de experimentos p. 11/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados Tres factores cruzados y ijkl = µ+a i +B j +(AB) ij +C k +(AC) ik +(BC) jk +(ABC) ijk +ǫ l(ijk) i = 1,...,a j = 1,...,b k = 1,...,c l = 1,...,n ij Diseño de experimentos p. 12/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados Tres factores, uno anidado en el cruce de los otros dos y ijkl = µ + A i + B j + (AB) ij + C k(ij) + ǫ l(ijk) i = 1,...,a j = 1,...,b k = 1,...,c l = 1,...,n ij A- Método de estudio B- Escuela pública o privada C- Grupos al azar en cada combinación u.e. alumno dentro de grupo Diseño de experimentos p. 13/26
Ejemplo 1. Evaluación de un espectrofotómetro (Ejemplo 7.5 Kuehl) Un investigador está desarrollando un nuevo espectrofotómetro para aplicaciones en laboratorios médicos, que tiene que ser probado. El investigador tiene que determinar si la variabilidad y consistencia de los resultados obtenidos en múltiples corridas y días están dentro de las especificaciones requeridas. Diseño de tratamientos: factorial con concentraciones de glucosa y días como factores. Las muestras de suero en sangre fueron inoculadas con tres niveles diferentes de glucosa para cubrir el rango de concentraciones de glucosa que el instrumento debe ser capaz de analizar. Las tres concentraciones fueron analizadas en cada día, por lo que el factor concentraciones y el factor día están cruzados. Se hicieron dos corridas en cada día, así que corridas están anidadas en día. Diseño de experimentos p. 14/26
Ejemplo 1 Diseño del experimento: Se prepararon cuatro réplicas de muestras de suero para cada una de las tres concentraciones de glucosa cada día. Dos réplicas de cada concentración fueron asignadas aleatoriamente a cada corrida de cada día. Las 6 muestras fueron analizadas en orden aleatorio en cada corrida. El mismo técnico preparó las muestras y operó el instrumento a lo largo del experimento. El diseño tiene factores anidados y cruzados con a = 3 concentraciones cruzadas con b = 3 días, con c = 2 corridas anidadas en cada día y r = 2 repeticiones en cada concentración en cada día. Las concentraciones de glucosa (mg/dl) observadas en el espectrofotómetro son: Diseño de experimentos p. 15/26
Ejemplo 1 Día 1 Día 2 Día 3 Concen Corr 1 Corr 2 Corr 3 Corr 4 Corr 5 Corr6 1 41.2 41.2 39.8 41.5 41.9 45.5 42.6 41.4 40.3 43.0 42.7 44.7 2 135.7 143.0 132.4 134.4 137.4 141.1 136.8 143.3 130.3 130.0 135.2 139.1 3 163.2 181.4 173.6 174.9 166.6 175.0 163.3 180.3 173.9 175.6 165.5 172.0 Diseño de experimentos p. 16/26
Ejemplo 1 El modelo para este experimento es: y ijkl = µ + a i + b j + c k(j) + (ab) ij + (ac) ik(j) + e ijkl i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 k = 1, 2 l = 1, 2 a i efecto fijo de concentración b j efecto aleatorio de día c k(j) efecto aleatorio de corrida dentro de cada día (ab) ij es el efecto aleatorio de la interacción concentración x día (ac) ik(j) efecto aleatorio de la interacción de concentración x corrida dentro de día ej7_5_kuehl.jmp Diseño de experimentos p. 17/26
Ejemplo 1 Componente E(CM) Concentración σ 2 + 2σac 2 + 4σab 2 + 12θ2 a Día σ 2 + 2σac 2 + 4σab 2 + 6σ2 c + 12σb 2 Corrida(dia) σ 2 + 2σac 2 + 6σc 2 Dia x Concentr σ 2 + 2σac 2 + 4σab 2 Concentr x corrida(dia) σ 2 + 2σac 2 Error σ 2 Componente Concentración Día Corrida(día) Día x concentra Concentra*corrida(día) Denominador (CM) Dia x concentra Corrida(día) + Día x concentra - concentra*corrida(día) concentra*corrida(día) concentra*corrida(día) error Diseño de experimentos p. 18/26
Ejemplo 1 F.V. gl SS CM F Prob > F Concentra 2 108264 54131.8 1227.51 <0.0001 Día 2 24.88 12.44 0.12 0.8888 Corrida(día) 3 263.11 87.70 2.92 0.1223 Día x concentra 4 176.39 44.10 1.47 0.3206 Concentra x corrida(día) 6 180.22 30.04 20.92 < 0.0001 Fué significativa la interacción de concentración x corrida(día), lo que significa que se necesita inspeccionar la consistencia de corrida a corrida a lo largo de las concentraciones. La inconsistencia podría ser debida a la operación del instrumento o la falta de consistencia en la preparación de las muestras para cada una de las concentraciones de corrida a corrida. Diseño de experimentos p. 19/26
Ejemplo 2 Un ingeniero industrial está estudiando la inserción a mano de componentes electrónicos en tarjetas de circuitos impresos para mejorar la velocidad de la operación de ensamblaje. Ha diseñado 3 dispositivos de ensamblaje y 2 esquemas que se ven prometedores. Se requieren operadores para realizar el ensamblado, por lo que decide seleccionar aleatoriamente 4 operadores para cada tipo de esquema. Ya que hay diferentes lugares donde se van a probar estos 2 factores, es difícil usar los mismos 4 operadores, por lo que los 4 operadores escogidos para el esquema 1 son diferentes a los 4 del esquema 2. Se corren en forma aleatoria la combinación de tratamientos y se obtienen 2 repeticiones. Se mide el tiempo de ensamblado en segundos. Diseño de experimentos p. 20/26
Ejemplo 2 Esquema 1 2 Operador 1 2 3 4 1 2 3 4 D 1 22 23 28 25 26 27 28 24 i 24 24 29 23 28 25 25 23 s p 2 30 29 30 27 29 30 24 28 o 27 28 32 25 28 27 23 30 s i 3 25 24 27 26 27 26 24 28 t 21 22 25 23 25 24 27 27 Diseño de experimentos p. 21/26
Ejemplo 2 Este es un modelo mixto ya que dispositivos y esquemas son fijos y operador es aleatorio. En este modelo operadores están anidados en los niveles de esquema, mientras que dispositivos y esquemas están cruzados. y ijkl = µ + τ i + β j + γ k(j) + (τβ) ij + (τγ) ik(j) + ǫ l(ijk) τ i es el efecto del i-ésimo esquema, i = 1, 2 β j es el efecto del j-ésimo dispositivo, j = 1, 2, 3 γ k(i) es el efecto del k-ésimo operador dentro del i-ésimo esquema, k = 1, 2, 3, 4 (τβ) ij interacción esquema x dispositivo (τγ) jk(i) interacción dispositivo x operador dentro de esquema ǫ l(ijk) error, l = 1, 2 Diseño de experimentos p. 22/26
Ejemplo 2 Note que no puede haber interacción esquema x operador por que no todos los operadores usan todos los esquemas, por lo tanto no puede haber interacción dispositivo x esquema x operador. ej13_2_mont.jmp Diseño de experimentos p. 23/26
Ejemplo 2 Componente E(CM) Esquema σ 2 + 6σo 2 + 24θe 2 Disposit σ 2 + 2σod(e) 2 + 16θ2 d esqxdis σ 2 + 2σod(e) 2 + 8θ2 ed op(esq) σ 2 + 6σo 2 op x dis(esq) σ 2 + 2σod(e) 2 Error σ 2 Componente Esquema Dispositivo Esq x Dispo Operador(esq) Opera x Dispo(esq) Denominador (CM) Operador(esquema) Operador x Dispositivo(esquema) Operador x Dispositivo(esquema) error error Diseño de experimentos p. 24/26
Ejemplo 2 F.V. gl SS CM F Prob > F Esquema 1 4.08 4.08 0.3402 0.58 Dispositivo 2 82.79 41.40 7.54 0.0076 Esq x Disp 2 19.04 9.52 1.734 0.218 Operador(esq) 6 71.92 11.99 5.146 0.0016 Op x Disp(esq) 12 65.83 5.49 2.356 0.036 Error 24 56 2.33 Diseño de experimentos p. 25/26
Reglas para encontrar E(CM) en diseños completos balanceados 1. El error, considerado jerárquico dentro de los demás factores, tendrá un componente de varianza σ 2 y es siempre aleatorio. 2. En cada hilera del A. de V. escriba los componentes de varianza que tienen todos los suscritos contenidos en los suscritos del factor en la hilera. 3. Determine qué suscritos no están presentes en cada componente de varianza. Multiplique el coeficiente de ese componente por el tamaño de muestra (número de niveles) de los factores correspondientes a los suscritos faltantes. 4. Multiplique el componente por (1 h/h) donde h es el número de niveles de un factor y H es el tamaño de la población de efectos. Así para efectos fijos h = H y para efectos aleatorios H =. El factor (1 h/h) multiplica a los componentes para cada factor H que está en el suscrito del componente y que no aparece dentro de un paréntesis y/o no está en el encabezado de la hilera. Excepto para σ 2. Diseño de experimentos p. 26/26