Resolución de ecuaciones lineales En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. Si un paréntesis tiene el signo menos delante, se cambian todos los signos de dentro del paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. La suma pasa al otro termino de la igualdad como resta y la resta como suma. La multiplicación pasa al otro termino de la igualdad como división y la división como multiplicación. º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita y calcular el resultado. 6º Comprobar el resultado. Ejemplos de resolución de ecuaciones lineales Tipo 1.- A X = B 6x = 12 12 Despejamos la incógnita: x 6 Calculamos resultado: x = 2 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 6. 2 = 12 1
Tipo 2.- A + X = B - 2 + x = - 8 Agrupamos los términos semejantes: + x = - 8 + 2 Realizamos operaciones: x = - 6 Comprobamos sustituyendo x por su valor: - 2 6 = - 8-8 = - 8 Tipo 3.- AX + B = CX 3x 3 = 6 Agrupamos los términos semejantes: 3x = 6+3 Realizamos operaciones: 3x = 9 Despejamos la incógnita: Calculamos resultado: x = 3 9 x 3 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 3. 3 3 = 6 9 3 = 6 6 = 6 2
Tipo.- AX + B = CX + D 6x 9 = 7x 1 Agrupamos los términos semejantes: 6x 7x = 1 + 9 Realizamos operaciones: x = 8 Despejamos la incógnita: 8 x 1 Calculamos resultado: x = 8 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 6. 8 9 = 7. 8 1 8 9 = 56 1-57 = - 57 Tipo 5.- A ( B + X ) = C 8( - 2 +x ) = 0 Quitamos paréntesis: -16 +8x = 0 Agrupamos los términos semejantes: 8x = 0 + 16 Realizamos operaciones: 8x = 56 Despejamos la incógnita: Calculamos resultado: x = 7 56 x 8 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 8 (- 2 + 7) = 0 8. 5 = 0 0 = 0 3
Tipo 6.- A ( X B ) = BX + C 3 ( 2x 1 ) = 7x 7 Quitamos paréntesis: 6x - 3 = 7x - 7 Agrupamos los términos semejantes: 6x 7x = 7 + 3 Realizamos operaciones: -x = - Multiplicamos por -1 los dos términos: x= Comprobamos sustituyendo x por su valor: 3 ( 2. -1 ) = 7. 7 3 ( 8 1) = 28-7 21 = 21 Tipo 7.- A ( B + X ) = C ( D + X ) -3 (-1 +x ) = -1 (+15 +x ) Quitamos paréntesis: +3 3x = -15 - x Agrupamos los términos semejantes: - 3x + x = 15-3 Realizamos operaciones: - 2x = - 18 Despejamos la incógnita: x 18 2 Calculamos resultado: x = 9 Comprobamos sustituyendo x por su valor: -3 (-1 + 9 ) = -1 (+ 15 + 9) - 3. + 8 = -1. + 2-2 = - 2
Tipo 8.- A ( BX + C ) = D ( EX + F ) -5 (- x - 3 ) = - (2x - 1 ) Quitamos paréntesis: +20x + 15 = - 8x + Agrupamos los términos semejantes: + 20x + 8x = 15 + Realizamos operaciones: 28x = - 11 11 Despejamos la incógnita: x 28 11 Calculamos resultado: x 28 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 11 11-5 (-. - 3 ) = - (2. 28 28-1) - 5 ( 28 22 3) = - ( 28-1) 0-5 ( 28 50 ) = - ( ) 28 200 200 = 28 28 Tipo 9.- AX B C 10x 5 Quitamos denominadores: 10x = - 20 20 Despejamos la incógnita: x = 10 Calculamos resultado: x = - 2 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 10. 2 = 5 20 = 5 5 = 5 5
Tipo 10.- A Bx C 2 x 2 Quitamos denominadores: = x Despejamos la incógnita: x = Calculamos resultado: x = 1 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 2 = - 2-2 = - 2 Tipo 11.- Ax C B D 10x 5 8 2 Quitamos denominadores multiplicando en cruz: 20 x = - 0 Despejamos la incógnita: Calculamos resultado: x = -2 0 x 20 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 10. 2 8 5 2 20 5 = 6
Tipo 12.- A C Bx D 2 2x 3 Quitamos denominadores multiplicando en cruz: -12 = + x Despejamos la incógnita: Calculamos resultado: x = - 3 12 x Comprobamos sustituyendo x por su valor: 2 6 3 Multiplicamos en cruz: - 12 = -12 Tipo 13.- A( B x) D C E 3 ( 7 x ) 5 3 5 Quitamos paréntesis: 21 3x 3 5 5 Quitamos denominadores multiplicando el numerador de la 1ª igualdad por el denominador de la 2ª y el numerador de la 2ª por el denominador de la 1ª: -105-15 x = -15 Agrupamos los términos semejantes: -15 x = 105-15 Realizamos operaciones: - 15x = 90 Despejamos la incógnita: Calculamos resultado: x = - 6 90 x 15 3 ( 7 6 ) 5 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 3 5 3. 1 / 3 = 1 3 / 3 = 1 7
Tipo 1.- A ( Bx C) G( Ex F) D H 5( x 2) (5x ) 5 3 Quitamos paréntesis: 20x 10 20x 16 5 3 Quitamos denominadores multiplicando el numerador de la 1ª igualdad por el denominador de la 2ª y el numerador de la 2ª por el denominador de la 1ª: -60x - 30 = -100x +80 Agrupamos los términos semejantes: - 60x + 100x = 30 + 80 Realizamos operaciones: 0x = 110 110 Despejamos la incógnita: x 0 11 Simplificamos: x Comprobamos sustituyendo x por su valor: 11 11 5( 2) (5 ) 5 3 55 5( 2) ( ) 5 3 8 55 16 5( ) ( ) 5 3 52 39 5( ) ( ) 5 3 260 5 65 5 13 = 13 39 3 156 3 8
A( B x) Tipo 15.- C( D x) E F 2( 1 x) 2( 2 2x) 2 3 2 2x Quitamos paréntesis: x 5 Quitamos denominadores: + 2 2x = +20 20x Agrupamos los términos semejantes: - 2x + 20x = +20 2 Realizamos operaciones: 18x = 18 Despejamos la incógnita: Calculamos: x = 1 18 x 18 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 2( 1 1) 2( 2 2) 2 3 2(0) 2(0) 5 0 = 0 9
Tipo 16.- Ax j Bx k c e x 2x 3 2 1 Quitamos denominadores calculando el mcm de -2, -, -1 y dividiendo este por el denominador y multiplicando por el numerador: m.c.m = - - 2x 2x = -12 Realizamos operaciones: - x = - 12 Calculamos: x = 3 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 3 2 6 3 1 mcm ( -2, -, - 1) = - - 6 6 = - 12-12 = - 12 10
Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado A. TRADUCCIÓN DE ENUNCIADOS El doble de un número 2x Número impar 2x+1 El triple de un número 3x Dos impares consecutivos 2x+1 2x+3 Cuatro veces un número x Dos pares consecutivos 2x 2x+2 La mitad de un número x/2 Área de un rectángulo cuya base Altura=x La tercera parte de un número mide el doble de la altura x/3 La suma de tres números impares consecutivos. Base=2x 1º 2x+1 2º 2x+3 3º 2x+5 La cuarta parte de un x/ Un número menos tres x-3 número El siguiente de un número x+1 Cinco menos que el doble de un 2x-5 número El anterior de un número x-1 Dos veces un número más 8 2x+8 Un número par 2x Tres veces la diferencia de un número y 5 3(x-5) B. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejemplo 1. Un número y su siguiente suman 53. Qué números son? Solución. a) IDENTIFICACIÓN DE DATOS b) PLANTEAR ECUACIÓN c) RESOLUCIÓN ECUACIÓN d) SOLUCIÓN Los números son 26 y 27 Un número x Su siguiente x+1 La suma 53 x+(x+1)=53 x+(x+1)=53 x+x+1=53 x+x=53-1 2x=52 x=52/2 x=26 e) COMPROBACIÓN 11
26+27=53 12
Ejemplo 2. Un número y su anterior suman 99. Qué números son? Solución. a) IDENTIFICACIÓN DE DATOS b) PLANTEAR ECUACIÓN x+(x-1)=99 c) RESOLUCIÓN ECUACIÓN Un número x Su anterior x-1 La suma 99 x+x-1=99 2x-1=99 2x=99+1 2x=100 x=100/2 x=50 d) SOLUCIÓN Los números son: 9 y 50 e) COMPROBACIÓN 50+9=99 13
Ejemplo 3. La suma de un número más su doble más su mitad es 2. Qué número es? Solución. a) IDENTIFICACIÓN DE DATOS b) PLANTEAR ECUACIÓN x+2x+x/2=2 Un número x Su doble 2x Su mitad x/2 La suma 2 c) RESOLUCIÓN ECUACIÓN quitamos denominadores 2x+x+x=8 7x=8 x=8/7 x=12 d) SOLUCIÓN El número es 12 e) COMPROBACIÓN 12+2+6=2 1
Ejemplo. El triple de un número menos 5 es igual a 16. Cuál es el número? (S: 7) Solución. a) IDENTIFICACIÓN DE DATOS b) PLANTEAR ECUACIÓN 3x-5=16 b) RESOLUCIÓN ECUACIÓN Un número x Su triple menos 5 3x-5 Diferencia 16 3x = 16+5 3x = 21 x = 21/3 x=7 d) SOLUCIÓN El número es 7 e) COMPROBACIÓN (3x7) - 5=16 15
Ejemplo 5. Al sumarle a un número 60 se obtiene lo mismo que si se multiplica por 5. Cuál es el número? Solución. a) IDENTIFICACIÓN DE DATOS b) PLANTEAR ECUACIÓN Un número x El número más 60 x+60 Número multiplicado por 5 5x x+60=5x c) RESOLUCIÓN ECUACIÓN 60=5x-x 60=x x=60/ x=15 d) INTERPRETACIÓN El número es 15 e) COMPROBACIÓN 15+60=5x15 75=75 16