INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: 90 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Discutir y resolver en los casos que sea posible el sistema: Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Dadas las rectas r = y s= a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a r y a s. 2 PUNTOS b) Hallar la mínima distancia entre r y s. Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-1,3) y es perpendicular al plano que pasa por los puntos B(1,1,0); C(0,-1,2) y D(-2,2,1). b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD. Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea f la función f(x) = a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
OPCIÓN B Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Dadas las rectas r : y s: se pide: a) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s. b) Determinar la distancia entre r y s. c) Estudiar si la recta t paralela a r y que pasa por O(0, 0, 0) corta a la recta s. Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz A: es no nulo. b) Para a=3, obtener el determinante de la matriz 2A. 0,5 PUNTO c) Sean A: y B:. Calcular rg[(ab) t ] 1,5 PUNTOS Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Se considera la función f(x)= a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en el intervalo [0, 4] b) Suponiendo que k=1 hallar la recta tangente en x=3. Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Calcular los valores de a par los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función y= -x 2 + a 4 y el eje OX es de unidades de superficie.
SOLUCIONES OPCIÓN A: Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Discutir y resolver en los casos que sea posible el sistema: Solución: Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes: A = Si a= R-{-1} => rg(a)= rg(a*) = 3. Como tiene mismo rango que número de incógnitas => sistema compatible determinado. Si a= -1 => rg(a)=2. Veamos el rango de A*; ; rg(a*) = 3. Sistema incompatible. b) El sistema puede resolverse en el primer caso. Usamos Cramer: x= ; y= ; z= ----------------------------o-----------------o---------------------------------- Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Dadas las rectas r = y s= a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a r y a s. b) Hallar la mínima distancia entre r y s. Solución: a) Hay que calcular dos determinantes que darán las ecuaciones implícitas de la recta (en realidad se calculan las ecuaciones de dos planos cuyo corte es la recta que estamos buscando). t: siendo A r (0,1,3); A s=(0,0,0); P(x,y,z); :(x,y-1,z-3); =(x,y,z); (1,0,0) y (0,1,1) => = = ; Las coordenadas de son (0,-1,1); =0 => y+z-4=0
=> 2x=0. Las ecuaciones de la recta t: (o bien: ) b) Hay que utilizar la fórmula de las distancia entre rectas: d(r,s) = = = ----------------------------o-----------------o---------------------------------- Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-1,3) y es perpendicular al plano que pasa por los puntos B(1,1,0); C(0,-1,2) y D(-2,2,1). b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD. Solución: a) Necesitamos un punto (ya lo tenemos) y un vector. Como la recta tiene que ser perpendicular al plano, usaremos como vector director el vector normal del plano. Calculamos entonces la ecuación del plano. Para ello necesitamos un punto y dos vectores. Utilizaremos el punto B y los vectores (-1,-2,2) y = (-3,1,1) => π = =0 => -4x-5y-7z+9=0 => 4x+5y+7x-9=0. : (4,5,7) = ; Por lo tanto la ecuación de la recta es r: b) Hay que calcular los vectores: V= = u 3. ----------------------------o-----------------o---------------------------------- Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea f la función f(x) = a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f 0,75 PUNTOS b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. 0,75 PUNTOS c) Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f. 0,05 PUNTOS Solución: a) Tiene dos asíntotas verticales en los valores en los que se anula el denominador: A. V: x=0 y x=2..- Como el grado del numerador es menor o igual que el del denominador tiene asíntotas horizontales pero no oblicuas:
A.H: Como [(9x-3)/(x 2-2x)] =0; la recta y = 0 es una asíntota horizontal (A.H.) en ± de f(x). b) Monotonía. Estudio de f '(x) f '(x) = [9(x 2-2x) - (9x-3)(2x-2)] / (x 2-2x) 2 = [-9x 2 + 6x - 6] / (x 2-2x) 2 f '(x) = 0; -9x 2 +6x - 6 = 0 o bien 3x 2-2x + 2 = 0, de donde x = [2 ± (4-24)]/6 que no tiene soluciones reales, por tanto la función siempre es creciente o decreciente para lo cual sustituiremos un nº cualquiera en la primera derivada. Si nos da positivo la función es creciente y si nos da negativo la función es decreciente siempre. Probamos el 1, f '(1) = -9/1 = -9 < 0, luego la función siempre es decreciente. c) Aunque no la piden la gráfica es ---------------------------------o------------------o-------------------------------------
SOLUCIONES OPCIÓN B: Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Dadas las rectas r : y s: se pide: a) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s. b) Determinar la distancia entre r y s. c) Estudiar si la recta t paralela a r y que pasa por O(0, 0, 0) corta a la recta s. Solución: a) Los vectores que generan el plano son los dos vectores directores de las rectas y el formado por el punto genérico del plano y el de la recta r, que son coplanarios y por tanto el determinante será nulo. Así se obtiene la ecuación del plano. =0; x-2z-1=0 b) Utilizamos la fórmula de distancia de dos rectas que se cruzan porque las rectas no son paralelas: A r = (1,2,0); A s = (-2,0,2); = (-3, -2, 2); =(2,3,1); = 2,1,1) d(r,s) = = = c) Calculamos la ecuación de la recta t que pasa por el origen y es paralela a r (por lo tanto tiene su mismo vector director): t= Igualamos las coordenadas de la recta t a las de la recta s y resolvemos el sistema para calcular los valores de los parámetros y a partir de ahí, calcular, si existe, el punto de corte: s = => => Al resolver el sistema llegamos a que 0 =3 que no es posible puesto que 0 3 => Sistema incompatible => t y s no se cortan. ------------------------------o------------------o----------------------------------
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz A: es no nulo. Solución: A = Si A =0 => 3a 2 (a-1) =0 => a=0; a= 1. Si a R-{0,1} => A 0 b) Para a=3, obtener el determinante de la matriz 2A. Solución: 2A = ; si a=3 queda: 24 27 24 9 = 648 216 = 432. c) Sean A: y B:. Calcular rg[(ab) t ] Solución: A B= Para calcular el rango, calculamos el determinante: AB = distinto de cero: => rg[(ab) t ] = 2. Buscamos un menor de orden 2 ------------------------------o------------------o---------------------------------- Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Se considera la función f(x)= a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en el intervalo [0, 4] Solución: Hay que ver lo que ocurre en x=2..- f(2) = 1+ k 2 ;.- ;.- ; Por lo tanto debe cumplirse que 1+k 2 = 2 => k 2 = 1 => k=±1 b) Suponiendo que k=1 hallar la recta tangente en x=3. Solución: y-f(3) = f (3)(x-3);
f(3) = e+1; f (x)= e x-2 ; f (3) = e => y e-1 = e(x-3); ex-y-2e+1=0; ------------------------------o------------------o---------------------------------- Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Calcular los valores de a par los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función y= -x 2 + a 4 y el eje OX es de unidades de superficie. Solución: Primero calculamos los puntos de corte con el eje OX: -x 2 + a 4 = 0 => x= ±a 2. Como es simétrica respecto al eje OY se puede calcular la integral entre a 2 y a 2 o entre 0 y a 2 y multiplicarla por 2. ; El resultado final es a= 2 ------------------------------o------------------o----------------------------------