Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 1 Poliedros y cuerpos de revolución Página 155 1. Describe cada uno de los cinco poliedros de abajo diciendo cómo son sus caras (por ejemplo, el C tiene siete caras, seis de ellas triángulos y una heágono), cuántas aristas y cuántos vértices tiene. A D G I F C J B E H K A tiene 6 caras rectangulares, 1 aristas y 8 vértices. B tiene 5 caras. Dos de ellas, las bases, son triángulos y las tres caras laterales son rectángulos. Tiene 9 aristas y 6 vértices. C tiene siete caras, seis de ellas son triángulos y una, un heágono. Tiene 1 aristas y 7 vértices. D tiene 1 caras. Dos de ellas son cuadrados, dos, rombos y las cuatro restantes son rectángulos. Tiene 4 aristas y 14 vértices. E tiene 8 caras. Dos de ellas, las bases, son heágonos regulares, y las otras seis son trapecios isósceles. Tiene 18 aristas y 1 vértices. F tiene caras. Una de ellas es un círculo que actúa como base, la otra, una cara curva. Tiene un único vértice y una arista. Es un cuerpo de revolución. G tiene caras. Dos de ellas son círculos y actúa como bases, la tercera es una cara curva. No tiene vértices y tiene aristas. Es un cuerpo de revolución. H tiene 7 caras. Cuatro de ellas son rectángulos. Tiene 15 aristas y 10 vértices. I tiene caras curvas, aristas y ningún vértice. J tiene caras. Dos de ellas planas y una curva. Tiene aristas y vértices. K tiene una única cara circular. No tiene ni vértices ni aristas. 1
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas. Dibuja cómo se obtienen los cuerpos I y K haciendo girar una figura plana alrededor de un eje. I K. A B Dibuja el cuerpo de revolución que se obtiene haciendo girar este trapecio alrededor de: a) AD b) AB c) CD D C a) AD b) AB c) CD
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas Prismas Página 157 1. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide, y uno de sus catetos, 4 cm. La altura del prisma es 50 cm. Halla el área total y el volumen del prisma. 4 cm 4 cm 50 cm Calculamos la altura de la base: + 4 6 + 576 676 100 10 cm perímetro de la base: P 10 + 4 + 6 60 cm área lateral: A lat P h 60 50 000 cm área de la base: A base 10 4 10 cm área total: A tot A lat + A base 000 + 10 40 cm volumen: V A base h 10 50 6 000 cm. Halla el área total y el volumen de un cubo de,5 m de arista.,5 m área de una cara: l,5 6,5 m área total: A tot 6,5 6 7,5 m volumen: V l,5 15,65 m. Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, y 8 cm. a) Dibújalo en tu cuaderno. b) Dibuja su desarrollo. Escribe, al lado de cada arista, su longitud. c) Halla su área. d) Halla su volumen. a) b) 4 cm 4 cm 4 cm 8 cm 8 cm 4 cm 4 cm c) A lat P h ( 4 + 5) 8 144 cm A tot A lat + A base 144 + (5 4) 184 cm d) V A base h (5 4) 8 160 cm
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas Pirámides Página 159 1. La base de una pirámide regular es un cuadrado de 10 dm de lado. Su altura, 1 dm. Halla su área y su volumen. Calculamos la apotema de la pirámide: 5 + 1 5 + 144 169 169 1 dm área de una cara: base altura 10 1 65 dm área de la base: A base l 10 100 dm 1 dm área total: A tot 100 + 4 65 60 dm volumen: V 1 A base h 1 100 1 1 1 00 400 dm 10 dm 5 dm 10 dm. Un triángulo equilátero de de lado es la base de una pirámide regular cuya altura es 1. Halla su área y su volumen. 1 cm Calculamos la altura del triángulo equilátero: 6 + 6 + 9 6 9 7 7 5, cm A base base h 5, 6 15, Calculamos la apotema de la pirámide: El pie de la altura cae a 1 de la altura de la base 1 50, 1, 7 cm a 15 + (1,7) a 5 + a 8 a 8 a 15,1 cm área lateral: A lat Perímetrodelabase a 6 15, 1 15, 9 cm área total: A tot A base + A lat 15,6 + 15,9 151, volumen: V 1 A base h 1 15,6 15 78 cm 4
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 4 Poliedros regulares Página 160 1. Haz una tabla en tu cuaderno en la que aparezcan el número de caras, vértices y aristas de los cinco poliedros regulares. C V A tetr. cubo oct. dodec. icos. a) A partir de la tabla anterior, comprueba que el dodecaedro y el icosaedro cumplen las condiciones necesarias para ser duales. b) Comprueba, también, que el tetraedro cumple las condiciones para ser dual de sí mismo. tetr. cubo oct. dodec. icos. C 4 4 8 1 0 V 4 8 6 0 1 A 6 1 1 0 0 a) Efectivamente, tienen el mismo número de aristas y, el número de caras de cada uno de ellos, coincide con el de vértices del otro. b) Obviamente tiene el mismo número de aristas. El número de vértices y caras son iguales.. Hemos señalado en rojo los centros de las caras frontales de estos poliedros, y en rosa, los centros de algunas caras ocultas. Uniéndolos convenientemente se obtienen los poliedros duales. Hazlo en tu cuaderno. 5
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 5 Cilindros Página 161 1. Halla el área total y el volumen de un cilindro recto del que conocemos sus dimensiones: r 1 y h dm. 1 dm 0 cm A lat πrh π 15 0 600π 1884,9 A base πr π 15 5π 706,8 A total A lat + A base 1884,96 + 706,86 98,68 cm V πr h π 15 0 4500π 1417,17 cm. Un bote cilíndrico de 1/ de litro tiene un diámetro de 6,4 cm. Halla su altura en milímetros, y la superficie de la lata con la que está construido. 6,4 cm Volumen 1 l 1 dm Radio, cm 0, dm V πr h 1 π 0, 1 π 0,104 1 1,0 dm 10 mm π 0, 104 A lat πrh π, 10, 07,1 cm A base πr π,,17 cm A total A lat + A base 07,1 +,17 71,4 cm La altura del bote mide 10 mm y la superficie necesaria para construirlo es 71,4 cm. 6
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 6 Conos Página 16 1. Halla el área total y el volumen de un cono recto del que conocemos sus dimensiones: r 1 y h dm. 0 cm g 1 g 15+ 0 65 A total πrg + πr π 15 5 + π 15 600π 1 884,9 V 1 π r h 1 π 15 0 1500π 4 71, 9 cm. Halla el área total y el volumen de un cucurucho cónico de de altura y 0 cm de diámetro de la base. g 1 g 15+ 6 151 9 cm A total πrg + πr π 15 9 + π 15 810π 544,69 cm V 1 πrh 1 π 15 6 700π 8 48, cm 7
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 7 Esferas Página 16 1. Halla el área total y el volumen de un trozo de esfera que es una cuarta parte de esfera de 1 m de diámetro. A esfera 4πr 4π 0,5 π,14 m A círculo πr π 0,5 0,5π 0,79 m V esfera 4 πr 4 π 0,5 0,5 m Calculamos el área y el volumen de la cuarta parte de la esfera: A A ESFERA 4 VESFERA V 01, m 4 ACÍRCULO + 14, + 079, 1, 58 m 158 dm 4. Radio eterior 10 cm Radio interior Halla el área total y el volumen. A esfera grande 4πr 4π 10 400π cm 1 56,64 cm A esfera pequeña 4πr 4π 5 100π cm 14,1 A corona circular πr 1 πr π 10 π 5 100π 5π 75π 5, A total 1 56, 64 + 14, 16 + 5, 6 1 01, 0 cm V 1 < 4 πr 4 π r 1 4 10 4 5 π, 1 F < π π F 875 185 8
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 8 Coordenadas geográficas Página 165 1. Cuando en el huso 0 son las 8 a.m., qué hora es en el tercer huso al E? Y en el quinto al O? En el tercer huso al E serán h más. Es decir, serán las 11 a.m. En el quinto huso al O serán 7 h menos: las a.m.. Roma está en el primer huso al E y Nueva York, en el quinto al O. Si un avión sale de Roma a las 11 p.m. y el vuelo dura 8 h, cuál será la hora local de llegada a Nueva York? En Nueva York serán las 1 p.m.. En la recepción de una empresa puedes ver los relojes siguientes: LOS ÁNGELES NUEVA YORK LONDRES TOKIO LOCAL Se trata de la oficina de Atenas, Montevideo, Nueva Delhi o Sídney? Razona tu respuesta. Se trata de Nueva Delhi. Se puede comprobar mirando los husos horarios. 4. En Río de Janeiro (4 O) son las 7 de la mañana. Qué hora es en Hirosima (1 E)? En Hiroshima son las 4 de la tarde. 5. Si en La Habana (8 O) son las 8 p.m., asigna su hora a cada ciudad en tu cuaderno: Maputo (Mozambique) p.m. Natal (Brasil) a.m. Astaná (Kazajistán) 8 p.m. Temuco (Chile) 0 a.m. Honolulú (Hawái) 11 a.m. Dakar (Senegal) 11 p.m. Katmandú (Nepal) 6 a.m. Melbourne (Australia) 7 a.m. Maputo (Mozambique) a.m. Natal (Brasil) 11 p.m. Astaná (Kazajistán) 6 a.m. Temuco (Chile) 8 p.m. Honolulú (Hawái) p.m. Dakar (Senegal) 0 a.m. Katmandú (Nepal) 7 a.m. Melbourne (Australia) 11 a.m. 9
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas Ejercicios y problemas Página 166 Practica Desarrollos y áreas 1. Haz corresponder cada figura con su desarrollo y calcula el área total: I II III IV cm 4 cm cm cm 7 cm A B C D i C cm 6 + 6 9 7 7 5, cm A triángulo 78, cm A total 8 7,8 6,4 cm ii B A triángulo 78, cm A rectángulo 6 1 cm A total 4 1 + 8 7,8 110,4 cm 10
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas iii A 4 cm cm 4 + 16 4 1 1, Perímetrodelabase apotema A heágono 4 5, 4 cm A rectángulo 4 8 cm A total 4 + 6 8 1 cm iv D A cuadrado l 7 49 cm A rectángulo base altura 7 1 cm A total 49 + 4 1 18 cm. Calcula la superficie total de cada cuerpo: A B C D cm cm A B A base πr π,5 19, A base πr π 8,7 cm A lateral πrh π,5 15π 47,1 cm A lateral πrg π 5 15π 47,1 cm A total 19,6 + 47,1 86,8 cm A total 8,7 + 47,1 75,9 cm C Calculamos la apotema de la base: cm 1, a + 1,5 9,5 6,75 675,, A heágono Perímetro apotema 18 6,, 4 cm Calculamos la apotema de la pirámide: 5 a + 1,5 5,5 a,75 a a, 75 a 4,77 cm A triángulo base altura 4, 77 716, cm A total,4 + 6 7,16 66, D 1, A total 4πr 4π 6π 11,1 cm 11
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas. Dibuja el desarrollo plano y calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos: a) b) 1 4 cm 8 cm 10 cm 19 cm c) 6 m 10 m 15 m 6 m 15 m 6 m d) e) 8 cm cm 9 cm 1 cm f) 10 cm 1 1 a) 8 cm 1 1 A base base altura 15 8 10 cm 4 cm A lateral perímetro altura ( 15 + 8) 4 1 104 cm A total 1 104 + 10 1 44 cm 8 cm 8 cm 8 cm b) 19 cm A base base altura 6 6 18 cm A lateral perímetro de la base altura (6 + 6 + 10) 19 418 cm A total 418 + 18 454 cm 10 cm c) Tomamos como base uno de los pentágonos. 6 + 5 6 5 11 11, cm A base A triángulo + A rectángulo A base base altura 10, + base altura + 6 10 76, A lateral perímetro de la base altura (6 4 + 10) 15 510 cm 10 cm 1 A total 510 + 76,5 6 1
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas d) Calculamos lo que mide la hipotenusa del triángulo: 8 + 6 64 + 6 100 10 cm Tomamos como base uno de los triángulos: 10 cm 8 cm cm A base base altura 8 6 4 cm A lateral perímetro de la base altura (10 + 8 + 6) 7 cm A total 7 + 4 10 cm e) nota: En el libro del alumno hay una errata. La medida de la base menor son, no 5 m. 1 cm 9 cm base mayor+ base menor A trapecio altura 9+ 5 1 91 cm A lateral 4 A trapecio 4 91 64 cm A base mayor l 9 81 cm A base menor l 5 A total 5 + 81 + 64 470 cm f) 1 A cono πrg π 10 15 150π 471,4 cm 1 A círculo πr π 10 100π 14,1 A lateral πrh π 10 16 0π 1 005,1 cm A total 471,4 + 14,16 + 1 005,1 1 790,71 cm 10 cm 1
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 4. Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) Prisma de altura 4 cm y cuya base es un rombo de diagonales 18 cm y 1 cm. b) Octaedro regular de arista 18 cm. c) Pirámide heagonal regular de arista lateral 8 cm y arista básica 1. d) Pirámide de altura y base cuadrada de lado 9 cm. e) Cilindro de altura 17 cm y cuya circunferencia básica mide 44 cm. f) Esfera inscrita en un cilindro de altura 1 m. a) 18 cm 1 cm A base D d 18 1 108 cm Calculamos la arista de la base: 4 cm 6 + 9 6 + 81 117 117 10,8 cm 9 cm A lateral perímetro de la base altura (4 10,8) 4 1 06,8 cm A total A base + A lateral 108 + 106,8 1144,8 cm b) Calculamos la altura de uno de los triángulos: 18 cm 18 cm 9 cm 18 + 9 4 81 4 A triángulo 4 18, base altura 18 18,6 167,4 cm El octaedro está formado por ocho triángulos iguales: A total 8 167,4 1 9, cm c) Calculamos la altura de una cara: 8 + 8 784 64 70 1 8 cm 8 cm 8 cm 70 6,8 cm A triángulo base altura 16 6,8 14,4 cm A lateral 6 14,4 186,4 cm Calculamos la apotema de la base: a 1 16 8 + a a 56 64 19 a 19 1,9 cm 8 cm perímetro apotema (6 16) 1,9 A base 667, cm A total A base + A lateral 667, + 186,4 195, 14
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas d) Calculamos la altura de una cara: 9 cm 4, 5 + 4,5 65 + 0,5 645,5 A triángulo 645, 5 5,4 cm base altura A lateral 4 114, 457, cm A base l 9 81 cm 9 5,4 114, cm A total A base + A lateral 81 + 457, 58, cm e) r 17 cm 44 44 πr r π 7 cm A lateral πrh π 7 17 8π 747,7 cm A base πr π 7 49π 15,9 cm A total A lateral + A base 747,7 + 15,9 1 055, f) r 0,5 m A total 4πr 4π 0,5 π,14 cm 5. Calcula la superficie de: a) Un prisma recto pentagonal regular cuyas aristas miden, todas, 10 cm. b) Un dodecaedro regular de arista 10 cm. El radio de la circunferencia circunscrita a un pentágono de lado l es r 0,85 l. 8, El radio del pentágono mide r 0,85 10 8,. Calculamos la apotema del pentágono: 8,5 5 + 7,5 5 + 7,5 5 47,5 47, 5 6,87 cm perímetro apotema a) A base 50 6,87 171, 7 A lateral perímetro de la base altura 50 10 500 cm A total 171,75 + 500 84, b) A pentágono perímetro apotema 50 6,87 171, 7 El dodecaedro tiene 1 caras que son pentágonos regulares. A total 1 171,75 061 cm 15
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas Página 167 Volúmenes 6. Calcula el volumen de estos cuerpos: A B C D 4 cm cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm cm m E F G 1 m H 9 m m cm 15 m m m m 10 cm 14 m 16 m 9 m m a) V A altura π r h π BASE 4 16π 16, 7 b) V A base altura l h 4 6 9 c) V A altura l h 4 BASE 6 cm d) V A base altura π r h π 6 54π 169,6 e) V 1 A base altura a b h 9 6 1 V A base altura a b h 7 cm V V 1 + V 16 + 7 189 cm f) Calculamos la altura del triángulo: g) 10 6 + a 100 6 + a a 100 6 a 64 a 8 cm V A base altura a b h 8 6 58 cm 14 m 7 m 16 m 1 m 15 m 1 + 7 144 49 95 9,7 V h) V 1 A base altura a b h 9 81 cm V A base altura a b h 7 cm V V 1 + V 81 + 7 108 cm 14 975, 16 + 14 16 15 1 09 + 60 4 4 16
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 7. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) Octaedro regular de arista 8 cm. b) Pirámide heagonal regular cuya arista lateral mide 17 cm y la arista de la base 10 cm. c) Semiesfera de radio 1. d) Cilindro inscrito en un prisma recto de base cuadrada de lado 10 cm y altura 18 cm. a) Calculamos el volumen dividiendo el octaedro en dos pirámides de base cuadrada. 8 cm + 8 64 57, cm V pirámide 1 A base altura 1 l h 1 8 5, 7 11, V octaedro V pirámide 11,6 4, cm b) h + 10 17 h 89 100 189 h 189 1, 7 cm 10 cm h 17 cm 10 cm a a + 5 10 a 100 5 75 a 75 87, cm V 1 A base altura 1 perímetro apotema h 1 ( 10 6 ) 8, 7 1, 7 1191, 9 cm c) 1 V 1 4 πr 1 4 π 15 50π 7 068, 58 cm d) 18 cm V A base altura π r h π 5 18 450π 1 41,7 cm 8. Calcula el volumen de este cuerpo: m,5 m 6 m La parte de arriba es medio cilindro. 5 m V π 5, 6 π 5, 88, 17
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 9. Halla las áreas y los volúmenes de estos prismas regulares. En ambos, la arista básica mide 10 cm, y la altura, 8 cm. 10 cm 10 cm 10 5 75 8,6 perímetro apotema A base 10 5 8, 66 16, A lateral P h 5 10 8 400 cm A total A base + A lateral 16,5 + 400 8 cm V A base h 16,5 8 1 7 cm En este caso el apotema de este prisma es el mismo que el anterior. perímetro apotema A base 8 10 8,66 46,4 cm A lateral P h 8 10 8 640 cm A total A base + A lateral 46,4 + 640 1,8 cm V A base h 46,4 8 771, cm 10. Calcula el volumen de estos cuerpos: m 6 m m 5 m 4 m 6 m V V cono + V cilindro + V ESFERA V V cilindro grande V cilindro pequeño V cono 1 π r h π, 1 57 m V cilindro grande πr h π 5 141,7 m V cilindro π r h π 7,7 m V cilindro pequeño πr h π 1,5 5 5,4 m V esfera 4 πr π, 51 m V 141,7 + 5,4 176,71 m V 1, 57 + 7, 7 +, 51 67, 05 m 18
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 11. Halla el área y el volumen de este tetraedro regular: B D 8 cm D H h O A O C A C Para hallar la altura H, recuerda que AO h, donde h es la altura de una cara. Calculamos lo que mide la altura h: A D h O C h 8 4 48 h 6,9 cm A base b h 8 6, 9 7, 7 cm A total 4 A base 110,88 cm Calculamos lo que mide la altura H del tetraedro: H 8 c 69, m 466, H 6, V 1 A H 1 BASE 7, 7 65, 604, cm 1. Hacemos girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 14 cm y 17 cm alrededor de cada uno de ellos, obteniendo así dos conos distintos. 14 cm 17 cm 14 cm 17 cm a) Cuál de ellos tiene más volumen? b) Qué porcentaje de volumen tiene más uno que otro? a) 17 cm V 1 π r h 1 π, 14 17 489 8 cm 4 cm 14 cm V 1 π r h, 4 6 9 El cono que tiene radio 17 cm es el que tiene más volumen. b) El cono que tiene más volumen tiene aproimadamente un 1 % más de volumen que el otro. 19
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 1. La base de un ortoedro tiene dimensiones 40 cm 44 cm. Su volumen es 1 5,5 dm. Calcula las diagonales de sus caras y la diagonal principal. D 40 cm 4 dm 44 cm 4,4 dm 40 dm 44 cm V A base h 1 5,5 4 4,4 h h 11,7 dm d 11,7 dm d 11,7 + 4 d 6,7 dm 40 dm d' 11,7 dm d ' 4,4 + 11,7 d ' 1,5 dm 4,4 dm D 4 + 4,4 + 11,7 D 7,06 dm 0
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas Página 168 Coordenadas geográficas 14. El metro, unidad de medida de longitud, se definía antiguamente como la diezmillonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre. Es decir, un meridiano terrestre tiene 40 000 000 de metros. Halla: a) El radio de la Tierra en kilómetros. b) Su superficie en kilómetros cuadrados. c) Su volumen en kilómetros cúbicos. 40 000 000 m 40 000 km a) πr 40000 r 40 000 6 66, km π b) S 4πr 4 π 6 66, 509 96 18 km c) V 4 πr 4 π,, 6 66 1 081 10 1 km 15. Ejercicio resuelto. Ejercicio resuelto en el libro del alumno. 16. Calcula, en kilómetros, la medida del paralelo terrestre de latitud 45 N. r 45 cos 45 R r T r R r RT 6 71 4 504, 98 km T L π 4 504,98 8 05,61 km 17. Un barco va de un punto A, situado en las costas de África de 0 º latitud norte y 10 longitud oeste, a otro B, en las costas de América de 0 latitud norte y 80 longitud oeste, siguiendo el paralelo común. a) Qué distancia ha recorrido? b) Qué distancia recorrería si la diferencia de longitudes de los dos puntos fuera de 180? c) Qué distancia recorrería en este último caso si pudiera navegar de un punto a otro siguiendo un arco de círculo máimo? a) Calculamos el radio del paralelo que tienen en común: cos 0 R r T r 6 66, 551, km El ángulo entre A y B es 80 10 70 Dist π r a π 551, 70 67, 77 km 60 60 B α A 0 1
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas b) Dist π r a π 551, 180 1717,4 km 60 60 c) Dist π r π 5 51, 4 641,1 km 18. Dos ciudades tienen la misma longitud, 15 º E, y sus latitudes son 7 º 5' N y º 5' S. Cuál es la distancia entre ellas? 15 R T α 7 5' N 5' S Calculemos los grados que separan los paralelos donde se encuentran las dos ciudades: α 7 5' + 5' 59 60' 60 Dist π RT a π 666, 60 6666,67 km 60 60 19. La milla marina es la distancia entre dos puntos del ecuador cuya diferencia de longitud es 1'. Calcula la longitud de una milla marina. α 1' 1 0, 017 60 π RT a L π 666, 0, 017 1, 85 km 60 60 Piensa y resuelve 0. Observa que al seccionar un cubo como indica la figura, se obtiene de la esquina cortada una pirámide triangular. a) Dibuja el desarrollo de dicha pirámide. b) Calcula su superficie lateral considerando la sección como base. c) Calcula su volumen (apóyala sobre uno de los triángulos rectángulos). m 5 m 4 m a) m 4 m 4 m m 5 m 5 m b) A lateral 5 + 4 + 4 5 47, ABASE altura c) V 4 5 0 cm
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 1. Un dependiente envuelve una caja de zapatos de 0 cm de larga, 18 cm de ancha y 10 cm de alta con un trozo de papel, de forma que un 15 % del envoltorio queda solapado sobre sí mismo. Qué cantidad de papel ha utilizado? Calculamos el área total de la caja de zapatos: A base 0 18 540 cm A lateral perímetro de la base altura ( 0 + 18) 10 960 cm A total A base + A lateral 540 + 960 040 cm Habrá utilizado un 15 % más de la superficie de la caja 040 1,15 4 Ha utilizado 4 de papel para envolverlo.. Una empresa de carburantes tiene cuatro tanques esféricos de 0 m de diámetro y seis tanques cilíndricos de 0 m de altura y 10 m de radio en la base. Para evitar la corrosión, se contrata a un equipo de operarios que cobra, por pintar los depósitos, 1 /m. Calcula el coste total de la operación. A esfera 4πr 4 π 10 400π 1 56,6 m A cilindro πr + πrh π 10 + π 10 0 600π 1 884,96 m A total 4 1 56,6 + 6 1 884,96 16 6,16 m Coste 1 16 6,16 196 0,9 El coste total de la operación es de 196 0,9.. Un bidón de pintura de forma cilíndrica, de cm de altura y 0 cm de diámetro de la base, está lleno en sus tres cuartas partes. En su interior se ha caído un pincel de 40 cm de largo. Crees que se habrá sumergido totalmente en la pintura? La altura de la pintura es 4 cm 4 4 + 0 576 + 900 1 476 1 476 8, 4 cm cm 0 cm cm 4 40 cm > 8,4 cm Solución: No, no se sumergirá del todo. Un pico de 0, se quedará asomando. 4. Al introducir una piedra en un recipiente cilíndrico, de 0 cm de diámetro, la altura del agua que contiene sube. Cuál es el volumen de la piedra? V πr h π 10 5 500π 1 570,8 cm El volumen de la piedra es de 1 570,8 cm.
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas Página 169 5. Se introduce una bola de piedra de 1 cm de diámetro en un recipiente cúbico de 1 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula: a) La cantidad de agua que se ha derramado. b) La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola. a) V bola 4 πr 4 π 6 88π 904, 78 cm Se han derramado 904,78 cm de agua. b) Llamamos h a la altura que alcanza el agua. 904,78 1 1 h 904,78 144h h El algua alcanzará una altura de 6,8 cm. 904, 78 144 68, cm 6. Este es el mayor tetraedro que cabe dentro de un cubo de 10 cm de arista. Halla su superficie y su volumen. C A B 10 cm D Calculamos el lado del tetraedro: l 10 + 10 00 l 14,14 cm Recordamos que AO h. Por tanto, tenemos que hallar la altura del triángulo. A H O h 14,14 7,07 h 1,4 cm H 14, 14 c 1, 4 m 1, 9 H 11,54 cm A base 1 b h 1 14, 14 1, 4 86, 54 cm A total 4 86,54 46,1 V 1 A H 1 BASE 86, 54 11, 54, 89 cm 7. Cuál debe ser la altura de un cilindro cuya base mide 4 cm de radio para que su volumen sea 1 l? 1 l 1 dm 1 000 cm V πr h 1 000 π 4 h h El cilindro medirá 0,5 de alto. 1 000 h 0,5 576π 4
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 8. Calcula el área total y el volumen de los cuerpos de revolución que genera cada una de estas figuras planas al girar alrededor del eje indicado: A B 4 cm 7 cm cm cm cm Calculamos la generatriz: g + g 18 g 18 g 4,4 cm A cono πr + πrg π + π 4,4 68, cm A cilindro πr + πrh π + π 4 11,9 A total 68, + 11,95 00,18 cm A altura V cono πrh π BASE 9π 87, cm V cilindro A base altura πr h π 4 6π 11,1 cm V total 8,7 + 11,1 141,7 cm A semiesfera 4πr + πr 4 π + π 7π 848, cm A cilindro πr + πrh π + π 6π 11,1 cm A total 84,8 + 11,1 197,9 cm V semiesfera 4 πr 1 4 π 6π 1885, cm 6 V cilindro A base altura πr h π 7π 84,8 cm V total 18,85 + 84,8 10,67 cm 9. Calcula el volumen de una habitación de,0 m de altura, cuya planta tiene la forma y dimensiones indicadas en la figura. m Halla, también, la superficie de las paredes. 4 m 4 m 1 m m 1,5 A base a b + πr 4 + π 1,5 19,07 m V A base altura 19,07,0 4,861 m Calculamos la superficie de las paredes: 1 m Perímetro 4 + + 1 + 1,5π 15,71 A Perímetro altura 15,71,0 6,1 m El volumen es 4,861 m y la superficie de las paredes 6,1 m. 5
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 0. El desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular de 10 º de amplitud y cuya área es 84,78 cm. Halla el área total y el volumen del cono. Necesitamos saber la generatriz del cono y el radio de la base. El arco de circunferencia correspondiente a 10 corresponderá con el perímetro de la circunferencia de la base. πg10 πr πg πr 60 g r El área de la superficie lateral de un cono es A lateral πrg 84,78 πrg Así, hemos encontrado dos ecuaciones para las dos incógnitas que queremos saber: g r * 84,78 π r r 84,78 πr r 84, 78 πrg 84, 78 r 9 r cm π h cm 9 cm g 9 cm A base πr π 9π 8,7 cm A total A base + A lateral 8,7 + 84,78 11,14 cm Para el volumen necesitamos la altura del cono: 9 h + h 81 9 h 7 h 7 8, V A base altura 8,7 8,5 40, cm El área mide 11,14 cm y el volumen, 40, cm. 1. Tres pelotas de tenis se introducen en un tubo cilíndrico de 6, de diámetro en el que encajan hasta el borde. Halla el volumen de la parte vacía. La altura del cilindro es la suma de los diámetros de las pelotas de tenis: h 6,6 19,8 cm V cilindro πr h π, 19,8 677,4 cm V pelota 4 πr 4 π, 150, El volumen de las pelotas es 150,5 451, Por tanto, el volumen de la parte vacía es: V 677,4 451,6 5,8 cm 6
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas. Queremos construir un tubo cilíndrico soldando por los lados un rectángulo de 8 cm de largo y 0 cm de ancho. Cómo se consigue mayor volumen, soldando por los lados de 8 cm o por los de 0 cm? r r 8 cm 0 cm L πr r 0 18, L πr r 8 446, π π V πr h 891,7 cm V πr h 147,8 cm Conseguimos mayor volumen si soldamos por el lado de 0 cm.. Cortamos un prisma triangular regular por un plano perpendicular a las bases y que pasa por el punto medio de dos aristas. Calcula el volumen de los dos prismas que se obtienen. 8 m 4 m 10 m 8 m h 10 m h 10 m h 8 4 h 6,9 m h 4 h,46 m A base b h 8 6, 9 7, 71 m A base b h 4, 46 69, m V A base altura 7,71 10 77,1 m V A base altura 6,9 10 69, m 4. Un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden 8 cm, se hace girar alrededor de la hipotenusa. Halla el volumen del cuerpo que se forma. Se forma un cono: 8 cm 8 cm V 1 πrh 1 π, 8 8 56 16 7
Unidad 1. Figuras en el espacio a las Enseñanzas Aplicadas 5. Un avión tiene que ir de A a B, dos lugares diametralmente opuestos en el paralelo 45. Puede hacerlo siguiendo el paralelo (APB) o siguiendo la ruta polar (ANB). Calcula la distancia que se recorrería en cada trayecto. A N B P S N Hallamos el radio paralelo a 45 45 R P R + R R 6 70 4 504, 7 Por lo tanto: A S N B P L apb π 4504, 7 1414, 41 km Para ir de A a B por ANB abarca un ángulo de 45 + 45 90 sobre el meridiano. Por tanto: S L anb π R 90 πr π 6 70 10 000, 9 km 60 8