ESTADÍSTCA ESPAÑOLA Vol. 47, Núm. 6, 25, ágs. 423 a 446 nconssenca económca de las fórmulas de Carl, Duo y Jevons ara calcular el índce elemenal del PC con esraos báscos homogéneos or RODRÍGUEZ FEJOÓ, SANTAGO GONZÁLEZ CORREA, CARLOS RODRÍGUEZ CARO, ALEJANDRO Dearameno de Méodos Cuanavos en E. y G. Unversdad de Las Palmas de Gran Canara Las Palmas de Gran Canara RESUMEN Las fórmulas más ulzadas a la hora de elaborar el índce elemenal del Índce de Precos de Consumo son las fórmulas de Carl, de Duo y de Jevons. Bajo el suueso de homogenedad en el nvel elemenal del índce, en ese rabajo se demuesra que las res fórmulas son ncongruenes con una funcón de demanda caracerzada or resenar la segunda dervada osva. Parendo de la exsenca de esa funcón de demanda ara el consumdor, se defne una nueva fórmula ara calcular el índce elemenal de un Índce de Precos de Consumo que, además de las roedades generalmene exgbles a las fórmulas de números índces, cumle la roedad de la reversón emoral, roedad fundamenal ara el cálculo de un índce encadenado, y es conssene con la forma habual de una funcón de demanda. Ese nuevo índce se calcula como la meda armónca de los raos de recos, onderada de forma nversa or el nvel de recos en el nsane base.
424 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA Palabras clave: Números Índces, PC, Fórmula del Agregado Elemenal. Clasfcacón AMS: 9B82, 9B24, 62P2. NTRODUCCÓN El reco de una economía y, más concreamene, el conrol de sus cambos, se ha converdo en uno de los objevos roraros en el marco del análss macroeconómco. En esa línea y en el ámbo de la Comundad Euroea, esa medda juega un ael fundamenal en las delberacones del Banco Cenral Euroeo. El rmer aso ara alcanzar ese objevo consse en dsoner de una medda fable de la nflacón. Para ello se hace uso de la Teoría de los Números Índces con el fn de elaborar un Índce de Precos de Consumo (PC). La Organzacón nernaconal del Trabajo, (OT), defne el PC como "un ndcador socal y económco de coyunura, consrudo ara medr los cambos exermenados a lo largo del emo en relacón con el nvel general de recos de los benes y servcos de consumo que los hogares agan, adqueren o ulzan ara ser consumdos" [OT (23a), ágna ]. Dado que las famlas adqueren un conjuno amlo de benes y servcos y, ano los recos como las candades comradas camban de forma desgual, el PC debe ser una funcón que venga deermnada or las varacones ndvduales de los recos y las candades. El roblema es cómo concenrar odos esos cambos en una únca medda que sea lo más reresenava osble de odos ellos. Con el fn de mejorar esa reresenavdad, la elaboracón del PC ha sufrdo múlles y connuos cambos, ano en los ssemas y rocedmenos ara la obencón de los recos y candades, como en las exresones maemácas ulzadas ara su cálculo. La cuesón que se lanea en ese rabajo se refere úncamene a la rmera fase de elaboracón de un PC. En concreo, el rabajo se cenra en las fórmulas con las que se elaboran los índces elemenales, no enrando a abordar oras cuesones relevanes, ales como el dseño muesral, la seleccón de roducos, los cambos de caldad, los cambos de esablecmenos o la fórmula agregada. El enfoque que se realza are de ceros suuesos, que se comenarán más adelane, y se ajusa a las recomendacones de los organsmos encargados de velar or la valdez de los PC (OT (23a), (23b)). Denro de ese marco, a lo largo del rabajo se demuesra que las fórmulas más ulzadas ara el cálculo de los índces elemenales resenan ncomabldades con la Teoría del Consumdor, or lo que se roone una nueva fórmula ara su
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 425 cálculo, que, además de sasfacer los rncales axomas que debe cumlr un índce elemenal, es congruene con dcha eoría. En lo que sgue, el rabajo se esrucura en cuaro ares. En el eígrafe segundo se resenan las fórmulas más ulzadas ara el cálculo de los índces elemenales, ndcando las venajas e nconvenenes que la leraura sobre el ema ha denfcado en cada caso. En el uno ercero se analzan comaravamene las fórmulas que la Comundad Euroea erme a la hora de elaborar los índces elemenales necesaros ara obener el Índce de Precos de Consumo Armonzado (PCA), analzando, medane un ejemlo numérco, su congruenca con la Teoría del Consumdor. La fala de conssenca de las fórmulas analzadas con las hóess de rabajo nos lleva a lanear en el eígrafe cuaro una nueva exresón más acorde con el comorameno de los consumdores. En el eígrafe quno se reseñan las rncales conclusones obendas. 2. LA FÓRMULA DE CÁLCULO DEL ÍNDCE ELEMENTAL PARA ELABORAR UN PC El PC es un ndcador esadísco cuyo objevo es medr la nflacón. Para ello, en su cálculo se enen en cuena los recos y candades de los benes y servcos consumdos or una deermnada oblacón. Dado el volumen de oeracones de consumo que realzan las famlas no es osble calcular el verdadero cambo en recos y lo que se hace es obener una esmacón del msmo. Para ello, el gaso realzado se subdvde sucesvamene en gruos buscando cada vez un mayor nvel de homogenedad denro de cada subdvsón, hasa llegar a los agregados elemenales, que conforman la undad más equeña sobre la cual se va a calcular la nflacón. Desde el uno de vsa de la nformacón dsonble, el agregado elemenal se caracerza y defne como el nvel de agregacón ara el que se dsone de recos y onderacones, ero or debajo de cuyo nvel sólo es osble rabajar con recos. En ese objevo, uno de los rmeros asos consse en deermnar qué recos son los que van a medr la nflacón en cada uno de los agregados elemenales. Las dos formas más habuales ara reresenarlos son, ben selecconando un arículo reresenavo del msmo dseño roduco, ben realzando una muesra aleaora enre los roducos que conene dcho agregado dseño muesral. S se oma la rmera ocón, el rmer aso consse en obener un conjuno de recos de un msmo roduco omados en dsnos esablecmenos. S se oma la segunda ocón, ambén se necesa un conjuno de recos, ero ésos, además de obenerse en dsnos esablecmenos, ueden hacer referenca a dsnos roducos. En el caso esañol se defne el roduco como el elemeno ara el cual se van a recoger recos a lo largo del emo. Por ano, los roducos
426 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA del agregado elemenal sólo se dferencan en ceras caraceríscas (marca, amaño, ec...). Las roedades que resenan los daos basados en un dseño roduco y los de un dseño muesral son claramene dsnos, sobre odo en érmnos de susubldad, homogenedad y varabldad de los daos con los que se elaborará el índce del agregado elemenal. Sn embargo, los dos rmeros érmnos son fundamenales a la hora de defnr conceualmene el agregado elemenal y, el ercero, la dsersón, es el elemeno clave que dferenca los resulados que se obenen a nvel numérco al ulzar una u ora fórmula ara snezar el cambo en el reco del agregado elemenal. La OT (23a) defne el agregado elemenal como el conjuno de gasos corresondenes a un conjuno equeño y relavamene homogéneo de roducos. Para la OT (23b), el agregado elemenal es el conjuno menor y relavamene homogéneo de benes o servcos de usos semejanes (susubldad) denro del cual no se dsone de esos. Realmene, el cumlmeno de la roedad de susubldad exge que el agregado elemenal sea muy homogéneo y normalmene se defne a un nvel de desagregacón sueror a la subclase de la clasfcacón COCOP (Classfcaon Of ndvdual COnsumon by Puruse). Por ejemlo, en el PC esañol una subclase de la COCOP como la 9 formada or "equos de magen y sondo", se subdvde en varos agregados elemenales (vdeo, DVD, cadenas muscales, ec.). Slver y Herav (23) aoran evdenca a favor de la exsenca de una gran dsersón en los recos denro de los agregados elemenales, debdo a la gran varedad de roducos, marcas, caraceríscas y caldades. En el caso de rabajar con agregados elemenales heerogéneos, Moulon (993) ndca que una caracerísca razonable que debe cumlr el índce elemenal es que debera medr la nflacón correcamene cuando el conjuno de roducos del agregado fueran cas homogéneos, enendendo or cas homogéneo cuando los roducos de odos los recos uvesen una endenca común. Esa hóess es más necesara s se ene en cuena el rabajo de Tells (988), en el cual se argumena, desde el uno de vsa eórco, y se encuenra evdenca, desde el uno de vsa emírco, a favor de que la elascdad reco de la demanda ara marcas y os de esablecmenos son mucho mayores que ara conjunos de benes o servcos más agregados, ncluso con valores claramene suerores a la undad. Sn embargo, la heerogenedad uede rovocar ales dsorsones en el cálculo del índce del agregado elemenal que, como señala OT (24), lo deal sería que ara cada agregado elemenal se hcera una esmacón del grado oencal de varabldad y de susucón de los unos de vena y, en consecuenca, enendo en cuena dchos facores, se decda enonces como se calcularía el índce del agregado.
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 427 Además de odo lo dcho, exse una roedad que es fundamenal en cualquer PC, la reresenavdad. El PC fnal debe ser reresenavo de los hábos de consumo de la oblacón. S se realza un muesreo aleaoro denro del esrao uede suceder que los roducos selecconados no sean reresenavos de la oblacón en esudo. Por ejemlo, aramos del agregado elemenal del PC esañol defndo como elevsores. La cuesón es, ene sendo selecconar como arículo la elevsón marca X de 42 ulgadas con analla lana TFT y con decodfcador dgal? Es evdene que los cambos en el reco de ese roduco debera ener una nfluenca mínma en el PC esañol ueso que ese roduco es muy oco reresenavo de los hábos de consumo de los roducos que ncluye el agregado elemenal. El dseño roduco resuelve el roblema de la reresenavdad, de la susubldad y de la heerogenedad. El méodo consse en buscar los roducos más reresenavos de los hábos de consumo. Eso reduce el número de roducos que se muesrean, con lo cual se gana en homogenedad. Además, s se denfca el índce del agregado elemenal con el índce roduco, el nvel de susubldad será muy elevado. Ese es el crero que ulza el nsuo Naconal de Esadísca ara calcular el PC esañol. En concreo se selecconan 484 arículos ara los cuales se elabora su descrcón o esecfcacón comlea con el fn de faclar su denfcacón. La elaboracón de esas esecfcacones erme la comaracón a lo largo del emo de arículos guales o de caldad equvalene, con el fn de medr cambos uros en los recos no conamnados or cambos en la caldad. Enre las esecfcacones se encuenran la undad de medda, la clase de envasado, la alla, la comoscón, la forma, la dmensón, la marca y el modelo. El agregado elemenal es el arículo rovnca. El hecho de que el ámbo erroral sea an amlo como la rovnca afeca a la susubldad reducéndola ero, sn embargo, es comable con el conceo de cas homogenedad de Moulon defndo anerormene. Para el caso esañol, el NE no esablece una esecfcacón o descomoscón mínma ara cada agregado elemenal, sno que exsen anas esecfcacones como benes o servcos comonenes de cada agregado elemenal. El méodo que ulza el NE es el que garanza mayor reresenavdad de los hábos de consumo de la oblacón, mayor nvel de susubldad enre los recos observados y comlea homogenedad de los roducos que comonen los daos a nvel del agregado elemenal. Además, es de eserar que la dsersón de los daos en el agregado elemenal sea más equeña. Es evdene que en ese caso se esá hacendo el suueso de que odos los arículos que comonen el agregado elemenal evoluconan en érmnos de recos de forma smlar a como lo hace el arículo que los reresena (se vuelve nuevamene al conceo de Moulon (993) de cas homogenedad). Ahora ben, el ncumlmeno de ese suueso es muy oco relevane s el arículo selecconado es realmene reresenavo del hábo de
428 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA consumo de la oblacón. Es decr, s un agregado elemenal fuesen los elevsores y el 9% de la oblacón comrase un modelo deermnado de elevsor de una deermnada marca, el nvel de reresenavdad de ese roduco sería an elevado que los cambos en recos del agregado elemenal endrían que ser fjados fundamenalmene or el cambo en el reco de ese roduco, enendo muy oco eso el cambo en los recos del reso de roducos que comonen el agregado elemenal, uvesen esos una endenca común o no con el cambo en recos del roduco reresenavo. En el caso de esraos homogéneos, el cumlmeno de la Teoría del Consumdor mlcaría que los recos más alos enen una menor demanda que los recos más bajos y, además, el comorameno de los consumdores es dsno s los recos que camban son los más alos o los más bajos denro del conjuno de recos que resena el ben (servco) o los benes (servcos) que se ulzan ara obener el cambo en recos del esrao. Eso mlca que la forma de medr los cambos debe ermr obener un resulado dsno en funcón de la oscón que manenga denro de la dsrbucón de recos el arículo que camba su reco. El rmer roblema, a la hora de defnr una fórmula deal ara el índce elemenal, es que, a ese nvel, solo se dsone de los recos, con lo cual no es osble calcular la moranca de cada uno de ellos denro del oal del agregado. Eso oblga a rabajar con fórmulas no onderadas (El NE mga en gran medda ese roblema medane un lan de muesreo con auoonderacón). Sguendo a OT (23b), las más ulzadas son la de Duo ( D ), Carl ( C ), Jevons ( J ), Jevons- Coggeshall ( JC ) y Fsher ( F ). Para el cálculo de la nflacón denro del agregado elemenal en el nsane con reseco al nsane, se ulzan las exresones [] a [5], sendo el reco -ésmo erenecene al agregado elemenal en el nsane {,} y el número de recos observados en dcho agregado. D [] C [2]
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 429 J [3] JC [4] * [5] F C JC Como se uede deducr de esas exresones, la fórmula de Duo es el cocene enre las medas armécas de los recos en el nsane y resecvamene, menras que en el reso de los casos los romedos se calculan con reseco a índces y no a recos. De esa manera, la exresón de Carl no es más que la meda arméca de los índces de recos smles, la de Jevons concde con la meda geomérca de los msmos, la de Jevons-Coggeshall con la armónca y la de Fsher con la meda geomérca de la de Carl y la de Jevons-Coggeshall. Desde el uno de vsa axomáco, la fórmula que cumle más roedades deseables es la de Jevons, seguda or la de Duo, la de Fsher, la de Carl y la de Jevons-Coggeshall. Esas dos úlmas ncumlen, enre oras, la roedad de reversón emoral. Esa roedad se uede enuncar dcendo que, s los recos en los nsanes de emo y son guales, ara cualquer nsane emoral ' comrenddo enre ellos, se debe cumlr que el índce enre ' y mullcado or el índce enre y ' debe ser gual a la undad. La roedad de reversón emoral es esecalmene morane s el PC se va a calcular de forma encadenada. La fórmula de Duo ncumle úncamene la roedad de roorconaldad. Para que una fórmula cumla esa roedad el valor obendo ara un conjuno de recos en dos nsanes de emo debera ser el msmo que el que se obene cuando cada uno de esos recos se mullca or una consane osva y dsna ara cada reco ero gual ara ambos eríodos de emo. Esa roedad ene una moranca que deende drecamene de la forma en cómo se selecconan los arículos que reresenan al agregado elemenal. S el agregado elemenal se reresena or un únco arículo, exse una únca undad de medda y, or ano, una homogenedad oal. En ese caso, enen sendo las medas de los recos en cada nsane de emo y la fórmula de Duo es an válda como la de Jevons. Por el conraro, s los recos con los que se calcula el índce elemenal se corresonden con roducos dsnos, ncluso con undades de medda dsnas, la fórmula de Duo emeza a no ser válda. En consecuenca, la valdez o no de la fórmula de Duo deende drecamene del grado de homogenedad de los roducos que
43 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA conene el agregado elemenal, o lo que es lo msmo, de s las medas armécas de recos enen o no sendo. Crcunscrbéndose a las fórmulas más ulzadas, en concreo, la de Duo, ljevons y Carl, las dferencas numércas enre ellas se deben a las dsnas onderacones que cada una de ellas ulza a la hora de resumr los daos. En el índce de Carl, odos los índces smles enen la msma onderacón, cuyo valor es /, sendo el número de índces que se romedan. Por ano, la exsenca de valores exremos en los raos de recos rovoca un deslazameno sensble en el C haca dchos valores exremos. Para analzar la onderacón en la fórmula de Duo, arendo de la exresón [], sguendo los asos que se muesran en [6], se concluye que cada rao de recos esá onderado or la moranca del reco en el eríodo de referenca con reseco a la suma de odos los recos ara dcho eríodo. D x x [6] Por ano, en esa formulacón, cuano más alo sea el reco en el eríodo de referenca del índce, su rao de recos ene un efeco mayor en el índce fnal. En la fórmula de Jevons, odos los raos enen la msma onderacón, ero esa no es adva sno oencal y mullcava, lo cual dfcula la comaracón con las oras dos fórmulas. J [7] Lo que esa claro es que ara que los res resulados concdan es necesaro que odos los raos de recos concdan. Eso ndca que, de alguna manera, la dsersón en los raos de recos, y en defnva, la dsersón de los roos recos, exlcan las dferencas en los resulados de las res fórmulas. Carruhers, Sellwood y Ward (98) demuesran que aroxmadamene se cumle [8]. 2 2 J D * + σ u σ r e e [8] 2 2
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 43 2 σ y e 2 σ son las varanzas de las varables e e resecvamene, defndas en [9], sendo nsane {,}. e y el reco medo arméco en el esrao elemenal en el e [9] De forma smlar a [8], Dalen (992) y Dewer (995) obenen la exresón [] que relacona el índce de Jevons con el de Carl, 2 J C x x σ s [ 2 sendo σ la varanza de la varable s defnda como []. 2 s S [] A arr de la exresón [8] se concluye que los índces de Jevons y Duo enden a ser guales cuando las dsersones de los recos medos concden ara los dos eríodos de emo que se comaran. Sobre la base de la exresón [] es obvo que los índces de Jevons y Carl ambén se gualan cuando la dsersón de los raos de recos es gual a cero, es decr, cuando odos los recos resenan un msmo cambo relavo. En caso conraro, el índce de Jevons semre es nferor al obendo con Carl. Sn embargo, el índce de Duo se uede suar, según el caso, or encma o or debajo del de Jevons, reresenando el rmero unas referencas del consumdor con candades roorconales, o Leonef, y el segundo con gasos roorconales, o Cobb-Douglas. 3. LAS FÓRMULAS ELEMENTALES EN EL ÍNDCE DE PRECOS DE CONSUMO ARMONZADO La Comundad Euroea erme a los aíses membros, ara elaborar sus Índces de Precos al Consumo Armonzados, elegr enre la fórmula de Duo y la de Jevons, ara calcular los índces de los agregados elemenales. ncluso, bajo
432 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA ceras crcunsancas, auorza el uso de la fórmula de Carl [Commsson of he Euroean Communes (2), ag. 52)]. Como una rmera aroxmacón a las dferencas que se ueden obener al hacer uso de una u ora fórmula, suóngase que ara un deermnado agregado elemenal se recogen res recos, corresondenes cada uno de ellos a un esablecmeno dsno, sendo los res roducos erfecamene susubles, or ano homogéneos en su fnaldad y reresenavos del agregado elemenal. En el nsane base, esos recos son 4, 5 y 6 euros. En el gráfco se reresenan los valores de los índces elemenales de Duo, Carl y Jevons ara dcho agregado en 6 suacones dsnas. Tres se corresonden con un ncremeno del 2%. En un caso, en el reco más bajo, en oro en el más alo y el ercero en el reco nermedo. Las oras res suacones se referen a una reduccón, ambén del 2%, en cada uno de esos recos. Como es lógco, las suacones de ncremeno de recos se reflejan en la are ala del gráfco y las de reduccón en la are baja. El aseco que más desaca en ese gráfco en la gran varabldad del índce de Duo. Es necesaro desacar que s el reco que sube un 2% es el más alo, la nflacón medda con esa fórmula es un 5% más ala que s el reco que sube es el más bajo. En el caso de que lo que se roduzca es una reduccón de recos, el comorameno es smérco con reseco al valor. Ese resulado se jusfca erfecamene en base a las onderacones mlícas que usa la fórmula de Duo.
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 433 Gráfco EFECTO DE UN NCREMENTO/REDUCCÓN DEL 2 % EN UN ÚNCO PRE- CO,,8,8,6,667,667,533,627 Valores de los índces,4,2,,98,96,94,92,9333,9467,9333,92,9283,9 Carl Duo Jevons ncremeno en el reco más bajo ncremeno en el reco cenral Reduccón en el reco más alo ncremeno en el reco más alo Reduccón en el reco más bajo Reduccón en el reco cenral El segundo elemeno que desaca en el gráfco es la asmería de la fórmula de Jevons ane un ncremeno o dsmnucón de los recos. Es decr, una subda del 2% ara uno de los recos en el nsane, suone una nflacón del 6,3%, menras que s es una bajada, ésa se cfra en un 7,2%. La dferenca de nflacón en érmnos relavos alcanza cas el 4,3%. Por úlmo, el ercer elemeno a desacar en el gráfco es la dsanca que hay enre el índce de Carl y el de Jevons. Para los daos del ejemlo con el que se esá rabajando, s los recos suben un 2%, la nflacón medda con el índce de Carl es un 6,3% más ala que la calculada con la fórmula de Jevons. S los recos bajan un 2%, el índce de Carl cfra la nflacón en 6,7%, menas que con la fórmula de Jevons la nflacón medda es del 7,2%. Es decr, la dferenca en la medcón de la nflacón es del 7,5%.
434 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA La razón de esas dferencas se encuenra en las fórmulas [8] y [], exresones que ueden reescrbrse como [2] y [3] resecvamene. J D * + 2 σ 2 2 2 σ 2 2 [2] J C x x 2 2 σ r 2 () r [3] 2 Denoando or σ y agregado elemenal en el nsane, y or y r a la varanza y la meda arméca del rao de recos. a la varanza y la meda arméca de los recos en el σ 2 r Como se uede deducr de [2], las dferencas enre los valores obendos con las fórmulas de Jevons y Duo se deben a los cambos en el cuadrado de la dsersón relava de los recos enre los dos nsanes de emo que se comaran. S esa dsersón crece del nsane cero con reseco al nsane uno, el índce elemenal de Jevons será nferor al de Duo, en caso conraro será sueror. OT (23b) afrma que en condcones normales la varabldad no camba, con lo cual ambos índces enden a arrojar la msma cfra. A esar de ello, señalan dos suacones en las cuales se ueden roducr dferencas sgnfcavas enre ambos índces: cuando se roducen cambos fueres en la nflacón global y cuando se dsone de ocos recos denro del esrao elemenal. Esas dos suacones se jusfcan or los cambos que se ueden roducr en los daos muesrales. Volvendo a las exresones [2] y [3], se deduce drecamene que el índce de Duo no es nvarane ane deslazamenos advos de los recos y sí lo es s el deslazameno es mullcavo, lo cual sería equvalene a un deslazameno advo de los índces, lo que a su vez mlca que las dferencas absoluas enre el índce de Carl y Duo ermanecen consanes. Por el conraro, s el deslazameno en los índces es mullcavo, lo que ermanece consane es la dferenca enre Carl y Jevons. El análss de los resulados realzado hasa ahora ene nauraleza esadísca, en el sendo de que las dferencas enre las res fórmulas se raducen en cambos en la dsersón relava de los recos o de sus cambos. La cuesón que se lanea ahora es s los cambos en la dsersón ueden venr movados or dsnos
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 435 comoramenos del consumdor frene a la forma de los cambos de cada uno de los índces que se romedan y s la fórmula con la que se calcula el índce del agregado elemenal es caaz de modfcar su resulado, ano en la cfra como en la dreccón, con el objeo de reflejar dchos comoramenos del consumdor. En ese sendo, y bajo ceros suuesos, demosraremos que los cambos en la varabldad no son ndeendenes del comorameno del consumdor y los res índces analzados resenan unos resulados ane cambos en los recos que ueden no ajusarse oalmene al comorameno eórco eserado or are del consumdor. Para ver algunas de esas ncongruencas volvemos al ejemlo de los res recos que se ha esudado anerormene. Eso es, 4, 5 y 6 undades monearas en los esablecmenos, 2 y 3 resecvamene. Comencemos or el índce de Jevons. Suongamos que el reco más alo se reduce un %. En esa suacón los nuevos recos son 4, 5 y 54 undades monearas en los esablecmenos,2 y 3 resecvamene, lo cual conlleva una reduccón en la dsersón relava de los recos desde el nsane ncal al fnal. Comarando los recos en ambos nsanes, desde el uno de vsa de la Teoría del Consumdor, no es revsble un cambo de demanda en los esablecmenos. Es decr, los consumdores que comraban en el nsane en los esablecmenos y 2, lo segurán hacendo en, ya que sus recos no han cambado y, además, el reco en el ercer esablecmeno aún es sueror al de cualquer oro. Por ora are, los que ya consumían en el esablecmeno más caro lo segurán hacendo, aunque a un reco nferor. En esa suacón, J,9655. Suongamos ahora que es el reco más bajo el que se reduce un %. El valor del índce de Jevons no se modfca con reseco al caso aneror, sn embargo, la dsersón de los recos se ha ncremenado. En érmnos de demanda esa segunda suacón es comleamene dsna a la rmera. Los nuevos recos son 36, 5 y 6 undades monearas en los esablecmenos, 2 y 3 resecvamene. Ahora, odos los consumdores que comraban en el esablecmeno lo segurán hacendo, ueso que en el nsane el reco es más barao que en. Dado que armos de recos de benes homogéneos es de eserar que los recos más alos resenen menor demanda, en cuyo caso la reduccón en el reco del roduco más barao afeca a muchos más consumdores que en el caso aneror. Además, exse la osbldad de que consumdores que consumían anes en los esablecmenos 2 y 3 se asen a consumr en el esablecmeno, semre y cuando el cambo en los recos comense oras caraceríscas del roduco (cercanía, fdeldad, ec...) y el consumdor esé nformado de odos los recos. Eso sgnfca que la reduccón de recos debera ser más fuere ara el caso en el que se reduce el reco más barao que ara el caso en el cual la reduccón se roduce en la observacón del reco más caro. Dado que el índce de Jevons es el msmo en los dos casos, claramene esa fórmula no es caaz de reflejar las dsnas suacones que se esera que
436 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA resene la demanda del consumdor. La msma críca es alcable a C, ueso que ara su cálculo solo se enen en cuena los índces y no los recos, lo que conlleva raar de forma equvalene el cambo en cualquera de los recos, no dscrmnando el hecho de que deendendo de que el reco que cambo es más o menos grande uede roducr dsnas reaccones en los consumdores. El D es ncluso más ncongruene, al onderar el rao de recos drecamene or el reco en el nsane base, lo que mlca que s el reco más alo es el que sube su onderacón es mucho más elevada. Por el conraro, s el reco más bajo se reduce, ese adquere menor eso relavo, cuando lo eserado es que ncremene su demanda y, or ano, su eso. Eso nos llevaría a afrmar que, s el comorameno del consumdor se ajusara a las hóess laneadas, el uso de la fórmula de Duo no debería recomendarse como alernava ara obener el índce del agregado elemenal. En cualquer caso, el razonameno realzado es comleamene eórco y no consdera oros facores que el consumdor analza anes de modfcar sus hábos de consumo, ales como los coses de deslazameno, comoddad, nformacón ncomlea, ec... Por úlmo, las dferencas numércas que arrojan las dsnas fórmulas deberan jusfcar la necesdad de segur rofundzando en el análss de sus roedades, sobre odo debdo a que la lberad que da Eurosa a los aíses ara selecconar una u ora exresón maemáca uede esar obsaculzando el objevo de armonzacón del roo Índce de Precos de Consumo Armonzado. 4. UNA FÓRMULA ALTERNATVA PARA EL CÁLCULO DEL PE En ese aarado se resena una fórmula ara el cálculo del PE que es válda desde el uno de vsa axomáco y que es congruene con las hóess que se han laneado ara el comorameno del consumdor. S se acea, además, que los esablecmenos con los recos más bajos deben resenar una mayor demanda, ello nos conduce a que la fórmula de cálculo del índce elemenal, bajo los suuesos dscudos en las ágnas anerores, debe esar onderada de forma nversa or los recos de arda. Una osbldad es la que se obene al defnr f como [4]. f [4] Y la onderacón como [5].
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 437 f f w [5] Esas onderacones son nversamene roorconales al amaño de los recos en el nsane emoral. La fórmula del índce elemenal debe nclur esas onderacones. Una osble fórmula es [6]. ( ) / A x w [6] Esa fórmula cumle la roedad de reversón emoral y, además, dscrmna or el hecho de que los recos que camban sean los más alos o los más bajos. El cumlmeno de esa roedad en el índce elemenal es consderada or Fsher (922) como fundamenal, hasa el uno de que descara el uso de la fórmula de Carl or no cumlrla, dcendo que el uso de la meda arméca de los índces roduce uno de los eores errores en la elaboracón de los números índces [Fsher (922), ágnas 29-3]. La demosracón analíca de que A cumle la roedad de reversón emoral es la sguene. Sean, ' y res nsanes emorales ales que < <.. Denoemos or { }{ } { } ' y, los recos en el agregado elemenal en cada uno de los nsanes de emo corresondenes a los esablecmenos {,2,..., }. Suongamos que se roduce una reversón emoral desde el nsane al, lo cual mlca que ara odo. La fórmula A cumle la roedad de reversón emoral s se verfca [7]. ( ) ( ) x ' / A '/ A [7] Susuyendo [6] en [7] y enendo en cuena que los recos en el nsane son guales a los recos en el nsane, la roedad de reversón emoral se cumle s se verfca [8]. x w x x w ' ' ' [8]
438 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA Susuyendo [4] en [5], se uede escrbr la onderacón en un nsane de emo genérco como [9]. w 9] x Por úlmo, reemlazando [9] en [8] y reordenando adecuadamene los érmnos se obene [2], que demuesra el cumlmeno de la roedad de reversón emoral de A. ' x ' ' x ' [2] Parendo de esa úlma exresón, es nmedao demosrar que A no es más que el cocene enre la suma de los nversos de los recos en el nsane y. A [2] Además, A cumle las 8 roedades que OT (23b) consdera como fundamenales ara cualquer fórmula de números índces. Esas son: connudad, dendad, monoonía en recos correnes, monoonía en el eríodo base, roorconaldad en recos correnes, roorconaldad nversa en recos del eríodo base, valor medo y raameno smérco de esablecmenos. La demosracón de esas 8 roedades es nmedaa. Connudad: A debe ser una funcón connua ara cualquer ar de conjunos de recos corresondenes a los nsanes emorales base () y acual () resecvamene. Dado que los recos son semre mayores que cero, el A exse semre y es una funcón connua ara cualquer ar de conjunos de recos y con {,2,..., }. dendad: un índce cumle la roedad de dendad cuando el valor del índce enre dos nsanes de emo ara los cuales el conjuno de valores de recos es el msmo es gual a. A cumle la roedad de dendad, ueso que de [2] es,2..., el valor de A es gual a. nmedao demosrar que s, { }
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 439 Comorameno monóono en los recos acuales: arendo de unos recos ncales ara el agregado elemenal,, y ane dos osbles suacones de,a crecmeno de los recos en el nsane acual, denoadas or,b y, al que los recos en la suacón a son mayores que en la suacón b, la roedad de monoonía sobre el nsane acual mlca que se cumla que A(a/) > A(b/). La demosracón de esa roedad ara A es nmedaa s se ene en cuena que al ser > se cumle [22].,a,b,a < [22],b Tenendo en cuena [2] y dado que el numerador es el msmo ara el caso a y b, ncororando la nformacón de [22] queda demosrada la roedad de comorameno monóono ara el nsane acual. Comorameno monóono sobre el nsane base: la roedad de monoonía sobre el nsane base are de dos suacones en el nsane base, denoadas or y,a,b, al que los recos en la suacón a son mayores que en b. Bajo esas crcunsancas y suonendo crecmeno enre ambas suacones con reseco al nsane acual, el cumlmeno de esa roedad exge que el A(/a) < A(/b). Para demosrar esa roedad nuevamene se are de [2]. El denomnador de dcha exresón es el msmo ara el caso a y b, menras que el nume-,a rador es más equeño ara el caso a que ara el b dado que s > mlca que <, or lo que se cumle que A(/a) < A(/b).,a,b,b Proorconaldad dreca sobre el eríodo acual: s se mullcan los recos en el eríodo acual or una consane osva, el índce se ve mullcado or dcha consane. Maemácamene esa roedad se uede escrbr como [23], en donde j j 2 j,,..., con j{,}. { } j (, λ ) λ (, ) con λ A A > [23] La demosracón vuelve a ser nmedaa a arr de [2] y se desarrolla en [24]. A ( ), λ λ λa (, λ ) λ λ λ 24]
44 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA Proorconaldad nversa sobre el eríodo base: s los recos en el nsane base se mullcan or una consane osva, el índce se mullca or la nversa de dcha consane. Es decr, A ( λ, ) A (, ) con λ >. Tenendo en λ cuena la demosracón de la roedad aneror, esa roedad es nmedaa de demosrar. Valor medo: el índce del esrao elemenal se encuenra enre el valor más equeño y más grande de los raos de recos ara cada. El cumlmeno de odas las roedades anerores mlca el cumlmeno de la roedad del valor medo [Echhorn (978), ágna 55]. * Smería enre esablecmenos: s y y son dos vecores de recos y * son ermuacones resecvas de los dos rmeros, el índce ara y * es gual al índce ara y *. Parendo de [2] es nmedao comrobar el cumlmeno de esa roedad or are de A. Además de esas roedades, las cuales no resenan nnguna duda sobre su necesdad, OT (23b) roone oras 4 ara los índces elemenales ara las cuales ndca que no semre exsrá consenso ara su exgbldad resenando, or ano, cera conroversa sobre s se debe exgr su cumlmeno o no. Dos de esas nuevas roedades ya han sdo demosradas ara A al demosrar el cumlmeno de la roedad que hasa ahora hemos defndo como reversón emoral y que OT (23b) dvde en dos que denomna reversón en el emo, "Tme rever- sal", que mlca, (, ) A y la roedad de crculardad, "Crculary", A (, ) 2 2 que se enunca como (, )* (, ) (, ) A A. La décmo rmera roedad es una generalzacón del raameno smérco de los esablecmenos, se cumle cuando el índce del agregado elemenal no camba ara cualquer ermuacón de los recos de y, aunque el orden fnal de los esablecmenos en el rmer conjuno de recos sea dsno al orden de dchos esablecmenos en el segundo conjuno de recos. Nuevamene, arendo de [2] es nmedao demosrar que A cumle esa roedad. La úlma roedad que enunca OT(23b) es la de roorconaldad, "commensurably". Para que A cumla esa roedad debera cumlr [25] ara cual- λ con odos los valores osvos. quer conjuno { } { },2,... A 2 ( 2 λ, λ,..., λ, λ, λ,..., λ ) A 2 2
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 44 A 2 2 (,,...,,,,..., ) [25] A solo cumle esa roedad cuado λ es gual a una consane ara odo. La roedad de roorconaldad esá drecamene relaconada con la homogenedad de los roducos que se romedan. S esos son homogéneos el ncumlmeno or are de una fórmula de esa roedad no resena nngún roblema, ero según se ncremene el grado de heerogenedad la roedad se hace más necesara. Resumendo los vso hasa ahora y ulzando los resulados de OT (23b), desde el uno de vsa axomáco la fórmula de Jevons cumle odas las roedades, la de Duo y Carl ncumlen la de roorconaldad, y esa úlma amoco cumle la roedad de generalzacón del raameno smérco de los esablecmenos, la de reversón emoral y la de crculardad. Además, las res fórmulas, Jevons, Duo y Carl, son ncongruenes con el comorameno del consumdor al y como se defne en ese rabajo. Por úlmo, A ncumle úncamene la roedad de roorconaldad y es congruene con las hóess fjadas sobre la base de la Teoría del Consumdor. Para analzar la congruenca de A con el comorameno del consumdor se vuelven a ulzar los daos de recos de los res esablecmenos y se rehace el gráfco, ncororando el nuevo índce. El resulado se muesra en el gráfco 2. Como se uede observar, y era de eserar, el comorameno de A es oueso al de Duo, ueso que en la nueva fórmula cada cambo ondera de forma nversa a la moranca del reco en el nsane, menras que en D la onderacón es dreca. Eso sgnfca que s, or ejemlo, los recos suben, su reercusón sobre el valor del índce del agregado elemenal será mayor cuando el que sube es el reco más bajo. En ese caso, odos los consumdores que comraban a ese reco, que, or ora are, dado que era el reco más bajo se suone que resenaba una mayor demanda, se ven oblgados a agar un reco más alo. Es decr, cuando el que sube es el reco más bajo eso afeca más a los consumdores y, or ano, el cambo debe rasladarse con más fuerza sobre el índce del agregado elemenal. Por el conraro, cuando el reco que sube es el más alo, habrá consumdores que no esán dsuesos a agar ese ncremeno y se asarán a comrar en un esablecmeno con reco más bajo. Eso mlca que solo los que ya agaban un reco alo se ven afecados or el ncremeno. Además de que el esablecmeno más caro debe resenar una menor demanda, ara algunos consumdores el reco se reduce, ya que camban de esablecmeno asando a comrar en uno con reco nferor. En defnva, s el reco que se ncremena es el más alo, su efeco sobre el índce del agregado elemenal debe de ser nferor al caso de que lo que se ncremene sea el reco más barao. Ese efeco, como ya se ha dcho, no lo ene en
442 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA cuena n la fórmula de Jevons n la de Duo, menras que A sí lo recoge, como a connuacón se demuesra. Con los daos del ejemlo, la nflacón en el agregado elemenal, ane un ncremeno del 2%, asa del 4,7% al 7,2% deendendo de s el reco que sube es el más alo o el más bajo resecvamene. Ane un roceso de reduccón de recos el índce A vuelve a manfesarse en congruenca con la eoría del consumdor. Tal y como se observa en la are nferor del gráfco 2, s lo que se reduce es el reco más alo, eso afecará a menos consumdores que son los que agaban ese reco. En rnco, los consumdores de los esablecmenos y 2 segurán comrando en sus esablecmenos habuales (a no ser que la reduccón de recos en el esablecmeno 3 sea an fuere que deje de ser el más caro). Ahora ben, s la reduccón se roduce en el esablecmeno con el reco más bajo, odos los consumdores de ese esablecmeno se benefcaran de esa reduccón y, además, a los consumdores en oros esablecmenos más caros ahora les uede resular renable asar a consumr en un uno de vena más barao. Gráfco 2 EFECTO DE UN NCREMENTO/REDUCCÓN DEL 2% EN UN ÚNCO PRECO Valores de los índces,,8,6,4,2,,98,96,94,92,9,667,9333,8,667,627,533,9467,9333,92,72,57,47,937,9283,925,98 Carl Duo Jevons A ncremeno en el reco más bajo ncremeno en el reco cenral Reduccón en el reco más alo ncremeno en el reco más alo Reduccón en el reco más bajo Reduccón en el reco cenral
NCONSSTENCA ECONÓMCA DE LAS FÓRMULAS DE CARL, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDCE 443 Sguendo ese crero, el índce del agregado elemenal debe recoger una caída más fuere en los recos cuando el reco que baja es el más bajo. En los daos del ejemlo, el A es gual a,98, cuando lo que se roduce es una reduccón en el reco más bajo, frene al valor,937, cuando lo que se reduce es el reco más alo. En érmnos de nflacón y ara los daos del ejemlo, la dferenca en la reduccón de recos en el agregado elemenal es un 47,6% más fuere cuando la reduccón se roduce en el reco más bajo con reseco a la msma reduccón en el reco más alo. Por ano, desde el uno de vsa axomáco la decsón sobre la fórmula más dónea esá enre J e A. S la reresenacón del agregado elemenal se hace de forma homogénea, como or ejemlo hace el NE al ulzar el agregado-roduco, la fórmula dónea es A ya que cumle con odas las roedades. Sn embargo, la fórmula de Jevons jamás odrá ener en cuena la resuesa de los consumdores al dsno comorameno que resenan debdo a que los cambos en recos se roduzcan or la are sueror, medo o nferor de su dsrbucón. Además, s se exge el cumlmeno de la roedad de roorconaldad, sería necesaro esudar las reduccones que se ueden roducr en la reresenabldad, en concreo, debdo al dsno eso (desconocdo) de cada uno de los roducos que se ulzan. 5. CONCLUSONES En el rabajo se demuesra la nconssenca que resenan las fórmulas habualmene ulzadas ara el cálculo de los índces en los agregados elemenales de un PC bajo ceros suuesos acerca del comorameno del consumdor. En concreo, se analzan axomácamene las fórmulas de Duo, Carl y Jevons or ser las que la Comundad Euroea erme a la hora de elaborar el PCA, llegando a la conclusón de que nnguna de ellas reroduce al comorameno eórco de los consumdores ane un cambo en los recos y enre ellas arrojan resulados numércos dsnos que dfculan el objevo de armonzacón que se ersgue con el Índce de Precos al Consumo Armonzado. A arr de esos resulados y bajo las hóess: a) los recos meddos en el agregado elemenal se corresonden con roducos homogéneos; b) los recos más bajos acaaran más demanda; c) los cambos de demanda se roducen con sgno osvo ane reduccón en los recos y de forma negava ane un ncremeno, se defne una nueva fórmula ara el índce del agregado elemenal como la meda armónca de los raos de recos onderada de forma nversa or el amaño del reco en el nsane de referenca. Esa nueva fórmula se ajusa al comorameno de las hóess laneadas sobre la Teoría del Consumdor y, además, cumle odas las roedades generalmene aceadas ara los índces elemena-
444 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA les, ncluyendo la de reversón emoral, roedad ésa de moranca caal cuando la esrucura del índce es de o encadenado, como es el caso del PCA esañol. REFERENCAS ADVSORY COMMSSON TO THE STUDY THE CONSUMER PRCE NDEX (996): «Toward a More Accurae Measure of The Cos of Lvng», Fnal Reor To The Senae Fnance Commee, Washngon, December 4. BAL, B. M. (99): «On he Frs Se n he Calculaon of a Consumer Prce ndex», unublshed aer resened a he Jon ECE/LO Meeng on Consumer Prce ndces, Geneva, November 8-2. BAL, B. M. (995): «Axomac Prce ndex Theory: A Survey», nernaonal Sascal Revew 63,. 69-93. BAL, B.M. (998): «ndusral Prce, Quany and Producvy ndces», luwer Academc Publshers, Boson. BOON, M. OPPERDOES, E. y SCHUT, C. (997): «Effecs of Oule Samlng on Consumer Prce ndces: A Case Sudy Usng Scanner Daa», Sascs Neherlands, BPA nº 97-RSM, November. CARRUTHERS, A. G., SELLWOOD, D. J. y WARD, P. W. (98): «Recen Develomens n he Real Prces ndex», The Sascan, 29,. -32. COMMSSON OF THE EUROPEAN COMMUNTES (2): «On he Harmonzaon of Consumer Prce ndces n he Euroean Unon», Reor from he Commsson o he Councl. Com (2) 742 fnal, Brussels: Euroean Commsson. DALEN, J. (992): «Comung Elemenary Aggregaes n he Swedsh Consumer Prce ndex», Journal Of Offcal Sascs, volumen 8, n. 2. DALTON,., GREENLEES, J. y STEWART,. (998): «ncororang a Geomerc Mean Formula no he CP», Monhly Labor Revew, Ocober DEWERT, W. (995): «Axomac and Economc Aroaches o Elemenary Prce ndexes», Dscusson Paer Nº 95-, Dearmen of Economcs, Unversy of Brsh Columba, Vancouver, Canada. DEWERT, W. (996): «Commen on CP Bases», Dearamen of Economcs, The Unversy of Brsh Columba, Dscusson aer nº 96-7.
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446 ESTADÍSTCA ESPAÑOLA ECONOMC NCONSSTENCY OF THE FORMULAE OF CARL, DUTOT AND JEVONS TO CALCULATE THE ELEMENTARY NDEX OF THE CP WTH HOMOGENEOUS TEMS ABSTRACT The formulas more used o calculae he elemenary ndex number of he CP are he formulas of Carl, of Duo and of Jevons. Under he suoson of homogeney n he elemenary level of he ndex, n hs wor s demonsraed ha he hree formulas are ncongruous wh a demand funcon characerzed o resen he second derved osve. For hs case, n he wor we wll defne a new formula o calculae he elemenary ndex of a CP ha s conssen wh he habual form of a demand funcon. Ths formula s defned as he harmonc average of he em rce relaves, ondered n an nverse way for he level of rces n he nsan base. eywords: ndex Numbers, CP, Elemenary ndex Number Formula. AMS classfcaons: 9B82, 9B24, 62P2