Congreso de la Asociación Española de Ciencia Regional (XXX Reunión de Estudios Regionales)

Transcripción

1 Congreso de la Asocacón Esañola de Cenca Regonal (XXX Reunón de Estudos Regonales) Título: Inconsstenca Económca de las Fórmulas de Carl, Dutot y Jevons ara Calcular el Índce Elemental del IPC con Estratos Báscos Homogéneos Autores: Rodríguez Fejoó, Santago (srfejoo@dmc.ulgc.es) González Correa, Carlos (cgoncor@canarastelecom.com) Rodríguez Caro, Alejandro (arcaro@dmc.ulgc.es) Deartamento de Métodos Cuanttatvos en E. y G. Unversdad de Las Palmas de Gran Canara Las Palmas de Gran Canara RESUMEN Las fórmulas más utlzadas a la hora de elaborar el índce elemental del Índce de Precos de Consumo son las fórmulas de Carl, de Dutot y de Jevons. Bajo el suuesto de homogenedad en el nvel elemental del índce, en este trabajo se demuestra que las tres fórmulas son ncongruentes con una funcón de demanda caracterzada or resentar la segunda dervada ostva. Partendo de la exstenca de esta funcón de demanda ara el consumdor, se defne una nueva fórmula ara calcular el índce elemental de un Índce de Precos de Consumo que, además de las roedades generalmente exgbles a las fórmulas de números índces, cumle la roedad de la reversón temoral, roedad fundamental ara el cálculo de un índce encadenado, y es consstente con la forma habtual de una funcón de demanda. Este nuevo índce se calcula como la meda armónca de los ratos de recos onderada de forma nversa or el nvel de recos en el nstante base. Palabras clave: Números Índces, IPC, Fórmula del Agregado Elemental.

2 . Introduccón El reco de una economía y, más concretamente, el control de sus cambos, se ha convertdo en uno de los objetvos rortaros en el marco del análss macroeconómco. En esta línea y en el ámbto de la Unón Euroea, esta medda juega un ael fundamental en las delberacones del Banco Central Euroeo. El rmer aso ara alcanzar este objetvo consste en dsoner de una medda fable de la nflacón. Para ello se hace uso de la Teoría de los Números Índces con el fn de elaborar un Índce de Precos de Consumo (IPC). Este retende obtener, de forma agregada, la tasa a la que los recos de un conjunto de benes y servcos adqurdos or las famlas ha cambado entre dos nstantes de temo en un determnado terrtoro. Dado que las famlas adqueren un conjunto amlo de benes y servcos y, tanto los recos como las cantdades comradas camban de forma desgual, el IPC debe ser una funcón que venga determnada or las varacones ndvduales de los recos y las cantdades. El roblema es cómo concentrar todos estos cambos en una únca medda que sea lo más reresentatva osble de todos ellos. Con el fn de mejorar esta reresentatvdad, la elaboracón del IPC ha sufrdo múltles y contnuos cambos, tanto en la nformacón estadístca como en las exresones matemátcas utlzadas ara su cálculo. La cuestón que se lantea en este trabajo se refere úncamente a la rmera fase de elaboracón de un IPC. En concreto, el trabajo se centra en las fórmulas con las que se elaboran los índces elementales, no entrando a abordar otras cuestones relevantes, tales como el dseño muestral, la seleccón de roductos, los cambos de caldad, los cambos de establecmentos o la fórmula agregada. Además, el enfoque que se realza arte del suuesto de que exste un alto nvel de homogenedad de roductos dentro de cada uno de los estratos elementales. Este suuesto es restrctvo ero se hace necesaro s se desea dsoner de unos índces a nvel elemental reresentatvos y se ajusta a las recomendacones de los organsmos encargados de velar or la valdez de los IPC (ILO, Eurostat). Dentro de este marco, a lo largo del trabajo se demuestra que las fórmulas más utlzadas ara el cálculo de los índces elementales resentan ncomatbldades con la Teoría del Consumdor, or lo que se roone una nueva fórmula ara su cálculo, que, además de satsfacer los rncales axomas que debe cumlr un índce elemental, es congruente con dcha teoría. 2

3 En lo que sgue, el trabajo se estructura en tres artes. En el eígrafe segundo se resentan las fórmulas más utlzadas ara el cálculo de los índces elementales, ndcando las ventajas e nconvenentes que la lteratura sobre el tema ha dentfcado en cada caso. En el unto tercero se analzan comaratvamente las tres fórmulas que la Unón Euroea ermte a la hora de elaborar los índces elementales necesaros ara obtener el Índce de Precos de Consumo Armonzado (IPCA), analzando, medante un ejemlo numérco, su congruenca con la Teoría del Consumdor. La falta de consstenca de las tres nos lleva a lantear una nueva exresón más acorde con el comortamento de los consumdores. En el eígrafe 4 se reseñan las rncales conclusones obtendas. 2. La fórmula de cálculo del índce elemental ara elaborar un IPC El IPC es un ndcador estadístco cuyo objetvo es medr la nflacón. Para ello, en su cálculo se tenen en cuenta los recos y cantdades de los benes y servcos consumdos or una determnada oblacón. Estos roductos se subdvden en gruos de forma sucesva buscando cada vez un mayor nvel de homogenedad dentro de cada subdvsón, hasta llegar a los agregados elementales, que conforman la undad más equeña sobre la cual se va a calcular la nflacón. Desde el unto de vsta de la nformacón dsonble, el nvel elemental se caracterza y defne or aquél ara el cual solo se dsone de nformacón sobre recos, no dsonendo de datos sobre las cantdades consumdas. Dado el volumen de oeracones de consumo que realzan las famlas es mosble calcular el verdadero cambo en recos y lo que se hace es obtener una estmacón del msmo a través del IPC. En este objetvo, uno de los rmeros asos consste en determnar qué recos son los que van a medr la nflacón en cada uno de los agregados elementales. Las dos formas más habtuales ara reresentarlos son, ben selecconando un artículo reresentatvo del msmo -dseño roducto-, ben realzando una muestra aleatora entre los roductos que contene dcho agregado -dseño muestral-. S se toma la rmera ocón, el rmer aso consste en obtener un conjunto de recos de un msmo roducto tomados en dstntos establecmentos. S se toma la segunda ocón, tambén se necesta un conjunto de recos, ero éstos, además de obtenerse en dstntos establecmentos, ueden hacer referenca a dstntos roductos. 3

4 Las roedades que resentan los datos basados en un dseño roducto y los de un dseño muestral son claramente dstntos, sobre todo en térmnos de susttubldad, homogenedad y varabldad de los datos con los que se elaborará el índce del agregado elemental. Sn embargo, los dos rmeros térmnos son fundamentales a la hora de defnr concetualmente el agregado elemental y el tercero, la dsersón, es el elemento clave que dferenca los resultados que se obtenen a nvel numérco al utlzar una u otra fórmula ara sntetzar el cambo en el reco del agregado elemental. Así, ILO (23) defne el agregado elemental como el conjunto de gastos corresondentes a un conjunto equeño y relatvamente homogéneo de roductos. Para la OIT (23) el agregado elemental es el conjunto menor y relatvamente homogéneo de benes o servcos de usos semejantes (susttubldad) dentro del cual no se dsone de esos. Realmente, el cumlmento de la roedad de susttubldad exge que el agregado elemental sea muy homogéneo y debera defnrse a mayor nvel que la subclase del Índce de Precos de Consumo esañol. Por ejemlo, la subclase 9 del IPC esañol se corresonde con "Equos de magen y sondo" e ncluye desde televsones hasta aurculares, asando or vdeos, antenas de televsón, desertadores, DVD, cadenas muscales, etc... Como se uede observar, dfíclmente se uede acetar la susttubldad entre los roductos de la subclase. En este caso, tal y como demuestran Slver y Herav (23), exste una gran dsersón en los recos cuya causa se encuentra en la gran varedad de roductos, marcas, característcas y caldades. En el caso de trabajar con agregados elementales heterogéneos, Moulton (993) ndca que una característca razonable que debe cumlr el índce elemental es que debera medr la nflacón correctamente cuando el conjunto de roductos del agregado fueran cas homogéneos, entendendo or cas homogéneo cuando los roductos de todos los recos tuvesen una tendenca común. Esta hótess es más necesara s se tene en cuanta el trabajo de Tells (988) en el cual se argumenta, desde el unto de vsta teórco, y se encuentra evdenca, desde el unto de vsta emírco, a favor de que la elastcdad reco de la demanda ara marcas y tos de establecmentos son mucho mayores que ara conjuntos de benes o servcos más agregados, ncluso con valores claramente suerores a la undad. 4

5 Sn embargo, la heterogenedad uede rovocar tales dstorsones en el cálculo del índce del agregado elemental que ILO (24) dce que lo deal sería que ara cada agregado elemental se hcera una estmacón del grado otencal de varedad y de susttucón de los untos de venta y que, tenendo en cuenta dchos factores, se decda entonces como se calcularía el índce del agregado. A esar de todo lo dcho, exste un elemento que no se ha tendo en cuenta hasta ahora y que es fundamental en cualquer IPC. Este es la reresentatvdad. El IPC fnal debe ser reresentatvo de los hábtos de consumo de la oblacón. S se realza un muestreo aleatoro dentro del estrato uede suceder que los roductos selecconados no sean reresentatvos de la oblacón en estudo. El dseño roducto resuelve el roblema de la reresentatvdad, de la susttubldad y de la heterogenedad. El método consste en buscar los roductos más reresentatvos de los hábtos de consumo. Esto reduce el número de roductos que se muestrean, con lo cual se gana en homogenedad. Además, s se dentfca el índce del agregado elemental con el índce roducto, el nvel de susttubldad será muy elevado. Este es el crtero que utlza el Insttuto Naconal de Estadístca ara elabora el IPC esañol. En concreto se selecconan 484 artículos ara los cuales se elabora su descrcón o esecfcacón comleta con el fn de facltar su dentfcacón. La elaboracón de estas esecfcacones ermta la comaracón a lo largo del temo de artículos guales o de caldad equvalente, con el fn de medr cambos uros en los recos no contamnados or cambos en la caldad. Entre las esecfcacones se encuentran la undad de medda, la clase de envasado, la talla, la comoscón, la forma y las dmensones. El agregado elemental es el artículo rovnca. El hecho de que el ámbto terrtoral sea tan amlo como la rovnca afecta a la susttubldad reducéndola ero, sn embargo, es comatble con el conceto de cas homogenedad de Moulton defndo anterormente. El método que utlza el INE es el que garantza mayor reresentatvdad de los hábtos de consumo de la oblacón, mayor nvel de susttubldad entre los recos observados y comleta homogenedad de los roductos que comonen los datos a nvel del agregado elemental. Además, es de eserar que la dsersón de los datos en el agregado elemental sea más equeña. Es evdente que en este caso se está hacendo el suuesto de que todos los artículos que comonen el agregado elemental evoluconan en térmnos de recos de forma smlar a como lo hace el artículo que los 5

6 reresenta (se vuelve nuevamente al conceto de Moulton (993) de cas homogenedad). Ahora ben, el ncumlmento de este suuesto es muy oco relevante s el artículo selecconado es realmente reresentatvo del hábto de consumo de la oblacón. En el caso de estratos homogéneos, el cumlmento de la Teoría del Consumdor mlcaría que los recos más altos tenen una menor demanda que los recos más bajos y, además, el comortamento de los consumdores es dstnto s los recos que camban son los más altos o los más bajos dentro del conjunto de recos que resenta el ben (servco) o los benes (servcos) que se utlzan ara obtener el cambo en recos del estrato. Esto mlca que la forma de medr los cambos debe ermtr obtener un resultado dstnto en funcón de la oscón que mantenga dentro de la dstrbucón de recos el artículo que camba su reco. El rmer roblema, a la hora de defnr una fórmula deal ara el índce elemental, es que, a este nvel, solo se dsone de los recos, con lo cual no es osble calcular la mortanca de cada uno de ellos dentro del total del agregado. Esto oblga a trabajar con fórmulas no onderadas. Sguendo a ILO (23), las más utlzadas son la de Dutot (I D ), la de Carl (I C ), la de Jevons (I J ), la de Jevons-Coggeshall (I JC ) y la de Fsher (I F ). Para el cálculo de la nflacón dentro del agregado elemental en el nstante con resecto al nstante, se utlzan las exresones [] a [5], sendo el reco - ésmo ertenecente al agregado elemental en el nstante t={,} y K el número de recos observados en dcho agregado. t I D = K K K = K = [] I C K = K [2] = I J K = K = [3] I JC K K = [4] = 6

7 I = I * I ]5] F C JC Desde el unto de vsta axomátco, la fórmula que cumle más roedades deseables es la de Jevons, seguda de la de Dutot, la de Fsher, la de Carl y la de Jevons-Coggeshall. Estas dos últmas ncumlen, entre otras, la roedad de reversón temoral, sendo la de Carl un límte sueror y la de Jevons-Coggeshall un límte nferor. Esta roedad es esecalmente mortante s el IPC se va a calcular de forma encadenada. La fórmula de Dutot ncumle úncamente la roedad de roorconaldad. Esta roedad tene una mortanca que deende drectamente de la forma en cómo se selecconan los artículos que reresentan al agregado elemental. S el agregado elemental se reresenta or un únco artículo, exste una únca undad de medda y, or tanto, una homogenedad total. En este caso, tenen sentdo las medas de los recos en cada nstante de temo y la fórmula de Dutot es tan válda como la de Jevons. Por el contraro, s los recos con los que se calcula el índce elemental se corresonden con roductos dstntos, ncluso con undades de medda dstntas, la fórmula de Dutot emeza a no ser válda. En consecuenca, la valdez o no de la fórmula de Dutot deende drectamente del grado de homogenedad de los roductos que contene el agregado elemental, o lo que es lo msmo, de s las medas artmétcas de recos tenen o no sentdo. Crcunscrbéndose a estas dos fórmulas, la de Dutot y Jevons, junto con la de Carl (la más utlzada hasta hace un ar de décadas) y desde el unto de vsta de su formulacón, las dferencas numércas se deben a las dstntas onderacones que cada una de ellas utlza a la hora de resumr los datos. En el índce de Carl, todos los índces smles tenen la msma onderacón, cuyo valor es /K, sendo K el número de índces que se romedan. Por tanto, la exstenca de valores extremos en los ratos de recos rovoca un deslazamento sensble en el I C haca dchos valores extremos. Para analzar la onderacón en la fórmula de Dutot, artendo de la exresón [], sguendo los asos que se muestran en [6], se concluye que cada rato de recos está onderado or la mortanca del reco en el eríodo de referenca con resecto a la suma de todos los recos ara dcho eríodo. 7

8 I K K K K = = D = = = K K K = K = = = [6] Por tanto, en esta formulacón, cuanto más alto sea el reco en el eríodo de referenca del índce, su rato de recos tene un efecto mayor en el índce fnal. En la fórmula de Jevons, todos los ratos tenen la msma onderacón, ero esta no es adtva sno otencal y multlcatva, lo cual dfculta la comaracón con las otras dos fórmulas. I J K K = = [7] Lo que esta claro es que ara que los tres resultados concdan es necesaro que todos los ratos de recos concdan. Esto ndca que, de alguna manera, la dsersón en los ratos de recos, y en defntva, la dsersón de los roos recos, exlcan las dferencas en los resultados de las tres fórmulas. Carruthers, Sellwood y Ward (98) demuestran que aroxmadamente se cumle [8]. I I * + σ σ J D e e [8] σ y 2 σ son las varanzas de las varables 2 e e e y e resectvamente, defndas en [9], sendo t el reco medo artmétco en el estrato elemental en el nstante t={,}. = [9] t t t e t De forma smlar a [8], Dalen (992) y Dewert (995) obtenen la exresón [] que relacona el índce de Jevons con el de Carl, 2 IJ I C σs 2 [] sendo σ la varanza de la varable s defnda como []. 2 s 8

9 K K = s = K K = [] A artr de la exresón [8] se concluye que los índces de Jevons y Dutot tenden a ser guales cuando las dsersones de los recos medos concden ara los dos eríodos de temo que se comaran. Sobre la base de la exresón [] es obvo que los índces de Jevons y Carl tambén se gualan cuando la dsersón de los ratos de recos es gual a cero, es decr, cuando todos los recos resentan un msmo cambo relatvo. En caso contraro, el índce de Jevons semre es nferor al obtendo con Carl. Sn embargo, el índce de Dutot se uede stuar, según el caso, or encma o or debajo del de Jevons, reresentando el rmero unas referencas del consumdor con cantdades roorconales, to Leontef, y el segundo con gastos roorconales, to Cobb-Douglas. 3. Las fórmulas elementales en el índce de recos de consumo armonzado La Unón Euroea, a la hora de elaborar los IPCA de cada uno de sus aíses membros, da lbertad a los msmos ara elegr entre la fórmula de Dutot y la de Jevons, ara calcular los índces de los agregados elementales. Incluso, bajo certas crcunstancas, autorza el uso de la fórmula de Carl [Commsson of the Euroean Communtes (2), ag. 52)]. Como una rmera aroxmacón a las dferencas que se ueden obtener al hacer uso de una u otra fórmula, suóngase que ara un determnado agregado elemental se recogen tres recos, corresondentes cada uno de ellos a un establecmento dstnto, sendo en los tres casos erfectamente susttubles, or tanto homogéneos en su fnaldad y reresentatvos del agregado elemental. En el nstante base, estos recos son 4, 5 y 6 euros. En el gráfco se reresentan los valores de los índces elementales de Dutot, Carl y Jevons ara dcho agregado en 6 stuacones dstntas. Tres se corresonden con un ncremento del 2%. En un caso, en el reco más bajo, en otro en el más alto y el tercero en el reco ntermedo. Las otras tres stuacones se referen a una reduccón, tambén del 2%, en cada uno de estos recos. El asecto que más destaca en este gráfco en la gran varabldad del índce de Dutot. Es necesaro destacar que s el reco que sube un 2% es el más alto, la nflacón 9

10 medda con esta fórmula es un 5% más alta que s se el reco que sube es el más bajo. En caso de que lo que se roduzca es una reduccón de recos, el comortamento es smétrco con resecto al valor. Este resultado se justfca erfectamente en base a las onderacones mlíctas que usa la fórmula de Dutot. Gráfco. Efecto de un ncremento/reduccón del 2% en un únco reco Carl Dutot Jevons Incremento en el reco más bajo Incremento en el reco más alto Incremento en el reco central Reduccón en el reco más bajo Reduccón en el reco más alto Reduccón en el reco central El segundo elemento que destaca en el gráfco es la asmetría de la fórmula de Jevons ante un ncremento o dsmnucón de los recos. Es decr, una subda del 2% ara uno de los recos en el nstante, suone una nflacón del 6,3%, mentras que s es una bajada, ésta se cfra en un 7,2%. La dferenca de nflacón en térmnos absolutos alcanza cas el 4,3%. Por últmo, el tercer elemento a destacar en el gráfco es la dstanca que hay entre el índce de Carl y el de Jevons. Para los datos del ejemlo con el que se está trabajando, s los recos suben un 2%, el índce de Carl es un 6,3% más alto que el de Jevons, s los recos bajan un 2%, el índce de Carl mde una caída de la nflacón del 6,7%, mentas que el de Jevons un 7,2%. Es decr, la caída es un 7,5% más fuerte con este últmo. La razón de estas dferencas se encuentra en las fórmulas [8] y [], exresones que ueden re-escrbrse como [2] y [3] resectvamente. I J σ ID * σ ( ) ( ) [2]

11 I J σ IC 2 ( r ) 2 r 2 [3] Denotando or σ y 2 t t a la varanza y la meda artmétca de los recos en el agregado elemental en el nstante t, y or σ 2 r y r a la varanza y la meda artmétca del rato de recos. Como se uede deducr de [2], las dferencas entre los valores obtendos con las fórmulas de Jevons y Dutot se deben a los cambos en el cuadrado de la dsersón relatva de los recos entre los dos nstantes de temo que se comaran. S esta dsersón crece del nstante cero con resecto al nstante uno, el índce elemental de Jevons será nferor al de Dutot, en caso contraro será sueror. El análss de los resultados realzado hasta ahora tene naturaleza estadístca, en el sentdo de que las dferencas entre las tres fórmulas se traducen en cambos en la dsersón relatva de los recos o de sus cambos. La cuestón que se lantea ahora es s los cambos en la dsersón ueden venr motvados or dstntos comortamentos del consumdor frente a la forma de los cambos de cada uno de los índces que se romedan y s la fórmula con la que se calcula el índce del agregado elemental es caaz de modfcar su resultado, tanto en la cfra como en la dreccón, con el objeto de reflejar dchos comortamentos del consumdor. En este sentdo, demostraremos que los cambos en la varabldad no son ndeendentes del comortamento del consumdor y los tres índces analzados resentan unos resultados ante cambos en los recos que dfíclmente se ueden ajustar al comortamento teórco eserado or arte del consumdor. Para ver algunas de estas ncongruencas volvemos al ejemlo de los tres recos que se ha estudado anterormente. Esto es, 4, 5 y 6 undades monetaras en los establecmentos,2 y 3 resectvamente. Comencemos or el índce de Jevons. Suongamos que el reco más alto se reduce un %. En esta stuacón los nuevos recos son 4, 5 y 54 undades monetaras en los establecmentos,2 y 3 resectvamente, lo cual conlleva una reduccón en la dsersón relatva de los recos desde el nstante ncal al fnal. Comarando los recos en ambos nstantes, desde el unto de vsta de la Teoría del Consumdor, no es revsble un cambo de demanda en los establecmentos. En esta stuacón, I J =,9655, valor que concde con el caso en el cual es el reco más bajo el que se reduce un %. En este caso la dsersón es mayor que en el anteror y sn embargo

12 el índce de Jevons no modfca su cfra. En térmnos de demanda esta segunda stuacón es comletamente dstnta a la rmera. Los nuevos recos son 36, 5 y 6 undades monetaras en los establecmentos, 2 y 3 resectvamente. Ahora, todos los consumdores que comraban en el establecmento lo segurán hacendo, uesto que en el nstante el reco es más barato que en. Dado que artmos de recos de benes homogéneos es de eserar que los recos más altos resenten menor demanda, en cuyo caso la reduccón en el reco del roducto más barato afecta a muchos más consumdores que en el caso anteror. Además, es muy robable que consumdores que consumían antes en los establecmentos 2 y 3 se asen a consumr en el establecmento. Esto sgnfca que la reduccón de recos debera ser más fuerte ara el caso en el que se reduce el reco más barato que ara el caso en el cual la reduccón se roduce en la observacón del reco más caro. Dado que el índce de Jevons es el msmo en los dos casos, claramente esta fórmula no es caaz de reflejar las dstntas stuacones que se esera que resente la demanda del consumdor. La msma crítca es alcable a I C. I D es ncluso más ncongruente, al onderar el rato de recos drectamente or el reco en el nstante base, lo que mlca que s el reco más alto es el que sube su onderacón es mucho más elevada. Por el contraro, s el reco más bajo se reduce, este adquere menor eso relatvo, cuando lo eserado es que ncremente su demanda y, or tanto, su eso. Esto nos llevaría a afrmar que el uso de la fórmula de Dutot no debería recomendarse como alternatva ara obtener el índce del agregado elemental. Por otra arte, la varabldad de los recos o de los índces establece las dferencas numércas entre las dstntas fórmulas ero no resonde al comortamento revsble del consumdor. La fórmula del número índce del agregado elemental debera tener en cuenta el comortamento del consumdor descrto anterormente. S se aceta, además, que los establecmentos con los recos más bajos deben resentar una mayor demanda, ello nos conduce a que la fórmula de cálculo del índce elemental debe estar onderada de forma nversa or los recos de artda. Una osbldad es la que se obtene al defnr f t como [4]. f = K t = t t [4] Y la onderacón como [5]. 2

13 f t t w = K t f = [5] La fórmula del índce elemental debe nclur estas onderacones. Una osble fórmula es [6]. I K t At (/) = w = [6] Esta fórmula cumle la roedad de reversón temoral y, además, dscrmna or el hecho de que los recos que camban sean los más altos o los más bajos. La demostracón analítca de que I A cumle la roedad de reversón temoral es la sguente. Sean, t' y t tres nstantes temorales tales que <t'<t. Denotemos or { },{ } y { t' t } los recos en el agregado elemental en cada uno de los nstantes de temo corresondentes a los establecmentos ={,2,...,K }. Suongamos que se roduce una reversón temoral desde el nstante al t, lo cual mlca que = t ara todo. La fórmula I A cumle la roedad de reversón temoral s se verfca [7]. I At ( '/) IA( t/ t') = [7] Susttuyendo [6] en [7] y tenendo en cuenta que los recos en el nstante son guales a los recos en el nstante t, la roedad de reversón temoral se cumle s se verfca [8]. K K t' t' w t' w = = = [8] Susttuyendo [4] en [5], se uede escrbr la onderacón en un nstante de temo genérco t como [9]. w t = K t t = [9] Por últmo, reemlazando [9] en [8] y reordenando adecuadamente los térmnos se obtene [2], que demuestra el cumlmento de la roedad de reversón temoral de I A. 3

14 K K K K t' t' = = = = = [2] Partendo de esta últma exresón, es nmedato demostrar que I A no es más que el cocente entre la suma de los nversos de los recos en el nstante y. I A = K = K = [2] Además, A I cumle las 8 roedades que ILO (23) dentfca como exgbles or cualquer exerto en números índces. Estas son: contnudad, dentdad, monotonía en recos correntes, monotonía en el eríodo base, roorconaldad en recos correntes, roorconaldad nversa en recos del eríodo base, valor medo y tratamento smétrco de establecmentos. La demostracón de estas 8 roedades es nmedata. Contnudad: I A debe ser una funcón contnua ara cualquer ar de conjuntos de recos corresondentes a los nstantes temorales base () y actual () resectvamente. Dado que los recos son semre mayores que cero, el A I exste semre y es una funcón contnua ara cualquer ar de conjuntos de recos con ={,2,...,K }. y Identdad: un índce cumle la roedad de dentdad cuando el valor del índce entre dos nstantes de temo ara los cuales el conjunto de valores de recos es el msmo es gual a. I A cumle la roedad de dentdad, uesto que de [2] es nmedato demostrar que s {,2,..., K } = =, el valor de I A es gual a. Comortamento monótono en los recos actuales: artendo de unos recos ncales ara el agregado elemental,, y ante dos osbles stuacones de crecmento de los recos en el nstante actual, denotadas or y, a, b, tal que los recos en la stuacón a son mayores que en la stuacón b, la roedad de monotonía sobre el nstante actual mlca que se cumla que I A(a/) >I A(b/). La demostracón de esta roedad ara I A es nmedata s se tene en cuenta que al ser [22]. > se cumle, a, b 4

15 < [22], a, b Tenendo en cuenta [2] y dado que el numerador es el msmo ara el caso a y b, ncororando la nformacón de [22] queda demostrada la roedad de comortamento monótono ara el nstante actual. Comortamento monótono sobre el nstante base: la roedad de monotonía sobre el nstante base arte de dos stuacones en el nstante base, denotadas or y, a, b, tal que los recos en la stuacón a son mayores que en b. Bajo estas crcunstancas y suonendo crecmento entre ambas stuacones con resecto al nstante actual, el cumlmento de esta roedad exge que el A(/a) I <I A(/b). Para demostrar esta roedad nuevamente se arte de [2]. El denomnador de dcha exresón es el msmo ara el caso a y b, mentras que el numerador es más equeño ara el caso a que ara el b dado que s mlca que I A(/a) <I A(/b). > mlca que <. Ello, a, b, a, b Proorconaldad drecta sobre el eríodo actual: s se multlcan los recos en el eríodo actual or una constante ostva, el índce se ve multlcado or dcha constante. Matemátcamente esta roedad se uede escrbr como [23], en donde {, 2,..., } = con j={,}. j j j j I = I con > [23] A(, λ ) λ A(, ) λ La demostracón vuelve a ser nmedata a artr de [2] y se desarrolla en [24]. K K K = = = I (, ) (, A λ = = = λ = λi ) K K K A λ λ = = = [24] Proorconaldad nversa sobre el eríodo base: s los recos en el nstante base se multlcan or una constante ostva, el índce se multlca or la nversa de dcha constante. Es decr, IA( λ, ) = IA(, ) con λ >. Tenendo en cuenta la λ demostracón de la roedad anteror, esta roedad es nmedata de demostrar. 5

16 Valor medo: el índce del estrato elemental se encuentra entre el valor más equeño y más grande de los ratos de recos ara cada. El cumlmento de todas las roedades anterores mlca el cumlmento de la roedad del valor medo [Echhorn (978), ágna 55]. Smetría entre establecmentos: s y son dos vectores de recos y y * * son ermutacones resectvas de los dos rmeros, el índce ara y es gual al índce ara y *. Partendo de [2] es nmedato comrobar el cumlmento * de esta roedad or arte de I A. Además de estas roedades, las cuales no resentan nnguna duda sobre su necesdad, ILO (23) roone otras 4 ara los índces elementales ara las cuales ndca que no semre exstrá consenso ara su exgbldad resentando, or tanto, certa controversa sobre s se debe exgr su cumlmento o no. Dos de estas nuevas roedades ya han sdo demostradas ara I A al demostrar el cumlmento de la roedad que hasta ahora hemos defndo como reversón temoral y que ILO (23) dvde en dos que denomna reversón en el temo, "Tme reversal", que mlca I A(, ) =, y la roedad de crculardad, "Crcularty", que se enunca I A(, ) como I I = I. 2 2 A(, )* A(, ) A(, ) La onceava roedad es una generalzacón del tratamento smétrco de los establecmentos. Se cumle cuando el índce del agregado elemental no cambo ara cualquer ermutacón de los recos de y aunque el orden fnal de los establecmentos en el rmer conjunto de recos sea dstnto al orden de dchos establecmentos en el segundo conjunto de recos. Nuevamente, artendo de [2] es nmedato demostrar que I A cumle esta roedad. La últma roedad que enunca ILO(23) es la de roorconaldad, "commensurablty". Para que I A cumla esta roedad debera cumlr [25] ara cualquer conjunto { } { } λ = con todos los valores ostvos.,2,..., I ( λ, λ,..., λ ; λ, λ,..., λ ) = I (,,..., ;,,..., ) A 2 2 A I A solo cumle esta roedad cuado λ es gual a una constante ara todo. La roedad de roorconaldad está drectamente relaconada con la homogenedad de 6

17 los roductos que se romedan. S estos son homogéneos el ncumlmento or arte de una fórmula de esta roedad no resenta nngún roblema, ero según se ncremente el grado de heterogenedad la roedad se hace más necesara. Resumendo los vsto hasta ahora y utlzando los resultados de ILO (23), desde el unto de vsta axomátco la fórmula de Jevons cumle todas las roedades exceto la de congruenca con el comortamento del consumdor, la de Dutot ncumle tambén ésta y además la de roorconaldad, la de Carl ncumle las msmas que la de Dutot y, además, la generalzacón del tratamento smétrco de los establecmentos, la de reversón temoral y la de crculardad. Por últmo, I A ncumle úncamente la roedad de roorconaldad. Para analzar la congruenca de I A con el comortamento del consumdor se vuelven a utlzar los datos de recos de los tres establecmentos y se rehace el gráfco, ncororando el nuevo índce. El resultado se muestra en el gráfco 2. Como se uede observar, y era de eserar, el comortamento de I A es ouesto al de Dutot, uesto que en la nueva fórmula cada cambo ondera de forma nversa a la mortanca del reco en el nstante, mentras que en I D la onderacón es drecta. Esto sgnfca que s, or ejemlo, los recos suben, su reercusón sobre el valor del índce del agregado elemental será mayor cuando el que sube es el reco más bajo. En este caso, todos los consumdores que comraban a este reco, que, or otra arte, dado que era el reco más bajo se suone que resentaba una mayor demanda, se ven oblgados a agar un reco más alto. Por el contraro, cuando el reco que sube es el más alto, habrá consumdores que no están dsuestos a agar este ncremento y se asarán a comrar en un establecmento con reco más bajo. Esto mlca que solo los que ya agaban un reco alto se ven afectados or el ncremento. Además de que el establecmento más caro debe resentar una menor demanda, ara algunos consumdores el reco se reduce, ya que camban de establecmento asando a uno con reco nferor. En defntva, s el reco que se ncrementa es el más alto, su efecto sobre el índce del agregado elemental debe de ser nferor al caso de que lo que se ncremente sea el reco más barato. Con los datos del ejemlo, la nflacón en el agregado elemental, ante un ncremento del 2%, asa del 4,7% al 7,2% deendendo de s el reco que sube es el más alto o el más bajo resectvamente. 7

18 Gráfco 2. Efecto de un ncremento/reduccón del 2% en un únco reco Carl Dutot Jevons IA Incremento en el reco más bajo Incremento en el reco más alto Incremento en el reco central Reduccón en el reco más bajo Reduccón en el reco más alto Reduccón en el reco central Ante un roceso de reduccón de recos el índce I A vuelve a manfestarse en congruenca con la teoría del consumdor. Tal y como se observa en la arte nferor del gráfco 2, s lo que se reduce es el reco más alto, esto afectará a menos consumdores que son los que agaban este reco. En rnco, los consumdores de los establecmentos y 2 segurán comrando en sus establecmentos habtuales (a no ser que la reduccón de recos en el establecmento 3 sea tan fuerte que deje de ser el más caro). Ahora ben, s la reduccón se roduce en el establecmento con el reco más bajo, todos los consumdores de este establecmento se benefcaran de esta reduccón y, además, a los consumdores de otros establecmentos más caros ahora les uede resultar rentable asar a consumr en un unto de venta más barato. Sguendo este crtero, el índce del agregado elemental debe recoger una caída más fuerte en los recos cuando el reco que baja es el más bajo. En los datos del ejemlo, el A I es gual a,98, cuando lo que se roduce es una reduccón en el reco más bajo, frente al valor,937, cuando lo que se reduce es el reco más alto. En térmnos de nflacón y ara los datos del ejemlo, la dferenca en la caída de recos en el agregado elemental es un 47,6% más fuerte cuando la reduccón se roduce en el reco más bajo con resecto a la msma reduccón en el reco más alto. Por tanto, desde el unto de vsta axomátco la decsón sobre la fórmula más dónea está entre I J e I A. S la reresentacón del agregado elemental se hace de forma homogénea, como or ejemlo hace el INE al utlzar el agregado-roducto, la fórmula 8

19 dónea es I A ya que cumle con todas las roedades. Sn embargo, la fórmula de Jevons jamás odrá tener en cuenta la resuesta de los consumdores al dstnto comortamento que resentan debdo a que los cambos en recos se roduzcan or la arte sueror, medo o nferor de su dstrbucón. Además, s se exge el cumlmento de la roedad de roorconaldad, sería necesaro estudar las reduccones que se ueden roducr en la reresentabldad, en concreto, debdo al dstnto eso (desconocdo) de cada uno de los roductos que se utlzan. 4. Conclusones En el trabajo se demuestra la nconsstenca que resentan las fórmulas habtualmente utlzadas ara el cálculo de los índces en los agregados elementales de un IPC. En concreto, se analzan axomátcamente las fórmulas de Dutot, Carl y Jevons or ser las que la Comundad Euroea ermte a la hora de elaborar el IPCA, llegando a la conclusón de que nnguna de ellas reroduce al comortamento habtual de los consumdores ante un cambo en los recos. A artr de estos resultados y bajo las hótess: a) los recos meddos en el agregado elemental se corresonden con roductos homogéneos; b) los recos más bajos acaaran más demanda; c) los cambos de demanda se roducen con sgno ostvo ante reduccón en los recos y de forma negatva ante un ncremento, se defne una nueva fórmula ara el índce del agregado elemental como la meda armónca de los ratos de recos onderada de forma nversa or el tamaño del reco en el nstante de referenca. Esta nueva fórmula se ajusta al comortamento de las hótess lanteadas sobre la Teoría del Consumdor y, además, cumle todas las roedades generalmente acetadas ara los índces elementales, ncluyendo la de reversón temoral, roedad ésta de mortanca catal cuando la estructura del índce es de to encadenado, como es el caso del IPCA. BIBLIOGRAFÍA Advsory Commsson To The Study The Consumer Prce Index (996): "Toward a More Accurate Measure of The Cost of Lvng", Fnal Reort To The Senate Fnance Commttee, Washngton, December 4. Carruthers, A.G., Sellwood, D.J. y Ward, P.W. (98): "Recent Develoments n the Retal Prces Index", The Statstcan, 29,

20 Commsson of the Euroean Communtes (2): "On the Harmonzaton of Consumer Prce Indces n the Euroean Unon", Reort from the Commsson to the Councl. Com (2) 742 fnal, Brussels: Euroean Commsson. Dalen, J. (992): "Comutng Elementary Aggregates n the Swedsh Consumer Prce Index", Journal Of Offcal Statstcs, volumen 8, n. 2. Dalton, K., Greenlees, J. y Stewart, K. (998): "Incororatng a Geometrc Mean Formula Into the CPI", Monthly Labor Revew, October Dewert, W. (995): "Axomatc and Economc Aroaches to Elementary Prce Indexes", Dscusson Paer Nº 95-, Deartment of Economcs, Unversty of Brtsh Columba, Vancouver, Canada. Dewert, W. (996): "Comment on CPI Bases", Deartament of Economcs, The Unversty of Brtsh Columba, Dscusson aer nº Echhorn, W. (978): Functonal Equatons n Economcs, Readng, MA: Addson- Wesley Publshng Comany. ILO (23): CPI Manual, Electronc Document: htt:// englsh/bureau/stat /gudes/c/, Internatonal Labour Organzaton. ILO (24): Catulo 7. Exacttud: errores y sesgos, Electronc Document: htt:// (MELS-R ES) Mounton, B. (993): "Basc Comonents of the CPI: Estmaton of Prce Changes", Monthly Labor Revew, December. OIT (23): Resolucón II. Resolucón sobre Índces de Precos al Consumdor, Decmosétma Conferenca Internaconal de Estadístcos del Trabajo, Gnebra. Sellwood, D.J. (987): "Reducton of Errors n a Consumer Prce Index", Bulletn Of Labour Statstcs 2, Génova. Slver, M. y Herav, S. (23): "Why Prce Index Number Formulae Dffer: Economc Theory and Evdence on Prce Dserson", Sétma Reunón del Gruo de Ottawa, Pars. Tells, G. (988): "The Prce Elastcty of Selectve Demand: A Mata-Analyss of Econometrc Models of Sales", Journal of Maretng Research, November,