IES Pae Poea (Guaix) Matemática II UNIDAD 0 GEOMETRÍA MÉTRICA Si ólo tenemo en cuenta la elacione exitente ente lo punto el epacio y lo ectoe e V, la geometía etingiá u etuio a la poicione elatia e punto, ecta y plano Dicha geometía e la que e conoce con el nombe e geometía afín Ahoa bien, i aemá conieamo el poucto ecala en V, e poible efini itancia y ángulo La pate e la geometía que etuia el epacio bajo ete punto e ita e la que e enomina geometía mética o euclíea MEDIDA DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Si o ecta on paalela o coinciente foman un ángulo e 0 º Si o ecta on ecante eteminan cuato ángulo iguale o a o Se efine el ángulo que foman la o ecta como el meno e ello Si o ecta e cuzan, e efine el ángulo que foman como el ángulo que eteminan una e ella y la paalela a la ota que la cota El ángulo que foman o ecta coincie con el ángulo que foman u ectoe iectoe u y i éte e aguo, o con u uplementaio i e obtuo Po tanto, i α, y y on lo ectoe iectoe e y epectiamente: co α co (, ) Pemite obtene el ángulo que foman y E neceaio toma alo aboluto ya que co α coincie, alo el igno, con el coeno el ángulo fomao po u ectoe iectoe Ejemplo: Calcula el ángulo que foman la ecta y x + y + y + z : z : 5 x y z Hallamo un ecto iecto e y oto e Un ecto iecto e e ( 5,,) Paa halla un ecto iecto e hacemo el poucto ectoial i j k n n i + j k (,, ) coα 5 5 + + + + + ( ) + ( ) 9 049 α 695º 0 4 Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II Obea: Do ecta on pepeniculae cuano lo on u ectoe iectoe Po tanto: Conecuencia: Recta pepeniculae Sean y ectoe iectoe e la ecta y epectiamente Entonce: Ejemplo : La ecta : ( x, z) ( 0,0,0) + λ(,,4) y : ( x, z) (,, ) + μ( 0,, ) 0 on pepeniculae, pueto que u ectoe iectoe epectio eifican:,,4 0,, ( ) ( ) 0 Ejemplo : Detemina la ecuación ectoial e la ecta que paa po el punto A (,0, ) y cota pepeniculamente a la ecta : ( x, z) (,,0 ) + λ(,, ) P AP A Sólo exite una ecta que paa po A y cota pepeniculamente a Llamemo a eta ecta y P al punto común a y Expeamo P como punto genéico e la ecta : P ( + λ,+ λ, λ) El ecto AP ( + λ,+ λ, λ ), que e un ecto iecto e e pepenicula a ecto iecto e, po tanto, u poucto ecala e 0: AP u 0 ( + λ,+ λ, λ ) (,, ) 0 + 9λ + + 4λ + λ 0 λ 4 5 4 AP ( 4, 7, 4 ) Tomamo 4AP(5,8, ) como ecto iecto e La ecta e : ( x, z) (,0, ) + μ( 5,8, ) ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS Sólo tiene entio coniea el cao e o plano ecante, ya que i on paalelo o coinciente foman un ángulo e 0 º El ángulo que foman o plano ecante e el meno e lo ángulo ieo que eteminan Paa obtene la meia e ee ángulo α π, π utilizamo lo ectoe nomale n y n e caa uno e lo plano π y π : n n co α co( n, n ) Pemite obtene el ángulo que foman π y π n n De nueo hay que toma alo aboluto ya que co α coincie, alo el igno, con el coeno el ángulo fomao po lo ectoe nomale a ambo plano Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II Ejemplo: Dao lo plano π : x y + z + 0 y π : x + y 5z 0, etemina el ángulo que foman Ecibimo un ecto nomal a π, n (,, ), y oto a π, n (,, 5) Calculamo el ángulo que foman n y n : + ( ) + ( 5) ( ) + + + ( 5) 5 co α 044 α 7588º + 4 0 Obea: Do plano on pepeniculae cuano u ectoe nomale lo ean Po tanto: Conecuencia: Plano pepeniculae Sean n y n ectoe nomale e lo plano π y π epectiamente Entonce: π n n 0 π Ejemplo : Lo plano π : x y + z 4 0 y π : y + z 0 on pepeniculae, pueto que u ectoe nomale epectio n (,,) y n ( 0,, ) eifican: n n,, 0,, ( ) ( ) 0 Ejemplo : Dao lo plano π : x y + 5z 0 y π : kx + 7 y + z 0, halla el alo e k paa que ean pepeniculae Lo ectoe nomale on n (,,5) y n ( k,7, ); luego, paa que ean otogonale e ebe cumpli n n 0 (,,5) ( k,7,) 0 k 4 + 5 0 k Ejemplo : Aeigua i π : x + y + z + 0 e pepenicula a π : ( x, z) (,5,0) + λ(,,0 ) + μ(,,) Lo ectoe nomale a π y n,, i j k n u 0 i j k n,, π epectiamente on ( ) ( ) n n,,,, π e pepenicula a π Como ( ) ( ) 0 ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Una ecta puee eta incluia en un plano, e paalela a éte o ecante y En lo o pimeo cao ecta y plano foman un ángulo e 0º Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II El ángulo α, π ente una ecta y un plano e el ángulo que foma la ecta con u poyección otogonal obe el plano Si obeamo el ibujo: en α co β co, n n ( n) en α n n Pemite obtene el ángulo que foman y π Ejemplo : Calcula el ángulo que foman la ecta y el plano π + k : y + k π : x 4y + 5z 0 5,,0 Un ecto iecto e la ecta e ( ) y un ecto nomal al plano (, 4,5) + ( 4) + 0 5 en α 0 α 574º + + 0 + ( 4) + 5 50 n Ejemplo : Halla el ángulo fomao po el plano π : x + y z 0 y la ecta x y z + : Vecto nomal el plano n (,, ) Vecto iecto e la ecta (,, ) + + ( ) en α 05 α 0º + + + + 6 6 ( ) Obea: Una ecta y un plano on pepeniculae cuano el ecto iecto e la ecta ea paalelo al ecto nomal el plano Po tanto: Conecuencia: Recta y plano pepeniculae,, Sean ( ) un ecto iecto e una ecta y ( A,B,C ) ecto nomal e un plano π Entonce: n un π //n E eci: π A B C Ejemplo : La ecta : ( x, z) (,0, ) + λ(,,5 ) on pepeniculae, ya que el ecto iecto (,,5 ) y el plano π : x y 5z + 0 n 5 (,, 5) eifican: 5 y el ecto nomal Depatamento e Matemática 4 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II Ejemplo : Detemina la ecuación continua e la ecta que contiene al punto (,4,0 ) A y e pepenicula al plano cuya ecuación e π : 5x y + z + 0 Cualquie ecto nomal el plano eá un ecto iecto e la ecta Po ejemplo, x y 4 z ( 5,,) Po tanto, : 5 A,0, y e pepenicula a x + y z la ecta : 5 Cualquie ecto iecto e la ecta eá un ecto nomal el plano Po ejemplo, n (,5, ) Aí pue, el plano eá x + 5 y + z + D 0 Aemá, la ecuación el plano ha e cumplie paa el punto A (,0,) ; + 5 0 + + D 0 D 5 Po tanto, la ecuación el plano e π : x + 5y + z 5 0 Ejemplo : Halla la ecuación el plano que contiene al punto ( ) DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS a,a, B b,b, o punto el epacio e efine la itancia ente A y Dao A ( ) y ( ) a b B como el móulo el ecto AB : ( A,B) AB ( b a ) + ( b a ) + ( b ) a Veifica la iguiente popieae: ( A, B) 0 y ( A, B) 0 A B ( A, B) ( B, A) A, B A, C + C, B (Deiguala tiangula) ( ) ( ) ( ) Ejemplo : Calcula la itancia ente lo punto A ( 0,,0) y C ( 7,, ) A continuación, etemina el peímeto P e un cuaao cuyo étice conecutio on A ( 0,,0), B(,, 4), C( 7,, ) y D ( 4,,) ( A, C) ( 7 0) + ( ) + ( 0) 50 5 u Hallamo la itancia ente o étice conecutio, po ejemplo A ( 0,,0) y B (,, 4), y la multiplicamo po cuato, ya que e un cuaao: ( A, B) ( 0) + ( ) + ( 4 0) 5 u P 4 5 0 u Fíjate: Paa iualiza el cuaao ebemo epeentalo en te imenione Ejemplo : Calcula el peímeto e un tiángulo cuyo étice on lo punto: A (,,0 ); B (,, ) y C (,0,5 ) ( A, B) ( ) + ( ) + ( 0) u 4 ( A, C) ( ) + ( 0 ) + ( 5 0) u 0 ( B, C) ( ) + ( 0 ) + ( 5 ( ) ) 68 u 7 Po tanto, P 4 + 0 + 7 747 u Depatamento e Matemática 5 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Ejemplo : La itancia el punto (,,) Matemática II P a oto A el eje e abcia e 7 Halla la cooenaa el punto A A x,0,0 po petenece al eje e abcia ( ) ( P, A) ( x ) + ( 0 ) + ( 0 ) 7 ( x ) + 49 ( x ) 6 x ± 6 x 7 ó x 5 Lo punto poible on: A ( 7,0,0) y ( 0, 0) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Daa una ecta ( A, ) como la mínima itancia e P a un punto cualquiea e y un punto P, e efine la itancia e P a, y e ecibe ( P,) ( P,) ( P,P ) A P e le llama poyección otogonal e P obe la ecta Obea: eta itancia coincie con la longitu el egmento pepenicula el punto a la ecta Si el punto P petenece a la ecta ( P, ) 0 y ecípocamente, PRIMER MÉTODO: A pati e la poyección otogonal e un punto obe una ecta º) Se halla el plano π pepenicula a y que contiene a P º) Se obtiene P como inteección e π y º) Se halla ( P, P ) Fíjate: ete métoo no pemite obtene P y la ecta pepenicula a que contiene a P λ P a la ecta : y λ 5 + λ Obtén, aemá, la ecuación e la ecta pepenicula a que contiene a P º) Plano π pepenicula a y que contiene a P Ejemplo: Calcula la itancia el punto ( 5,,6 ) Po e π pepenicula a, u ecto iecto (,,) e un ecto nomal e π Tomano n : π : x y + z + D 0 Y, como π ha e contene al punto P, e tiene: 5 ( ) + 6+ D 0 D La ecuación e π e: π : x y + z + 0 º) Obtención e P También e puee obtene P x y z 5 y 0 utituyeno la ecuacione paamética e la ecta (punto x + z 0 genéico e ) y 0 P ( λ, λ, 5 + λ) x + z 0 P (,,4 ) en la ecuación el plano π, obtenieno aí el alo e λ x y + z + 0 º) ( P, P ) ( 5) + ( ( ) ) + ( 4 6) u Obtención e la ecta pepenicula a que contiene a P: Un ecto iecto e la ecta e P P (,, ) po e P y P punto e éta: : x, z 5,,6 + λ,, λ ( ) ( ) ( ) R Depatamento e Matemática 6 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II Ota foma: Tomo: λ y λ λ λ : y λ λ R λ Po tanto: A( 0, 0, 0) SEGUNDO MÉTODO: Utilizano el poucto ectoial (Má fácil y ápio) Sabemo que: A A Paalelogamo Paalelogamo ( P,) AP AP h AP h h AP Ditancia e un punto P a una ecta Inconeniente: No e obtiene la poyección otogonal e P obe ( P ) ni la ecta pepenicula a que contiene a P Ejemplo : Calcula la itancia ente el punto P (,4,) y la ecta : ( x, z) (,, ) + λ(,,),, A ( ) e un punto e la ecta y (,,) i un ecto iecto AP ( 0,, ); AP 0 i + j k AP (,, ) AP ( P, ) u j k 9 + 4 + + 4 + 4 6 y 0 P a la ecta : x + y z 0 Un punto e la ecta e A ( 0,0,0) y un ecto iecto n n ieno n y n lo ectoe nomale e lo plano que efinen la ecta i j k n n 0 i + j + k (,, ) Ejemplo : Calcula la itancia el punto (,, ) (,, ) i AP (,, ) ; AP 7i j k AP ( 7,, ) AP j ( P, ) u k 49 + 9 + 4 + + 4 Ejecicio: Sea el tiángulo eteminao po lo punto A (,4, ), B ( 0,0,) y (,, ) 6 6 9 Halla la itancia el punto B a la ecta eteminaa po A y C A continuación, calcula el peímeto y el áea e ete tiángulo 4 05 4 B, P + 5 + 0 u A u ( ) u 5 5 C Depatamento e Matemática 7 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II TERCER MÉTODO: Ota foma e obtene P Si etomamo el ejemplo el pime métoo: P λ, λ, 5 + λ e un punto genéico e la ecta ( ) P P( 4 + λ, + λ, λ) El ecto que no inteea e pepenicula a la ecta : P P P P 0 Po tanto: (,, ) (4 + λ, + λ, λ) 0 4 + λ + λ + λ λ ( ) ( ) ( ) 0 P P(,,) y P (,,4 ) ( P, ) ( P, P ) PP + ( ) + u DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La itancia e un punto P a un plano π, e la mínima itancia ente P y un punto cualquiea el plano π Se ecibe ( P,π) ( P,π) ( P,P ) A P e le llama poyección otogonal e P obe el plano π Si el punto P petenece al plano ( P, π ) 0 y ecípocamente PRIMER MÉTODO: A pati e la poyección otogonal e un punto obe un plano º) Se halla la ecta pepenicula a π que contiene a P º) Se calcula P como inteección e y π º) Se calcula ( P, P ) Fíjate: ete métoo no pemite obtene P y la ecta pepenicula a π que contiene a P P al plano π : 4x + y 4z + 0 Obtén paa ello la poyección otogonal el punto P obe el plano π º) Recta pepenicula a π que contiene a P Po e pepenicula a π, el ecto nomal e π eá el ecto iecto e o uno popocional Ejemplo: Calcula la itancia el punto (,0,) n ( 4,, 4) (,, ) Po tanto : ( x, z) (,0,) + λ(,, ) º) Obtención e P x + y z y + 0 4 4 x + z 0 y + 0 7 0 x + z 0 P,, 9 8 9 4x + y 4z + 0 También e puee obtene P utituyeno la ecuacione paamética e la ecta (punto genéico e ) P ( + λ, λ, λ) en la ecuación el plano π, obtenieno aí el alo e λ 5 8 7 6 7 0 º) ( P, P ) (( ) ( ) ) + ( 0) + ( ) u 9 8 9 Depatamento e Matemática 8 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II SEGUNDO MÉTODO: Má fácil y ápio Bata aplica la fómula: Ap + Bp + Cp + D ( P,π) Ditancia e un punto P a un planoπ A + B + C ieno ( p, p p ) P y π : Ax + By + Cz + D 0, Inconeniente: No e obtiene la poyección otogonal e P obe π ( P ) ni la ecta pepenicula a que contiene a P P al plano π : 4x + y 4z + 0 Ap + Bp + Cp + D 4 ( ) + 0 4 + 7 P, π u A + B + C 4 + + 4 6 Ejemplo : Calcula la itancia el punto (,0,) ( ) Ejemplo : Calcula la itancia el punto P (,5,0 ) al plano π : (, z) (,0,) + λ(,, ) + μ( 5,, ) x y z 5 x 0 π : 4x 6y + 7z 6 0 ( ) ( P, π ) Ap + Bp + Cp + D A + B + C 4 6 5+ 7 0 6 4 + + 7 ( 6) 5 5 0 57u 0 0 4 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS La itancia ente o ecta y e la mínima itancia ente un punto cualquiea e y un, punto cualquiea e Se ecibe ( ) Cao º: Recta coinciente o ecante En ete cao e clao que (,) 0 Ejemplo: Calcula la itancia ente la ecta : ( x, z) (,,) + λ(,,) : ( x, z) (,,4 ) + μ(,, ) En pime luga eteminamo u poición elatia (,,) (,, ) y la ecta y e cotan o e cuzan Sean A(,, ) y B(,, 4) AB (,,) et (,, AB) 0 ang(,, AB) y e cotan (, ) 0 Depatamento e Matemática 9 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II Cao º: Recta paalela Si //, tomamo un punto e una e ella y calculamo u itancia a la ota (itancia e un punto a una ecta) Ejemplo: Halla la itancia ente la ecta y, ieno: x y z x y z : : En pime luga eteminamo u poición elatia: (,, ) y on paalela o coinciente (,, ) Sea A(,0,) Veamo i A eifica la ecuación e 0 A y on paalela Calculamo la itancia el punto A a la ecta Sea B(,,) BA ( 0,,0 ) BA i j k 0 0 i + k BA BA (,0, ) ( A, ) u + 0 + + 4 + 6 Cao º: Recta que e cuzan Sabemo que: [ Paalelepípeo AB,, ] V V Paalelepípeo (, ) A bae Altua (, ) (, ) [ AB,, ] [ ] (, ) AB,, Ditancia ente o ecta que e cuzan Cao : Ota foma Ejemplo: Calcula la itancia ente la ecta y : Daa y que e cuzan: 5 + λ 4 + μ Se calcula el plano π paalelo a : y : y μ que contiene a 8 + λ 5 + 4μ Se calcula (,π ) (,) (,π ) En pime luga eteminamo u poición elatia: Nota: Paa aplica ete (,0, ) 0 métoo e neceaio el y e cotan o e cuzan apatao 6 Ditancia (,,4 ) 4 ente ecta y plano Sean A( 5,, 8) y B(,, 5) AB,4, et 4 ( ) (,, AB) 4 0 9 0 ang( AB,, ) 4 y e cuzan Depatamento e Matemática 0 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II Calculamo la itancia ente la ecta: 4 (E el mimo eteminante e ante peo [ AB,, ] 0 9 ; con lo ectoe pueto po fila) 4 i j k 0 i + j k (,, ) 4 ( ) [ AB,, ] 9, u 4 + 4 + 5 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS Si lo plano on coinciente o ecante, u itancia e ceo, ( π, ) 0 π Si lo plano on paalelo, u itancia e calcula tomano un punto e uno e lo plano y hallano u itancia al oto plano: ( π,π ) ( P,π ), con P π utilizano cualquiea e lo o métoo que e han etuiao Ejemplo: Halla la itancia ente lo plano π : x 4y + 4z + 0 y π : x y + z 0 4 4 Como Lo plano π y π on paalelo Tomamo un punto el plano π Si y 0, z 0 x Po tanto, P (,0, 0) π 0 + 0 5 ( π, π ) ( P, π ) u + 4 + 4 6 Nota: No obtante, exite oto encillo métoo e calcula la itancia ente o plano paalelo iempe que u coeficiente A, B y C COINCIDAN En cao contaio ebemo igualalo peiamente: ( π,π ) A D D + B + C Ejemplo: Halla la itancia ente lo plano π : x + y 6z 4 0 y π : x + y 6z + 0 4 ( π, π ) + + ( 6) Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética 5 4 u
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II 6 DISTANCIA ENTRE RECTA Y PLANO Si la ecta etá incluia en el plano o i la ecta y el plano on ecante, u itancia e ceo,, π ( ) 0 Si la ecta y el plano on paalelo, u itancia e calcula tomano un punto cualquiea e la ecta y hallano u itancia al plano (,π) ( P,π), con P x y z+ Ejemplo : Calcula la itancia e la ecta : al plano π : x y z + 6 0 5 Sean ( 5,, ) y n (,, ) n ( 5,, ) (,, ) 5 6 + 0 n // π o bien π Tomamo el punto P(,, ), ( ) + 6 8 8 (, π ) ( P, π ) 4u y //π + 9 +, π 0 Fíjate: Si hubiee etao contenia en el plano π entonce ( ) Ejemplo : Halla la itancia ente la ecta : ( x, z) (,,0 ) + λ(,4, ) y el plano π : x + y + z 0 Sean (,4, ) y n (,, ) Po tanto, n (,4, ) (,, ) + 4 6 0 La ecta y el plano e cotan en un punto, po tanto, (, π ) 0 y 0 Ejemplo : Halla la itancia ente la ecta : y el plano π : x + y z + 0 x z 0 Ota foma: Tomo: x λ Conieamo la matiz M y la matiz ampliaa ( M b), aociaa al itema λ fomao po la ecuacione e y π, paa halla u poición elatia : y + λ x y 0 0 x z M 0 ( M b) 0 + λ x + y z Po tanto: P( 0,, ) Como ang ( M ) y ang( M b) y π on paalelo (,, ) Calculamo un punto e la ecta : i y 0 x 0 x y e hace como en z 0 z P(,0, ) el ejemplo + 0 ( ) + 7 7 6 (, π ) ( P, π ) 86 u + + 4 6 6 Fíjate: Si tomo x 0 y ; z P( 0,, ) Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II PLANO MEDIADOR Y PLANO BISECTOR PLANO MEDIADOR Se llama plano meiao e un egmento, al plano pepenicula a éte en u punto meio E el luga geomético e lo punto el epacio que equiitan e lo extemo el egmento: Ota foma: Ejemplo: Detemina el plano meiao el egmento AB cuyo extemo on lo punto Calcula el plano π A (,,0 ) y B (,0,) que paa po el punto Sea P ( x z) P, A P, B meio e AB, y que tiene como ecto ( x + ) + ( y ) + ( z 0) ( x ) + ( y 0) + ( z ) nomal n AB x + 6x + 9 + y y + + z x 4x + 4 + y + z 6z + 9 Ejecicio: El mimo π : 0x y + 6z 0 po ete métoo PLANO BISECTOR, un punto cualquiea el plano meiao π ( ) ( ) Se llama plano biecto e o plano π y π al luga geomético e lo punto el epacio que equiitan e ambo plano: ( P,π ) ( P, ) π Fíjate: En ealia exiten o plano biectoe que iien a lo itinto ángulo ieo en o pate iguale Ejemplo: Coniea lo plano π : x + y z + 0 y π : x 4y 5 0, y etemina la ecuación e u plano biectoe x + y z + x 4y 5 ( P, π ) ( P, π ) + + + 4 + 0 x + y z + x 4y 5 5 De aquí obtenemo o plano: ( ) ( ) 5 x + y z + x 4y 5 π : x + y 5z + 0 0 0x + 0y 5z + 5 ± ( 9x y 5) π :9x y 5z 0 4 PERPENDICULAR COMÚN Se llama pepenicula común e o ecta que e cuzan a ota ecta ecante a éta y pepenicula a amba Fíjate: Hay infinita ecta pepeniculae a o ecta que e cuzan peo ólo una que la cota Poceimiento paa obtene la pepenicula común t : Daa o ecta que e cuzan ( A, ) y ( B, ) º) Calculamo w ecto otogonal a y º) Hallamo lo plano ( π A, ) 44, w y π ( B, ) 44, w contiene a contiene a º) La pepenicula común iene aa po la inteección e π y π Po tanto, expeamo éta con u ecuacione implícita, a pati e la ecuacione e π y π Fíjate: w e un ecto iecto e la pepenicula común t ( P, A) ( P,B) Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
A B IES Pae Poea (Guaix) Matemática II Ejemplo : Halla la pepenicula común a la ecta : ( x, z) (,,) + λ(,, ) : ( x, z) (,,) + μ(,,5) i j k 8i + 8 j + 4k 5 En luga e ete ecto tomamo w (,, ) paalelo a Calculamo ( π A, ) 44, w y π ( B, ) 44, w contiene a contiene a y ( 8,8,4) x π : y 0 π : 7x 4y z 0 z 7x 4y z 0 t : x x 4y + z + 0 π : y 0 π : x 4y + z + 0 Pepenicula común a y z 5 Ota foma: El iguiente ejemplo no mueta una aiante el anteio, que a a pemiti aboa el poblema el cálculo e la pepenicula común ee oto punto e ita: + μ Ejemplo : Sabieno que la ecta : x y z y : y + μ e cuzan, halla lo μ punto A y B, e y epectiamente, que etán a mínima itancia λ + μ P( 0,0,0) Q(,,0 ) Como : x y z : y λ ; : y + μ (,, ) λ (,, ) μ Punto genéico e : A ( λ, λ, λ) Punto genéico e : B + μ, + μ, μ ( ) Fíjate: ( A B) (, ) Sea t la pepenicula común a y A y B etán ituao en t, e eci, A t y B t Po tanto un ecto iecto e t, AB ( + μ λ, + μ λ, μ λ), eifica: AB AB 0 ( + μ λ, + μ λ, μ λ) (,, ) 0 AB 0 ( + + ) ( ) μ λ, μ λ, μ λ,, 0 AB + μ λ + + μ λ μ λ 0 λ + μ 4 λ ; μ + μ λ + + μ λ + μ + λ 0 λ + μ 4 Con lo que lo punto bucao on A (,,, ); B( 0,,),, luego ete métoo también pemite calcula la itancia ente o ecta que e cuzan Depatamento e Matemática 4 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Matemática II 5 SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UN PLANO Ejemplo: Halla el punto imético e (,0,) π : x y + z º) Se halla la ecta que paa po P y e pepenicula a π + λ n(,,) : y λ P epecto el plano + λ º) Se obtiene el punto e cote M e π y + λ λ + + λ λ λ M º) P ( x, z) ( ) (,, ) e el imético e P epecto a M (M e el punto meio e P P ) x + y z +,,,, P,, 6 SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA Ejemplo: Detemina el punto imético e (,, 7) x + y z + : P epecto e la ecta º) Se halla el plano π que contiene a P y e pepenicula a n,, : x + y + z + D 0 + 4+ D 0 D Po tanto, π : x + y + z + 5 0 º) Se obtiene el punto e cote M e y π x + λ : y + λ + λ + 6 + 4λ + 4λ + 5 0 + λ 9λ + 8 0 λ M (,, 5) P x, z e el imético e P epecto a M ( ) 5 º) El punto ( ) x y + z 7,, (,, 5) P (,, ) 7 RECTA QUE SE APOYA SOBRE OTRAS DOS 7 RECTA QUE SE APOYA EN OTRAS DOS Y QUE PASA POR UN PUNTO Paa etemina la ecuación e la ecta que e apoya en ota o y que paa po un punto P: º) Se obtiene el plano π que contiene a y a P º) Se obtiene el plano π que contiene a y a P º) La ecta bucaa t iene aa po la inteección e π y π 7 RECTA QUE SE APOYA EN OTRAS DOS Y QUE ES PARALELA A UNA DADA Paa etemina la ecuación e la ecta que e apoya en ota o y y que e paalela a ota ecta t ( t e un ecto iecto e la ecta t): º) Se obtiene el plano π que contiene a y a t (paalelo a t) º) Se obtiene el plano π que contiene a y a t (paalelo a t) º) La ecta bucaa iene aa po la inteección e π y π Depatamento e Matemática 5 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética
IES Pae Poea (Guaix) Ejemplo: Detemina la ecuación e la ecta que paa po (,, ) P y e apoya en: x y z + x y z : : A(,0, ) B( 0,,) : : (,, ) (,, ) º) Plano π que contiene a y a P x 0 AP( 0,,) π : y 0 π :x + y + z 0 z + º) Plano π que contiene a y a P x BP,,0 π : y z 0 ( ) 0 π :9x + y 5z + 4 0 º) Ecuación e la ecta bucaa: + y + z 0 t : 9x + y 5z + 4 0 Matemática II Depatamento e Matemática 6 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética