Práctica II: Problemas de valor inicial en EDO s.

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS o Ing. de Telecomunicación y Aeronáutica) Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla CURSO ACADÉMICO 008-009 Práctica II: Problemas de valor inicial en EDO s. 1 Introducción Es sabido que sólo en unos cuantos casos se puede expresar la solución de una ecuación diferencial ordinaria por medios analíticos y que, en general, es imposible resolver el problema de Cauchy aun cuando se sepa que tiene solución única, por lo que es necesario desarrollar métodos que permitan obtener aproximaciones precisas de esa solución. En esta práctica, utilizaremos un método numérico para resolver problemas de valores iniciales. SellamaproblemadevalorinicialoproblemadeCauchyenunintervalo[t 0,t f ], al dado por una EDO y una condición inicial en la forma: y 0 = ft, yt)), yt 0 )=y 0. En general, los métodos numéricos se basan en la discretización de la variable independiente t tiempo o espacio) sustituyendo el intervalo [t 0,t f ] por una malla finita de n +1puntos o nodos t i i =1,...,N) en los que se obtiene la solución de modo aproximado. La distancia entre dos nodos consecutivos de la malla h i = t i+1 t i se denomina paso. El objetivo es definir una estrategia que nos permita producir una sucesión {y n } con n =1,...,N que aproxime a la solución exacta yt) en los puntos t n de la malla. A esa sucesión se le llama solución numérica del problema de Cauchy. MATLAB dispone de varias funciones para resolver numéricamente Problemas de Valor Inicial. En esta práctica, nos centramos en la orden ode45, aunque su utilización se generaliza a las funciones de tipo ode**. Lafunciónode45 está basada en un algoritmo de tipo Runge-Kutta, que se desarrolló a partir del método de Euler mejorado. En las aplicaciones, el método de Euler básico resulta ineficiente y por ello se han desarrollado varios método numéricos de tipo Runge-Kutta. 1

Uso de la función matlab ode45..1 La sintaxis simple. [T,Y]=ode45funcion, tiempos,y0) funcion es el nombre de una función que evalúa el segundo miembro de la ecuación, esto es, ft, yt)). Puede ser un objeto inline o bien una referencia a una m-función del tipo fun.m. tiempos es el intervalo en el que se quiere calcular la solución que puede ser [t0,tf] o bien un vector cuyas componentes constituyen una partición t 0 <t 1 < <t f. y0 es el valor de la condición inicial. T es un vector columna con la partición realizada en el intervalo [t0,tf]. Y es una matriz con tantas columnas como componentes tenga y 0 ytantasfilas como componentes tenga el vector T. Ejercicio 1 resuelto. Calcular en el intervalo [1,π] la solución de y 0 =t + y, y1) = 0.5. >> f=inline *t+y, t, y ); >> [T,Y]=ode45f,[1,pi],0.5); La gráfica se puede dibujar con >> plott,y) En este ejemplo puede observarse que los métodos ode** son de paso variable. Para observar esto, consulta la ayuda de matlab sobre la función diff yteclea >> plott:lengtht)),difft)) Otra forma de definir la función asociada es usar un m-archivo llamado mifun.m de la forma: function [dydt]=mifunt,y) dydt=*t+y; Despuésseejecuta: >> [T,Y]=ode45@mifun,[1,pi],0.5); Con el símbolo @, MATLAB entiende que es una función de nueva creación. Hay otra forma alternativa de llamar a una función con ode45: >> [T,Y]=ode45 mifun,[1,pi],0.5); Para usar esta alternativa, la función mifun debe estar grabada en otro fichero llamado mifun.m. Ejercicio. Calcular la solución al PVI correspondiente a y 0 =0.cos t )y, y1) = 0.5 usando una partición del intervalo [1,π] en 40 subintervalos usar la orden linspace de MATLAB). Hacemos notar que la resolución de sistemas diferenciales con MATLAB se hace igual que la de EDO sólo teniendo en cuenta que, en ese caso, la función del segundo miembro y

la condición inicial toman valores vectoriales. Todos los vectores deben introducirse como vectores columnas. Ejercicio 3 resuelto. Resolverenelintervalo[0, 5π] el PVI y1 0 = y y 3, y 0 = 0.7y 1 y 3, y3 0 = 0.51y 1 y, y 1 0) = 0, y 0) = 1, y 3 0) = 1. Escribimos el sistema en forma vectorial como Y 0 = ft, Y )= y y 3 0.7y 1 y 3 ; Y 0) = Y 0 = 0 1. 0.51y 1 y 1 >> f=inline [y)*y3);-0.7*y1)*y3);-0.51*y1)*y)], t, y ); >> [T,Y]=ode45f,[0,5*pi],[0;1;1]) Ejercicio 4 resuelto. Resolución de un problema con la ecuación de Van der Pol de parámetro μ =1en el intervalo [0, 0]: y 00 1 y )y 0 + y =0, y0) =, y 0 0) = 0. Usando el cambio y 1 = y; y = y 0, el sistema diferencial asociado es: µ µ Y 0 y = ft, Y )= 1 y1)y ; Y 0) = Y y 0 = 1 0 Construimos la función de Matlab que evalúe el segundo miembro función asociada): function dydt=vderpt,y) dydt = [y);1-y1)^)* y)-y1)]; Observe que: en la definición de la funcion vderp ha de escribirse la variable independiente t. la matriz dydt debe ser escrita por columnas. Si queremos integrar numéricamente el problema de Cauchy y obtener una representación gráfica de las dos componentes de la solución al sistema, escribimos: >> [T,Y]=ode45@vderp,[0,0],[;0]); >> plott,y:,1), T,Y:,)); Posteriormente podemos escribir lo siguiente para clarificar el dibujo. >> legend y_1, y_ );xlabel t );ylabel y_1,y_ ). 3

Observar que la primera componente y 1 es realmente la solución al problema de Van der Pol. Si queremos representar una curva en el plano de fases: >> ploty:,1),y:,)) Si queremos conocer el valor aproximado de la solución para un valor t que no está en la partición T creada por el programa, podemos interpolar con la orden deval: >> sol=ode45@vderp,[0 0],[ 0]); >> valor=devalsol,4.5) valor = -1.3679 0.8764 Ejercicio 5. Resolverenelintervalo [0, 5] el siguiente problema de segundo orden y obtener una aproximación de la solución para t =: y 00 = 1 seny), y 0 y0) = 1, y 0 0) = 1.. La sintaxis general: opciones y parámetros. [T,Y]=ode45funcion, tiempos,y0, options, p1,p,... ) El argumento options es una estructura creada con la orden odeset donde podemos indicar una serie de parámetros que intervienen en el cálculo. Podemos averiguar los valores que utiliza por defecto la orden ode45 ejecutando el comando odeset sin argumentos: >> odeset Ver ayuda de Matlab para más detalles. Si no se necesita, poner una matriz vacía [ ] en su lugar. Los argumentos p1, p,... son parámetros que serán pasados como argumentos a la función creada fun.m cuando sea llamada. Ejercicio 6 resuelto. Escribir un programa que permita resolver el siguiente problema de Cauchy para la ecuación de Van der Pol general: y 00 μ1 y )y 0 + y =0, y0) = 0, y 0 0) =. Previamente, creamos la función asociada en un m-fichero que se llame fun.m: function dydt=funt,y,mu) dydt = [y);mu*1-y1)^)*y)-y1)]; En otro m-fichero escribimos las órdenes: function vanderpolt,mu) 4

[T1,Y]=ode45@fun,[0,T],[0;],[ ],mu); plott1,y:,1), T1,Y:,)),shg legend y1, y ) pause ploty:,1), Y:,)),shg Los métodos en los que están basados las órdenes ode de MATLAB utilizan el control del paso como herramienta para conseguir el compromiso entre la precisión deseada y el costo numérico. Aun así, podemos encontrarnos con problemas numéricos como el problema de stiffness, en el que los cálculos numéricos internos al programa llevan a resoluciones erróneas. Introducimos los valores T =0, μ =1, μ =10yμ =1000 para observar cuándo aparece oscilación brusca de la solución. En general, una posible solución a este problema consiste en proporcionar el jacobiano para evitar que éste sea determinado numéricamente. Utilizar ahora los siguientes ficheros: function dfdt=jacobianot,y,mu) dfdt = [0,1;-*mu*y1)*y)-1,mu*1-y1)^)]; function vanderstifft,mu) options=odeset Jacobian,@jacobiano); [T1,Y]=ode45@fun,[0,T],[0;],options,mu); plott1,y:,1)) axis[0,t,-.5,.5]) Ejercicio 7. Escribir un programa para resolver en el intervalo [0, 6π] el problema siguiente para distintos valores del parámetro a. Obtener la gráfica de la solución aproximada para los valores a =1y a = 1. y 0 = a cos t )y, y0) = 1. Ejercicio 8. Considerar el problema dy dt = y 4e 3t, y0) = 1. Utilizar ode45 para encontrar una solución aproximada en el intervalo [0, 3]. Qué parece ocurrir cuando t crece? A continuación dibujar la solución en un intervalo más largo que vaya al menos hasta t =0). Qué ocurre cuando t crece? Resolver el PVI exactamente, comparar la solución exacta con la aproximación de Matlab e interpretar los resultados. 5