Ecuación de segundo grado

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (008) Fundamentos de Matemáticas, Unidad 5 Ecuaciones e Inecuaciones, CIU 008, UNEFA, Caracas. Ecuación de segundo grado Es una ecuación polinómica cuyo grado es dos (el mayor eponente de la variable es ). Por ejemplo a) 0 b) y y c) En los ejemplos propuestos, (a) está ordenada e igualada a cero; (b) está ordenada pero no está igualada a cero; y (c) no está ordenada ni igualada a cero. Solución de una ecuación de segundo. grado Para hallar la solución de una ecuación cuadrática (segundo grado) es recomendable ordenarla en forma descendente e igualarla a cero, así tendremos: a) 0 b) y y - 0 c) 0 Resolver una ecuación cuadrática implica encontrar los valores de la variable que al reemplazarla satisfagan la ecuación. No todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución dentro del conjunto de los números reales; para algunas ecuaciones la solución pertenece al conjunto de los números imaginarios (lo cual está fuera del objetivo de esta unidad). La ecuación general de segundo grado con una incógnita, se epresa como: a b c 0, donde: a es el coeficiente de, a 0, b es el coeficiente de y c es el término independiente. La solución (si eiste) de una ecuación de segundo grado, se obtiene mediante la fórmula cuadrática o resolvente: b b bc a Tenga presente que el denominador a pertenece a toda la epresión y no sólo a la raíz cuadrada. La epresión b ac se denomina el discriminante ( ) de la ecuación cuadrática y determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Se nos pueden presentar tres casos: Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 a) Si b ac es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. b) Si b ac es cero, la ecuación tiene sólo una solución real. c) Si b ac es negativo, la ecuación no tiene solución en los números reales. Resolveremos ahora algunos ejemplos mediante la fórmula cuadrática: Ejemplo : Hallar la solución de la ecuación 0, determinamos los valores de a, b y c. a = b = c = - Luego calculamos el valor del discriminante: b ac ()( ) 9 5 Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando en la resolvente, tenemos: 5 ; ( ) 5 Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución: 5 Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda 5 8 solución: Las soluciones de la ecuación son y, pues al reemplazar estos valores en la ecuación original, ésta se cumple. Comprobación: Si Si 0 0 0 0 0 8 8 = 0 0 0 0 0 = 0 Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 En ambos casos, se cumple la ecuación Respuesta: La solución de la ecuación 0 es y Ejemplo : Resuelve 9 0 Determinamos los valores de a, b y c: a = 9 b = c = Luego calculamos el valor del discriminante: b ac (9)() 0 Como el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene una solución real. b b bc ; a La solución de la ecuación es ésta se cumple. Compruébalo. - ; 9 8, pues al reemplazar este valor en la ecuación original, Ejemplo : Resuelve la ecuación 5 0 Determinamos los valores de Luego calculamos el valor del discriminante: a, b y c : a = b = - c = 5 b ac ()(5) 9 0 Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real. Respuesta: la ecuación 5 0, no tiene solución en los números reales. 5 Ejemplo : Resuelva - 0 Determinamos los valores de a, b y c : a = Luego calculamos el valor del discriminante: 5 b c = - b ac 5 5 9 ()( ) Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando en la resolvente, tenemos Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 5 ( ) 9 5 Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución: 5 8 Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda solución: 5 8 8 5 Respuesta: Las soluciones de - 0 son y Ejemplo 5: Resuelva 5 m m Primero escribimos la ecuación en su forma general, pasando todos los términos para la izquierda e igualando a cero: 5 m m 0 Determinamos los valores de a, b y c. a 5 b c En este caso específico podemos convertir la ecuación en entera, para trabajar con mayor facilidad. Si queremos llevar esta ecuación cuadrática a una equivalente, multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación, mcm(,) =. 5 m m 0 Luego simplificando, nos queda la siguiente ecuación cuadrática: 5m m 0 a 5 b c Ahora calculamos el valor del discriminante: Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 b ac (5)( ) 0 5 Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando en la resolvente, tenemos 5 m 0 m 0 Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución: m 0 0 0 Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda solución: m 0 0 5 Respuesta: Las soluciones de 5 m m son m y m 5 Aplicaciones directas de la ecuación de segundo grado La solución de una ecuación de segundo grado es una de las herramientas más útiles en matemática, pues con mucha frecuencia se presenta en ejercicios de diferente índole. En este apartado estudiaremos algunas aplicaciones directas. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo : Encuentra los valores de, tal que d d 0, tenga sólo una raíz. De la definición del discriminante, sabemos que cuando b ac es igual a cero (0), la ecuación tiene una sola raíz. Por lo tanto, el primer paso es determinar los valores de a, b y c a, b d y c d Luego se sustituyen en el discriminante e iguala éste a cero. 0 b d d ac 0 0 d d d 0 d d d 0 Resolvemos esta ecuación resultante, utilizando la fórmula cuadrática, d d 0, donde a b c Ahora calculamos el valor del discriminante: 0 Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página 5

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 b ac ()( ) 8 Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales. Reemplazando en la resolvente, tenemos d ( ) () d 8 Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución: d 8 Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda 8 solución: d Las soluciones de la ecuación son d, d, es decir, que los valores de d que hacen que la ecuación en, d d 0 tenga una sola solución, son d, d y las ecuaciones resultantes de sustituir los valores de d, son: 0 y 9 0. Ejemplo 7: Resolver la ecuación 5 0 Esta es una ecuación de cuarto grado, sin embargo, puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática o Factorizando, ya que todas las potencias de la variable son pares. Para tal efecto debemos hacer un cambio de variable. Digamos que en la ecuación nos queda: m 5m 0 Aplicando la fórmula cuadrática para Calculamos el valor del discriminante: a b 5 c m, sustituyendo b ac 5 ()( ) 5 9 Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando en la resolvente, tenemos m ( 5) () 9 5 m Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución: m 5 8 Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda 5 8 solución: m Una vez encontrados los valores de m, debemos devolver el cambio de variable: 9 si m entonces m Si tomamos el valor de m 9, entonces 9, es decir, Si m, al sustituir en, nos queda (*), por lo tanto, la solución de la ecuación 5 0, es y. (*) Recordemos que si la cantidad sub-radical de una raíz de índice par es negativa, dicho número no pertenece a los números reales, por lo tanto, decimos que no es solución de la ecuación. Con los dos últimos ejemplos, hemos querido indicar que podemos aplicar la resolverte en ecuaciones, que en su forma original no son cuadráticas, pero pueden transformarse en tales, mediante operaciones adecuadas. Ejemplo 8: Factorice la ecuación 5y y 0 En este tipo de ecuaciones (con dos o más variables) debemos elegir una de las variables como básica y determinar su valor en función de las otras. Digamos que es nuestra variable base, entonces reescribimos la ecuación: (5y) y 0, donde a, b 5y y c y Calculamos el valor del discriminante: b 5y ()( y ) 5y y 9 ac y Como el discriminante resultó positivo, para cualquier valor de y, la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando en la resolvente, tenemos 5y 9y ( ) 5y 7y Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página 7

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Donde son 5y 7y y 5y 7y y y y y. Luego las soluciones y y y. Por lo tanto, la factorización queda de la siguiente forma: 5y y y y = y y Respuesta: 5y y y ( y) Ejercicios Propuestos Encuentra las soluciones de cada ecuación planteada:. 0 0. 0. 0. 5.. 0 7. y y 0 8. m m 0 9. 9y y 0 0. 8 m m. t t. p p 0. 5 0. y 7y 5. t t. 7. 8. m m 9. 5 0. 5 0 Encuentra los valores reales de k para que la ecuación tenga sólo una solución.. k 0. k 7. k k k 0 5. k k 0. k k 0 Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones.. 5 7 7. 5 5 Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página 8

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Aplicaciones Directas. 8. Para la ecuación cuadrática a b c 0 a) Demuestra que las sumas de sus raíces es igual a b) Demuestra que el producto de sus raíces es igual a b a c a 9. Si la ganancia mensual de una empresa puede epresarse como G() = 0,005 +7.000, donde es el número de unidades producidas. Determina el número de unidades que producirá una ganancia de BsF 900. 0. Cierta deuda se pagará en n meses, donde n n En cuántos meses se pagará la deuda?. Para qué valor o valores de el costo iguala a la ganancia, si el costo es: C() = 5 y la ganancia es G() = 7? Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página 9

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Ecuaciones Radicales Una ecuación radical es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo el signo radical. Son ejemplos de ecuaciones radicales: a).. b) c) 7 0 Para resolver una ecuación radical se debe tener en cuenta lo siguiente: Si A y B son dos epresiones algebraicas, entonces A = B es una ecuación algebraica, y su conjunto de soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación A n = B n donde n es cualquier entero positivo. Ejemplo 9: Resuelva Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera: Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad. Desarrollamos el producto notable a b a ab b del lado derecho 0 Despejamos los valores de, para igualar la ecuación a cero. Entonces nos queda una ecuación cuadrática. 7 0 0, donde a, b 7 y c 0 Ahora calculamos el valor del discriminante: b ac 7 ()(0) 9 0 9 Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando en la resolvente, tenemos ( 7 ) ( ) 9 7 7 0 7 Donde 5 y Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página 0

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática, debemos comprobar ambos valores de en la ecuación original, por sustitución. Para 5 la igualdad se cumple 5 5 5 9 (cierto) Para la igualdad también se cumple 0 0 (cierto) Respuesta: La solución de la ecuación, es 5 y. Ejemplo 0: Resuelva 5 Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera: Primero elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad, para no alterar el valor de la epresión. 5 En el lado izquierdo de la ecuación, tenemos una raíz cuadrada elevada al cuadrado, la cual da como resultado la epresión sub-radical. En el lado derecho de la ecuación tenemos un binomio al cuadrado (producto notable): a b a ab b donde a y b. Desarrollando, simultáneamente ambos lados de la ecuación, tenemos 5 5 Despejamos la raíz cuadrada resultante 5 Nuevamente, elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad Desarrollamos el producto notable del lado izquierdo y el cuadrado del lado derecho 9 8 9 9 9 8 9 8 9 0 8 9 8 0 Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Ahora la ecuación puede resolverse mediante la fórmula cuadrática, donde: a 9, b y c b b ac a 9 9 8 7 08 78 8 8 8 8 5 8 8 8 8 8 9 Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática, debes comprobar si ambos valores de son la solución de la ecuación original: 5. Ejemplo : Resuelve 7 0 El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos que nunca va a dar cero(0), por consiguiente no eiste valor de que satisfaga la ecuación, en consecuencia la solución es VACIO ( ) Ejemplo : Resolver.... Eleva a la cuatro ambos miembros. Resuelve las potencias. 0 Agrupa términos semejantes 70 Divide entre ambos miembros 70 Eleva al cuadrado ambos miembros 900 Resuelve las potencias 90 Pasa el sumando para el otro lado de la igualdad Comprueba por ti mismo la solución a la ecuación, sustituyendo el valor de 90 Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Ejemplo : Resuelva... Multiplica por el m.c.m que es Resuelve los productos y simplifica Eleva al cuadrado ambos miembros y Resuelve 5 0 Factoriza ( )( ) 0 Si a b 0 a 0 ó b 0 Por consiguiente y. Verifica si cada una de ellas son soluciones de la ecuación. Respuesta: La única solución de es. Ejemplo : Resolver Eleva al cuadrado ambos miembros Resuelve las potencias Suma a ambos lados Eleva al cuadrado ambos miembros 8 Resuelve las potencias 0 8 Agrupa términos semejantes Por consiguiente, 0 Respuesta: La única solución de es 0. Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 Ejercicios Propuestos Encuentra las soluciones de cada ecuación:. 5 9.. 5 9. 5 5. 5. 5 0 7. 8. 0 9. 7 0 0. t t. 5 0 0.. Se ha determinado que el número de materias, solicitadas por los estudiantes en cierto semestre de una universidad, viene dado por. Determina la menor y mayor cantidad de materias solicitadas. Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales Página