Curso 2004/05 Primer Parcial Francisco José González Gutiérrez Cádiz, 20 de Noviembre de 2004
Curso 2004/05 Primer Parcial 1 En una encuesta realizada entre 30 espectadores acerca de sus preferencias cinematográficas se obtienen los siguientes resultados: A 10 no les gusta las películas de terror, ni las de ficción, ni las comedias A 15 no les gusta las películas de terror ni las de ficción A 14 no les gusta las de terror ni las comedias A 13 no les gusta las de ficción ni las comedias A 21 no les gusta las películas de ficción A 21 no les gusta las de terror A 19 no les gusta las comedias Calcular, razonadamente, el número de espectadores a los que (a) les gusta las tres clases de películas (b) Les gusta las películas de ficción (c) Les gusta únicamente las comedias Solución Llamaremos T, F y C a los conjuntos formados por los espectadores a los que les gusta las películas de terror, ficción y comedia, respectivamente Veamos que datos aporta el enunciado El número total de los encuestados es 30, luego, U = 30 A 10 no les gusta las películas de terror, ni las de ficción, ni las comedias, es decir, T c F c C c = 10 A 15 no les gusta las películas de terror ni las de ficción, o sea, T c F c = 15 A 14 no les gusta las de terror ni las comedias, por lo tanto, T c C c = 14 A 13 no les gusta las de ficción ni las comedias, luego, A 21 no les gusta las películas de terror, es decir, F c C c = 13 T c = 21 A 21 no les gusta las de ficción, o sea, F c = 21 A 19 no les gustan las comedias, por lo tanto, C c = 21 El siguiente diagrama de Venn resume gráficamente la situación 2
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas U T c F c T c F c C T c F c C c (T c F c C c ) c = T F C C c (a) Número de espectadores a los que les gusta las tres clases de películas, es decir, T F C Pues bien, intuitivamente, y con el apoyo de la figura, vemos que el número de espectadores a los que les gusta las tres clases de películas, T F C, será igual al total de espectadores encuestados, U, menos el número de ellos a los que no les guste alguna de las tres clases, T c F c C c En efecto, teniendo en cuenta que la unión de un conjunto con su complementario es el conjunto universal, tendremos U = (T c F c C c ) (T c F c C c ) c y al ser aplicamos el principio de adición, y (T c F c C c ) (T c F c C c ) c = U = T c F c C c + (T c F c C c ) c y aplicando las leyes de De Morgan, (T c F c C c ) c = T F C, luego, T F C = U T c F c C c como intuíamos al principio Así pues, todo consiste en calcular T c F c C c, lo cual a la vista de los datos que aporta el enunciado puede hacerse fácilmente aplicando el principio de inclusiónexclusión para tres conjuntos En efecto, T c F c C c = T c + F c + C c T c F c T c C c F c C c + T c F c C c Por lo tanto, = 21 + 21 + 19 15 14 13 + 10 = 29 T F C = U T c F c C c = 30 29 = 1 es decir, hay un sólo espectador de entre los 30 encuestados al que le gustan las tres clases de películas 3
Curso 2004/05 Primer Parcial (b) Número de espectadores a los que les gusta las películas de ficción, o sea, F Razonando igual que en el apartado anterior, el número de espectadores a los que les gusta las películas de ficción será igual al total de espectadores encuestados menos el número de ellos a los que no les guste ése tipo de películas Pues bien, como la unión de un conjunto con su complementario es el conjunto universal, U = F F c y como aplicamos el principio de adición, y luego, F F c = U = F + F c F = U F c = 30 21 = 9 es decir, hay 9 espectadores entre los encuestados a los que les gusta las películas de ficción (c) Número de espectadores a los que les gusta únicamente las comedias, es decir, T c F c C Obsérvese que únicamente comedias significa que les gusta las comedias y no les gusta las películas de ficción ni las de terror, es decir, es un subconjunto de T c F c cuyo cardinal conocemos Si a éste le restamos el número de espectadores que no les gusta ninguna de las tres, T c F c C c, que también conocemos, tendremos lo que nos piden La figura anterior corrobora lo que decimos En efecto, descomponiendo T c F c en unión de subconjuntos disjuntos, siendo, luego por el principio de adición, de aquí que T c F c = (T c F c C) (T c F c C c ) (T c F c C) (T c F c C c ) = T c F c = T c F c C + T c F c C c T c F c C = T c F c T c F c C c = 15 10 = 5 Consecuentemente, hay 5 espectadores entre los encuestados a los que les gusta únicamente las comedias 2 Se dispone de 25 dulces a repartir entre 10 niños Calcular, razonadamente, de cuántas formas puede hacerse el reparto en los siguientes casos: (a) Todos los dulces son diferentes y ningún niño puede recibir más de un dulce (b) Todos los dulces son diferentes y cada niño ha de recibir, al menos, un dulce (c) Todos los dulces son iguales y ningún niño puede recibir más de un dulce (d) Todos los dulces son iguales y cada niño ha de recibir, al menos, un dulce Solución (a) Todos los dulces son diferentes y ningún niño puede recibir más de un dulce Serían todos los grupos distintos de 10 dulces que podamos elegir entre los 25 dados y que se repartirán según el esquema siguiente: N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 N 10 D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 D 10 D 2 D 1 D 10 D 5 D 4 D 3 D 7 D 8 D 9 D 6 D 14 D 15 D 3 D 4 D 17 D 21 D 22 D 23 D 24 D 10 4
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Donde, naturalmente, N i es el niño i con 1 i 10 y D j es el dulce j con 1 j 25 Como puede observarse las dos primeras formas de repartir son diferentes, luego el orden de colocación de los dulces en los distintos grupos influye en el hecho de que sean distintos Por tanto, el reparto puede hacerse de formas distintas V 25,10 = 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 = 11861676288000 (b) Todos los dulces son diferentes y cada niño ha de recibir, al menos, un dulce Como cada niño ha de recibir, al menos, un dulce, repartimos los 25 dulces diferentes de todas las maneras posibles sin que ningún niño reciba más de un dulce y que por el apartado anterior sabemos que puede hacerse de V 25,10 formas distintas Para cada una de ellas habrá que repartir los 15 dulces restantes sin ningún tipo de restricción ya que cada niño puede recibir cualquier número de dulces Un esquema que refleja tal situación sería: D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 D 10 D 11 D 12 D 13 D 14 D 15 N 1 N 1 N 1 N 2 N 5 N 5 N 5 N 8 N 9 N 9 N 9 N 10 N 10 N 10 N 10 N 5 N 9 N 1 N 10 N 1 N 5 N 5 N 8 N 1 N 10 N 10 N 9 N 9 N 10 N 2 N 7 N 7 N 6 N 7 N 5 N 5 N 5 N 8 N 9 N 2 N 2 N 10 N 1 N 1 N 4 donde, N 1 N 1 N 1 N 2 N 5 N 5 N 5 N 8 N 9 N 9 N 9 N 10 N 10 N 10 N 10 significa que el niño N 1 recibe 3 dulces, el N 2 uno, el N 5 recibe 3, el N 8 uno, el N 9 recibe 3 y el N 10 recibe 4 y así todas las demás Serían por tanto, todos los grupos de 15 elementos (dulces) que puedan elegirse entre 10 elementos dados (niños) influyendo el orden (obsérvese que las dos primeras formas son distintas) en el hecho de que dos grupos cualesquiera sean distintos, es decir, V R 10,15 Por el principio de multiplicación el número total de formas pedidas es: V 25,10 V R 10,15 = 11861676288000 10 15 (c) Todos los dulces son iguales y ningún niño puede recibir más de un dulce Serían todos los grupos distintos de 10 dulces que podamos elegir entre los 25 dados y que, teniendo en cuenta que todos los dulces son iguales, se repartirán según el esquema siguiente: N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 N 10 D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D es decir, todas las formas son iguales luego hay solamente una manera de repartirlos (d) Todos los dulces son iguales y cada niño ha de recibir, al menos, un dulce Como todos los dulces son iguales y cada niño ha de recibir un dulce como mínimo, damos un dulce a cada niño y repartimos los 15 que quedan entre los 10 niños sin ningún tipo de restricción según el esquema siguiente: D D D D D D D D D D D D D D D N 1 N 1 N 1 N 2 N 5 N 5 N 5 N 8 N 9 N 9 N 9 N 10 N 10 N 10 N 10 N 5 N 9 N 1 N 10 N 1 N 5 N 5 N 8 N 1 N 10 N 10 N 9 N 9 N 10 N 2 N 7 N 7 N 6 N 7 N 5 N 5 N 5 N 8 N 9 N 2 N 2 N 10 N 1 N 1 N 4 donde, N 1 N 1 N 1 N 2 N 5 N 5 N 5 N 8 N 9 N 9 N 9 N 10 N 10 N 10 N 10 significa lo mismo que antes Así pues, serían todos los grupos de 15 elementos (dulces) que puedan elegirse entre 10 elementos dados (niños) sin que el orden influya (obsérvese que las dos primeras formas son iguales) en el hecho de que dos grupos cualesquiera sean distintos, es decir, CR 10,15 Por lo tanto el reparto puede hacerse de CR 10,15 = ( 10 1 + 15 15 ) 5 = ( 24 15 ) = 24! 15! 9! = 1307504
Curso 2004/05 Primer Parcial formas distintas Ahora llegaremos al mismo resultado razonando de forma distinta El esquema siguiente representa tres formas distintas de repartir los 15 dulces entre los 10 niños N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 N 10 2 4 1 5 3 0 0 0 0 0 1 1 3 1 1 2 1 2 2 1 0 5 3 2 1 0 0 0 3 1 Pues bien, cada una de las posibles formas de repartir la representamos mediante una palabra construida escribiendo una N para cada niño seguida de tantas D como dulces le correspondan Por ejemplo, las tres formas anteriores equivaldrían a las palabras, NDDNDDDDNDNDDDDDNDDDNNNNN NDNDNDDDNDNDNDDNDNDDNDDND NNDDDDDNDDDNDDNDNNNNDDDND y habrá tantas formas distintas de repartir como palabras de este tipo podamos escribir Pues bien, todas las palabras tienen diez N y quince D y, teniendo en cuenta que todas comenzarán por N, podemos dejar la primera de las N fija Entonces, habrá tantas palabras distintas como ordenaciones podamos hacer con las veinticuatro letras donde las N se repiten nueve veces y quince veces se repiten las D, es decir, habrá P R 24 9,15 = 24! 9! 15! = 1307504 3 En el conjunto de los enteros positivos, Z + se considera la siguiente relación: siendo a y b cualesquiera de Z + a b a divide a b (a) Comprobar que la relación propuesta es de orden Es total o parcial? Justifica la respuesta (b) Obtener de forma razonada los elementos característicos del subconjunto de Z +, ordenado por la relación propuesta A = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 162} (c) Representar, mediante un diagrama de Hasse, la ordenación obtenida en el conjunto A del punto anterior Solución Recordemos que si a y b son cualesquiera de Z +, entonces a divide a b si b es múltiplo de a, es decir, a b a divide a b Así pues, b es múltiplo de a b = ak, con k Z + a es anterior a b siempre y cuando a sea divisor de b ó b sea múltiplo de a o bien, b es posterior a a siempre y cuando b sea múltiplo de a ó a sea divisor de b Por ejemplo, 2 es anterior a 24 o 24 es posterior a 2 porque 2 es divisor de 24 y 24 es múltiplo de 2 Sin embargo 3 no es anterior a 16 ni 16 es posterior a 3 ya que 3 no es divisor de 16 ni 16 es múltiplo de 3 6
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (a) Veamos si esta relación cumple las condiciones exigidas para ser de orden Reflexividad En efecto, sea a un número entero positivo cualquiera Entonces, a = a = a = a 1, con 1 Z + = a a es decir, todo número entero positivo es divisor de sí mismo o múltiplo de sí mismo, luego, n ( n Z + = n n ) y, por lo tanto, la relación es reflexiva Antisimetría En efecto, sean a y b dos números enteros positivos cualesquiera Entonces, a b b = ak 1, con k 1 Z + y y = b = bk 2 k 1 b a a = bk 2, con k 2 Z + Así pues, = b(1 k 2 k 1 ) = 0 b 0 = 1 k 2 k 1 = 0 = k 2 k 1 = 1 k 1,k 2 Z + = k 1 = k 2 = 1 = a = b n, p Z + (n p y p n = n = p) {b = ak 1 y a = bk 2 } y, consecuentemente, la relación es antisimétrica Transitividad En efecto, sean a, b y c tres números arbitrariamente elegidos entre los enteros positivos Entonces, a b b = ak 1, con k 1 Z + y y = c = ak 1 k 2, con k 1 k 2 Z + = a c b c c = bk 2, con k 2 Z + Luego, y la relación es, por lo tanto, transitiva n, p, q Z + (n p y p q = n q) (b) Obtengamos, ahora, de forma razonada los elementos característicos del subconjunto de Z + A = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 162} Minimales Un elemento a de A será minimal de A, respecto a la relación si no hay en A elemento alguno que sea estrictamente anterior a él, es decir, a es minimal de A x A : x a o lo que es igual, es decir, Por lo tanto, a es minimal de A x A : x a y x a a es minimal de A x A : x divida a a y x a a es minimal de A a no tiene en A divisores distintos de a a = 2 ó a = 3 Así pues, los minimales de A son el 2 y el 3 7
Curso 2004/05 Primer Parcial Maximales Un elemento a de A será maximal de A, respecto a la relación si no hay en A elemento alguno que sea estrictamente posterior a él, es decir, o lo que es igual, es decir, Por lo tanto, a es maximal de A x A : a x a es maximal de A x A : a x y x a a es maximal de A x A : x sea múltiplo de a y x a a es maximal de A a no tiene en A múltiplos de a distintos del propio a a = 48 ó a = 72 ó a = 108 ó a = 162 Así pues, los maximales de A son el 48, el 72, el 108 y el 162 Mínimo Un elemento a de A se dice que es mínimo de A respecto de la relación, si es anterior a todos los elementos de A Es decir, o lo que es igual, Así pues, a A es mínimo de A x (x A = a x) a A es mínimo de A x (x A = a divide a x) a A es mínimo de A a divide a todos los elementos de A y como puede observarse, en el conjunto hay números que son únicamente múltiplos de 2 y números que son, únicamente, múltiplos de 3 luego no hay ninguno que sea divisor de todos y, consecuentemente, A no tiene mínimo También podíamos haber razonado diciendo que el mínimo, caso de existir, ha de ser único y coincidir con el minimal En en este caso es imposible, ya que hay dos minimales Máximo Un elemento a de A se dice que es máximo de A respecto de la relación, si es posterior a todos los elementos de A Es decir, o lo que es igual, Así pues, a A es máximo de A x (x A = x a) a A es máximo de A x (x A = a es múltiplo de x) a A es máximo de A a es múltiplo de todos los elementos de A Como puede observarse, en el conjunto no hay ningún número que sea múltiplo de todos los demás y, consecuentemente, A no tiene máximo También podíamos haber razonado diciendo que el máximo, caso de existir, ha de ser único y coincidir con el maximal En en este caso es imposible, ya que hay cuatro maximales Cotas inferiores Un elemento a de Z + se dice que es cota inferior de A, subconjunto de Z +, si es anterior a todos los elementos de A a Z + es cota inferior de A Z + x (x A = a x) es decir, Así pues, a Z + es cota inferior de A Z + x (x A = a divide a x) a Z + es cota inferior de A Z + a es divide a todos los elementos de A 8
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas y bastaría con que a dividiese a los minimales de A ya que por transitividad esto significaría que divide a todos los elementos de A Por lo tanto, a Z + es cota inferior de A Z + a divide a 2 y a 3 a = 1 y si llamamos I(A) al conjunto de las cotas inferiores de A, tendremos que I(A) = {1} Cotas superiores Un elemento a de Z + se dice que es cota superior de A, subconjunto de Z +, si es posterior a todos los elementos de A es decir, Así pues, a Z + es cota superior de A Z + x (x A = x a) a Z + es cota superior de A Z + x (x A = a es múltiplo de x) a Z + es cota superior de A Z + a es múltiplo de todos los elementos de A y bastaría con que a fuese múltiplo de los minimales de A ya que por transitividad esto significaría que sería múltiplo de todos los elementos de A Por lo tanto, a Z + es cota superior de A Z + a es múltiplo de 48, de 72, de 108, y de 72 a es múltiplo del mínimo común múltiplo de 48, 72, 108 y 162 a es múltiplo de 1296 a = 1296k, con k Z + y si llamamos S(A) al conjunto de las cotas superiores de A, tendremos que S(A) = { 1296k : k Z +} Ínfimo Un elemento a de Z + se dice que es el ínfimo de A, subconjunto de Z +, si es el máximo del conjunto de las cotas inferiores En nuestro caso, a Z + es el ínfimo de A Z + a = max (I (A)) a = max {1} a = 1 Por lo tanto, 1 es el ínfimo de nuestro conjunto Supremo Un elemento a de Z + se dice que es el supremo de A, subconjunto de Z +, si es el mínimo del conjunto de las cotas superiores En nuestro caso, a Z + es el supremo de A Z + a = min (S (A)) Por lo tanto, 1296 es el supremo de nuestro conjunto a = min {1296k : k Z + } a = 1296 (c) Veamos, finalmente, como se representa, mediante un diagrama de Hasse, la ordenación obtenida para el conjunto A Teniendo en cuenta que no hay mínimo ni máximo, el diagrama comenzará en los minimales, 2 y 3 y acabará en los maximales, 48, 72, 108 y 162, y estará acotado inferiormente por 1 y superiormente por 1296 Así pues, tendremos: Inmediatamente posteriores al 2: el 4 y el 6 Inmediatamente posteriores al 3: el 6 y el 9 9
Curso 2004/05 Primer Parcial Es decir, 4 6 9 2 3 Inmediatamente posteriores al 4: el 8 y el 12 Inmediatamente posteriores al 6: el 12 y el 18 Inmediatamente posteriores al 9: el 18 y el 27 O sea, 8 12 18 27 4 6 9 2 3 Inmediatamente posteriores al 8: el 16 y el 24 Inmediatamente posteriores al 12: el 24 y el 36 Inmediatamente posteriores al 18: el 36 y el 54 Inmediatamente posteriores al 27: el 54 y el 81 Es decir, 16 24 36 54 81 8 12 18 27 4 6 9 2 3 y finalmente, Inmediatamente posteriores al 16: el 48 Inmediatamente posteriores al 24: el 48 y el 72 Inmediatamente posteriores al 36: el 72 y el 108 Inmediatamente posteriores al 54: el 108 y el 162 Inmediatamente posteriores al 81: el 162 Por lo tanto, el diagrama de Hasse que buscamos es: 10
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 48 72 108 162 16 24 36 54 81 8 12 18 27 4 6 9 y un diagrama acotado por el supremo y el ínfimo sería: 2 3 1296 432 648 144 216 324 48 72 108 162 16 24 36 54 81 8 12 18 27 4 6 9 2 3 1 11
Curso 2004/05 Primer Parcial 4 Sea A el conjunto formado por todos los números enteros positivos de dos cifras, es decir, Se considera en A la siguiente relación: (a) Comprobar que es de equivalencia A = { ab Z + : 1 a 9 y 0 b 9 } abrcd a + b = c + d (b) Clasificar el conjunto B = {12, 52, 16, 17, 26, 29, 47, 35, 53} con la relación propuesta Solución (a) Veamos si la relación propuesta cumple las condiciones exigidas para ser de equivalencia Reflexividad En efecto, sea ab cualquiera de A Como tendremos que a + b = a + b abrab es decir, todo elemento de A está relacionado consigo mismo y, por lo tanto, la relación es reflexiva Simetría En efecto, sean ab y cd cualesquiera de A Entonces, abrcd a + b = c + d c + d = a + b cdrab y, consecuentemente, la relación es simétrica Transitividad Sean ab, cd y ef tres elementos cualesquiera de A Entonces, abrcd a + b = c + d y y = a + b = e + f abref cdref c + d = e + f siendo, por tanto, la relación transitiva (b) Para clasificar el conjunto B con la relación propuesta bastará con obtener las clases de equivalencia y formar con ellas el conjunto cociente Clases de equivalencia En efecto, sea ab cualquiera de B Entonces, [ab] = {xy A : xyrab} = {xy A : x + y = a + b} En nuestro caso, Conjunto cociente [12] = {xy A : x + y = 3} = {12} [52] = {xy A : x + y = 7} = {52, 16} [17] = {xy A : x + y = 8} = {17, 26, 35, 53} [29] = {xy A : x + y = 11} = {29, 47} B/R = {[12], [52], [17], [29]} = {{12}, {52, 16}, {17, 26, 35, 53}, {29, 47}} que es el conjunto B clasificado por la relación R 12