Apuntes de Matemática Discreta 3. Principios Básicos de Conteo

Transcripción

1 Apuntes de Matemática Discreta 3. Principios Básicos de Conteo Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004

2 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii

3 Lección 3 Principios Básicos de Conteo Contenido 3.1 Partición de un Conjunto Definición Recubrimiento Cardinal de un conjunto Principio de Adición Teorema Regla de la Suma Principio de Multiplicación Teorema Regla del Producto Principio de Inclusión-Exclusión Teorema Teorema Generalización del Principio de Inclusión-Exclusión Principio de Distribución Teorema Corolario Desarrollamos en esta lección los principios básicos para contar elementos de un conjunto, el de Adición, el de Multiplicación, el de Inclusión-Exclusión y finalizaremos con el de Distribución. 3.1 Partición de un Conjunto Definición Dado un conjunto A, diremos que los subconjuntos de A, A 1, A 2,..., A n, constituyen una partición del mismo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. A i ; i = 1, 2,......, n 2. A i A j = ; i j, i, j = 1, 2, n 3. A 1 A 2 A n = A 37

4 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Recubrimiento Si los subconjuntos B 1, B 2,......, B n de un conjunto A cumplen las condiciones 1. y 3. de la definición anterior, diremos que B 1, B 2,......, B n constituyen un recubrimiento de A. Ejemplo 3.1 A A 2 A 3 A 1 A 4 Partición del conjunto A. Ejemplo 3.1 Los subconjuntos A 1, A 2, A 3 y A 4 constituyen una partición de A. Ejemplo 3.2 Si A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, los conjuntos A 1 = {a, b, c, d} A 2 = {c, d, e, f, g} A 3 = {g, h, i} A 4 = {j, k} constituyen un recubrimiento del conjunto A. En efecto, A i ; i = 1, 2, 3, 4 A 1 A 2 A 3 A 4 = {a, b, c, d} {c, d, e, f, g} {g, h, i} {j, k} = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} = A 38

5 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Sin embargo no es una partición ya que, por ejemplo, A 1 A 2 = {a, b, c, d} {c, d, e, f} = {c, d} Cardinal de un conjunto Si A es un conjunto finito no vacío, designaremos por cardinal de A al número de elementos que tiene A. Si A es el conjunto vacío, entonces su cardinal es cero. Lo notaremos A. 3.2 Principio de Adición Estudiamos el más básico y simple de los principios para contar elementos de un conjunto Teorema Si A 1, A 2,..., A n es una colección de conjuntos finitos no vacíos, disjuntos dos a dos, entonces A 1 A 2 A n = A 1 + A A n Demostración Procederemos por inducción sobre el número de conjuntos n. Paso básico. Veamos que el teorema es cierto para n = 2. En efecto, sean A 1 y A 2 dos conjuntos finitos tales que A 1 A 2 =. Pues bien, si A 1 = {a 1, a 2,..., a q } y A 2 = {b 1, b 2,..., b r } al ser disjuntos no tendrán elementos comunes, de aquí que A 1 A 2 = {a 1, a 2,..., a q, b 1, b 2,..., b r } luego, A 1 A 2 = q + r = A 1 + A 2 y el teorema es cierto para n = 2. Paso inductivo. Supongamos que el teorema es cierto para n = p, es decir, si A 1, A 2,..., A p son una familia de conjuntos finitos y disjuntos dos a dos, entonces p A i = p A i Veamos que el teorema es cierto para n = p + 1. En efecto, sea A 1, A 2,..., A p, A p+1 una familia de conjuntos finitos y dos a dos disjuntos, entonces por la asociatividad de la unión de conjuntos, p+1 ( p ) A i = A 1 A 2 A p A p+1 = (A 1 A 2 A p ) A p+1 = A i A p+1 39

6 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas siendo, ( p luego, A i ) A p+1 = (A 1 A 2 A p ) A p+1 p+1 A i = = = = = (A 1 A p+1 ) (A 2 A p+1 ) (A p A p+1 ) = = ( p ) A i A p+1 p A i + A p+1 {Paso básico} p A i + A p+1 {Hipótesis de inducción} p+1 A i Consecuentemente, por el primer principio de inducción, la propiedad es cierta para todo entero positivo n y, A 1 A 2 A n = A 1 + A A n Obsérvese que en este tipo de problemas, la palabra o aparece o se sobrentiende implícitamente. En cualquier caso en el que tengamos una acción simple a realizar y que debe satisfacer una condición u otra siendo las condiciones mutuamente excluyentes, utilizaremos normalmente el principio de adición. Este primer principio del conteo puede expresarse como sigue: Regla de la Suma Si una primera tarea puede realizarse de m formas distintas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n formas distintas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces, para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas. Ejemplo 3.3 Se lanza al aire una moneda cuatro veces. De cuántas formas distintas pueden obtenerse una, dos, tres o cuatro caras? Sea A i el conjunto formado por todos los resultados posibles en los que aparezcan, exactamente, i caras al lanzar cuatro veces la moneda. Entonces, A 1 = {(c, x, x, x), (x, c, x, x), (x, x, c, x), (x, x, x, c)} A 2 = {(c, c, x, x), (c, x, c, x), (c, x, x, c), (x, c, c, x), (x, c, x, c), (x, x, c, c)} A 3 = {(c, c, c, x), (c, c, x, c), (c, x, c, c), (x, c, c, c)} A 4 = {(c, c, c, c)} y el conjunto A 1 A 2 A 3 A 4 estará formado por todos los resultados en los que aparecen una, dos, tres o cuatro caras, por tanto el número pedido es el cardinal de dicho conjunto. Al ser los A i dos a dos disjuntos, por el principio de adición, tendremos que habrá A 1 A 2 A 3 A 4 = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 15 40

7 Matemática Discreta formas distintas de obtener una, dos, tres o cuatro caras. Francisco José González Gutiérrez 3.3 Principio de Multiplicación Este principio nos va a permitir resolver con más comodidad situaciones que involucren procesos que consistan en acciones sucesivas. Supongamos una acción que consista en una secuencia de pasos. Por ejemplo tirar un dado, luego otro y a continuación un tercero. Diremos que los pasos son independientes si el número de formas en que puede hacerse cada uno de ellos no depende del número de formas en que pueden realizarse cada uno de los otros Teorema Si A 1, A 2,..., A n es una colección de conjuntos finitos no vacíos, entonces Demostración A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n Procederemos por inducción sobre el número de conjuntos, n. Paso básico. Veamos si el teorema es cierto para n = 2. En efecto, sean A 1 y A 2 dos conjuntos finitos no vacíos, A 1 = {a 1, a 2,..., a q } y A 2 = {b 1, b 2,..., b r } Por definición de producto cartesiano, A 1 A 2 = {(a i, b j ) : a i A 1 y b j A 2 } para cada uno de los a i, 1 i q, tendremos los pares distintos, (a i, b 1 ), (a i, b 2 ),..., (a i, b r ) es decir, r pares o r elementos de A 1 A 2. Haciendo lo mismo para cada uno de los a i A i, 1 i q, tendremos (a 1, b 1 ), (a 1, b 2 ),..., (a 1, b r ) (a 2, b 1 ), (a 2, b 2 ),..., (a 2, b r ) (a q, b 1 ), (a q, b 2 ),..., (a q, b r ) o sea, un total de q r pares distintos en A 1 A 2, luego por tanto, la proposición es cierta para n = 2. A 1 A 2 = q r = A 1 A 2 Paso inductivo. Supongamos que es cierta para n = p, es decir si A 1, A 2,..., A p es una colección de conjuntos finitos no vacíos. Entonces, A 1 A 2 A p = A 1 A 2 A p Veamos si la proposición es cierta para n = p + 1. En efecto, si A 1, A 2,..., A p, A p+1 es una colección de conjuntos finitos no vacíos, entonces A 1 A 2 A p A p+1 = (A 1 A 2 A p ) A p+1 {Asociatividad de } = A 1 A 2 A p A p+1 {Paso básico} = A 1 A 2 A p A p+1 {Paso inductivo} 41

8 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Consecuentemente, por el Principio de inducción matemática, el teorema es cierto para todo entero positivo, n, es decir, A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n Ejemplo 3.4 Cuántos resultados distintos son posibles al tirar tres dados diferentes? Sean A 1, A 2 y A 3 los conjuntos formados por los posibles resultados que podamos obtener al tirar cada uno de los tres dados, entonces A i = 6, i = 1, 2, 3 y cada resultado es un elemento del producto cartesiano A 1 A 2 A 3, luego por el principio de multiplicación, habrá resultados distintos. A 1 A 2 A 3 = A 1 A 2 A 3 = = 216 Obsérvese que al ser diferentes los dados, podemos etiquetarlos como primero, segundo y tercero y tratar la tirada como una acción con tres pasos sucesivos, cada uno de las cuales tiene seis resultados posibles. El número de posibilidades será, por tanto, = 216 Obsérvese también que si los dados no fueran diferentes, la respuesta sería distinta. Por ejemplo sería imposible distinguir entre el resultado 152 y el 251. Ejemplo 3.5 Un número de teléfono consta de siete dígitos. Si la primera ha de ser un número entre 2 y 9, ambos inclusive, la segunda y la tercera han de ser números entre 1 y 9 ambos inclusive. Cuántos números de teléfono distintos pueden formarse con estas condiciones? Sean los conjuntos, A 1 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A 2 = A 3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A 4 = A 5 = A 6 = A 7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} El número de teléfonos con numeraciones distintas que pueden formarse son los del conjunto A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 Por el principio de multiplicación, A 1 A 2 A 7 = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 = = Regla del Producto Si un procedimiento puede descomponerse en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento entero puede realizarse, en el orden dado, de mn formas. Se dispone de una baraja de 40 cartas de la cual extraemos cuatro de dos formas difer- Ejemplo 3.6 entes: 42

9 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (a) Sin devolución de cada carta extraída. (b) Con devolución de la carta en cada extracción. Calcular el número de formas diferentes de obtener cuatro cartas en cada caso. Consideraremos el experimento como una acción con cuatro pasos independientes. (a) Para el primer paso tenemos 40 opciones posibles y como la carta extraída no se devuelve quedarán 39 opciones para el segundo paso y, por la misma razón, 38 y 37 opciones para el tercero y el cuarto, respectivamente. Así pues el experimento podrá hacerse de formas distintas = (b) Cada carta extraída se devuelve a la baraja. Por tanto, para cada una de las cuatro extracciones dispondremos de las cuarenta. Así pues, el número de formas diferentes de obtener las cuatro cartas es = Ejemplo 3.7 tirada. Se lanzan dos dados, uno azul y otro rojo, a continuación se registra el resultado de cada (a) En cuántos resultados la suma es 7 u 11? (b) En cuántos resultados uno y sólo uno de los dados muestra un 2? (c) En cuántos resultados ninguno de los dados muestra un 2? (a) Sean a y b los resultados de los dados azul y rojo, respectivamente. Entonces, a, b {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el par (a, b) puede considerarse como un par ordenado. Pues bien, si A es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya suma sea 7 y B el formado por aquellos que suman 11, entonces, A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} B = {(5, 6), (6, 5)} y el número de resultados en los cuales la suma es 7 u 11 será igual al cardinal de A B. Al ser A y B disjuntos, por el principio de adición, habrá A B = A + B = 8 resultados que cumplan las condiciones requeridas. 43

10 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (b) Sean A 1 = {2} B 1 = {1, 3, 4, 5, 6} y A 2 = {1, 3, 4, 5, 6} B 2 = {2} donde A i y B i, i = 1, 2, representan, respectivamente, los resultados de los dados azul y rojo. Entonces, todos los resultados en los cuales aparece un 2 en uno sólo de los dados, son los elementos del conjunto (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) siendo A 1 B 1 y A 2 B 2, disjuntos. Consecuentemente, por el principio de adición y luego por el de multiplicación tendremos que el número de resultados en los que uno sólo de los dados muestra un 2 es (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) = A 1 B 1 + A 2 B 2 = A 1 A 2 + B 1 B 2 = = 10 (c) Utilizando los mismos conjuntos que en el apartado anterior, los resultados en los que ninguno de los dos dados muestra un 2 son los elementos de A 2 B 1. Por el principio de multiplicación, habrá A 2 B 1 = A 2 B 1 = 5 5 = 25 resultados que cumplen la condiciones pedidas. Ejemplo 3.8 Un viajante de comercio ha de visitar n ciudades sin pasar dos veces por ninguna de ellas. Cuántas rutas distintas puede tomar si el viaje ha de empezar y terminar en la ciudad A? El viajante elige cualquiera de las n 1 ciudades restantes para la primera visita, las opciones para la segunda serían n 2 y n 3 posibilidades para la siguiente. Seguimos así sucesivamente y por el principio de multiplicación, el número de rutas distintas sería: (n 1)(n 2) Obsérvese que al contar de esta forma, el orden en que se visitan las ciudades es importante, es decir una ruta tal como ABCDEFA es distinta de la AFEDCBA. Si las rutas que se recorren en sentidos inversos las consideramos iguales, el número de posibilidades se reduciría a: es decir, la mitad de opciones. (n 1)(n 2) En el siguiente ejemplo, veremos una situación en la cual se mezclan los principios de adición y multiplicación. Ejemplo 3.9 El viajante de comercio del ejemplo anterior ha de visitar cinco ciudades A,B,C,D y E, teniendo su base en la ciudad A. Cuántas rutas distintas puede tomar si no puede visitar la ciudad E hasta después de haber visitado la B o la C? Como la ciudad E no puede ser visitada hasta después de visitar B o C, la primera visita deberá ser a B o a C o a D. 44

11 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Si la primera visita es a la ciudad B, entonces el viajante tiene tres opciones para la segunda, dos para la siguiente y una para la última, luego por el principio de multiplicación hay = 6 rutas distintas teniendo a B como la primera ciudad visitada. Si la primera ciudad visitada es C, un razonamiento idéntico al anterior ofrecerá al viajante el mismo número de opciones, es decir, seis rutas distintas. Si la primera ciudad visitada es la D, entonces hay dos opciones para la segunda (B y C), dos opciones para la siguiente y una para la última. Consecuentemente, el número de opciones distintas es, en este caso, por el principio de multiplicación = 4 Así pues, por el principio de adición existen un total de = 16 rutas posibles que puede tomar el viajante. 3.4 Principio de Inclusión-Exclusión El principio de adición establecía que si X es la unión de una colección de conjuntos A 1, A 2,..., A n, disjuntos dos a dos, entonces X = A 1 + A A n. En muchas ocasiones, necesitaremos calcular el número de elementos de un conjunto X que es la unión de una colección de conjuntos A 1, A 2,..., A n que no sean disjuntos. El principio de inclusión-exclusión nos dice como hacerlo en función del número de elementos de los conjuntos A 1, A 2,..., A n. En síntesis, este principio nos dice que si sabemos contar elementos de intersecciones de conjuntos, entonces podremos determinar el tamaño de la unión de dichos conjuntos Teorema Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal arbitrario, U. Entonces, A B = A + B A B Demostración 45

12 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas U A B A B A \ B A B B \ A Principio de Inclusión-Exclusión Intuitivamente, podemos justificar este teorema examinando la figura. Si sumamos el número de elementos que hay en A y en B, entonces contamos los elementos de A B dos veces. Así pues, para encontrar el A B deberíamos sumar A a B y restar A B. Veamos una demostración formal. Sea x un elemento cualquiera de U. Entonces, x (A B) (x A) (x B). (3.1) Ahora bien, si un elemento x está en A, puede estar en A y no en B o en A y en B, es decir, o sea, de aquí que x A [(x A) (x / B)] [(x A) (x B)] x A [x (A \ B)] [x (A B)] (3.2) A = (A \ B) (A B) (3.3) También, si un elemento x está en B, razonando exactamente igual, tendremos luego Llevando los resultados (3.2) y (3.4) a (3.1), obtenemos x B [x (B \ A)] [x (A B)] (3.4) B = (B \ A) (A B) (3.5) x (A B) [x (A \ B)] [x (A B)] [x (B \ A)] (3.6) es decir, si un elemento pertenece a A B, entonces puede estar en A y no en B o en B o en A y en B o en B y no en A. 46

13 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez De (3.6) se sigue directamente que A B = (A \ B) (A B) (B \ A). (3.7) Además, (A \ B) (A B) = (A B c ) (A B) = A (B c B) = A = (A \ B) (B \ A) = (A B c ) (B A c ) = A B c B A c = A A c = (A B) (B \ A) = (A B) (B A c ) = A B A c = A A c B = es decir, los tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por lo tanto (3.3), (3.5) y (3.7) son, respectivamente, descomposiciones de los conjuntos A, B y A B en unión de subconjuntos disjuntos, de aquí que por el principio de adición, A = A \ B + A B = A \ B = A A B B = B \ A + A B = B \ A = B A B A B = A \ B + A B + B \ A y sustituyendo los dos primeros resultados en la tercera igualdad, A B = A A B + B A B + A B = A + B A B Ejemplo 3.10 De un grupo de programadores, 35 están familiarizados con ordenadores del tipo A, 41 con ordenadores del tipo B y 46 con algunos de los dos. Cuántos están familiarizados con ambos? Sea P el conjunto de todos los programadores y sean A y B los subconjuntos de P formados por los que están familiarizados con los ordenadores de tipo A y tipo B, respectivamente. Los que lo están con ambos son, por tanto, los del conjunto A B. Pues bien, según los datos del enunciado, A = 35 B = 41 A B = 46. Aplicando el principio de inclusión-exclusión, A B = A + B A B = A B = = 30 Hay, por tanto, 30 programadores que están familiarizados con ambos tipos de ordenadores. Ejemplo 3.11 Los 100 alumnos de una facultad se han examinado de Matemática Discreta y de Lógica Matemática, obteniendo los siguientes resultados en los exámenes. 47

14 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas. Han aprobado las dos asignaturas un total de 25 personas. El número de alumnos que han aprobado Matemática discreta es el doble de los que han aprobado el Lógica Matemática. Cuántos alumnos aprobaron únicamente Matemática discreta? Cuántos alumnos aprobaron únicamente Lógica Matemática? Un diagrama de Venn que refleja la situación planteada en el ejercicio es el de la figura, donde D y L son los conjuntos cuyos elementos son los alumnos que han aprobado Matemática Discreta y Lógica Matemática, respectivamente. U D L D L c D L D c L D c L c Ejemplo 3.11 Los alumnos que han aprobado una de las dos asignaturas puede que no hayan aprobado la otra o que si la hayan aprobado, luego D = (D L c ) (D L), L = (D L) (D c L) y donde D L = (D L c ) (D L) (D c L) (D L c ) (D L) = D L c L = D = 48

15 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez y (D L) (D c L) = D D c L = D = de aquí que por el Principio de Adición, D = D L c + D L L = D L + D c L D L = D L c + D L + D c L. Por otra parte, si llamamos U al conjunto formado por los 100 alumnos, U = (D L) (D L) c donde, (D L) (D L) c = de aquí que nuevamente por el Principio de Adición, U = D L + (D L) c Pues bien, según los datos aportados por el enunciado: 20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas, es decir, (D L) c = 20. luego D L = = 80. Han aprobado las dos asignaturas un total de 25 personas, o sea, D L = 25 El número de alumnos que han aprobado Matemática discreta es el doble de los que han aprobado el Lógica Matemática, es decir, D = 2 L. Datos que sustituidos en las ecuaciones anteriores, nos llevan a de aquí que 2 L = D L c + 25 L = 25 + D c L 80 = D L c D c L. D L c = 45 D c L = 10 luego hay 45 alumnos que han aprobado únicamente la Matemática Discreta y 10 que aprobaron únicamente el Lógica Matemática Teorema Sean A, B y C tres subconjuntos de un conjunto universal arbitrario, U. Entonces, A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Demostración 49

16 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Apoyándonos en el teorema anterior y en la distributividad de la intersección respecto a la unión de conjuntos, A B C = A (B C) = A + B C A (B C) = A + B + C B C (A B) (A C) = A + B + C B C ( A B + A C (A B) (A C) ) = A + B + C A B A C B C + A B C Ejemplo 3.12 Cuántos números existen entre 1 y 1000, ambos inclusive, que no sean ni cuadrados perfectos, ni cubos perfectos ni cuartas potencias? Sea Z el conjunto de todos los enteros entre 1 y 1000 y sean A 1, A 2 y A 3 los subconjuntos de Z formados por los cuadrados perfectos, los cubos perfectos y las cuartas potencias, respectivamente. Entonces, A 1 = { x : x = n 2, n Z } Pues bien, A 2 = { x : x = n 3, n Z } A 3 = { x : x = n 4, n Z } 31 2 = 961 < 1000 y 32 2 = 1024 > 1000, luego A 1 = = 1000, luego A 2 = = 625 y 6 4 = 1296, luego A 3 = 5 Observemos ahora lo siguiente: A 1 A 2 = { x : n Z + ; x = n 2 y x = n 3} = { x : n Z; x = n 6} y al ser 3 6 = 729 < 1000 y 4 6 = 4096 > 1000, tendremos que A 1 A 2 = 3. Por otra parte, x A 3 x = n 4, n Z = x = ( n 2) 2, n Z x A1 es decir cada cuarta potencia es también un cuadrado, luego A 3 A 1 y, por tanto, A 1 A 3 = A 3 y A 1 A 3 = 5. También, A 2 A 3 = { x : x = n 3 y x = n 4, n Z +} = { x : x = n 12, n Z +} luego el conjunto A 2 A 3 estará formado por todos los números que son a un tiempo, cubos y cuartas potencias, es decir son de la forma n 12 para algún entero n y al ser 2 12 = 4096 > 1000, tendremos que A 2 A 3 = 1. Finalmente, x A 2 A 3 x = n 12 = x = ( n 6) 2, n Z x A1 luego las doceavas potencias son también cuadrados, es decir, A 2 A 3 A 1 de aquí que A 1 A 2 A 3 = A 2 A 3 50

17 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez y Con todos estos datos, A 1 A 2 A 3 = 1 A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 = = 38 Consecuentemente, el número de enteros entre 1 y 1000 que no son cuadrados, cubos o cuartas potencias son = 962. Ejemplo 3.13 Demostrar que A B C = A \ (B C) + B \ (A C) + C \ (A B) + (A B) \ C + (A C) \ B + (B C) \ A + A B C donde A, B y C están incluidos en un universal arbitrario U. En efecto, sea x un elemento arbitrario de U. Entonces x (A B C) (x A) (x B) (x C). Pues bien, si x está en A, entonces puede estar en A y no estar en B ni en C, o estar en A y en B pero no estar en C o estar en A y en C pero no en B o estar en A, en B y en C (la situación planteada puede apreciarse con claridad en la figura), es decir, U A A \ (B C) (A C) \ B (A B) \ C A B C C B C \ (A B) (B C) \ A B \ (A C) Ejemplo

18 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas x A [(x A) (x / B) (x / C)] [(x A) (x B) (x / C)] de aquí que [(x A) (x / B) (x C)] [(x A) (x B) (x C)] [(x A) (x B c ) (x C c )] [(x A) (x B) (x C c )] [(x A) (x B c ) (x C)] [(x A) (x B) (x C)] [x (A B c C c )] [x (A B C c )] [x (A B c C)] [x (A B C)] A = (A B c C c ) (A B C c ) (A B c C) (A B C) y razonando de forma análoga para los conjuntos B y C, tendremos y B = (A c B C c ) (A B C c ) (A c B C) (A B C) C = (A c B c C) (A B c C) (A c B C) (A B C). Si ahora unimos los tres, tendremos que A B C = (A B c C c ) (A B C c ) (A B c C) (A B C) (A c B C c ) (A c B C) (A c B c C). Además, en cada pareja de conjuntos que tomemos, en uno de sus miembros aparece un conjunto y en el otro su complementario, por lo tanto su intersección es vacía. Por ejemplo, (A B c C c ) (A B C c ) = A B c C c A B C c = A B c B C c = A C c =. Consecuentemente, la igualdad que obtuvimos anteriormente es una descomposición de A B C en unión de conjuntos disjuntos y aplicando el principio de adición, tendremos que A B C = A B c C c + A B C c + A B c C + A B C + A c B C c + A c B C + A c B c C y ahora bastaría aplicar las leyes de De Morgan y la definición de diferencia de conjuntos para obtener el resultado, A B C = A \ (B C) + B \ (A C) + C \ (A B) + (A B) \ C + (A C) \ B + (B C) \ A + A B C Ejemplo 3.14 Una encuesta realizada entre 200 personas arrojó el resultado siguiente: 40 leen Diario de Cádiz. 42 leen El Mundo. 45 leen El País. 13 leen Diario de Cádiz y El Mundo. 20 leen El Mundo y El País. 18 leen Diario de Cádiz y El País. 7 leen los tres periódicos. 52

19 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (a) Cuántas personas no leen ninguno de los tres periódicos? (b) Cuántas personas leen únicamente el Diario de Cádiz? (c) Cuántas personas leen un sólo periódico? Un diagrama de Venn de la situación planteada se muestra en la figura. U D D M c P c D c M c P c D M c P D M P c D M P P M D c M c P D c M P D c M P c Ejemplo 3.14 Sea U el conjunto formado por todas las personas encuestadas y sean D, M y P los conjuntos formados por las personas que leen Diario de Cádiz, El Mundo y El País, respectivamente. Según los datos del enunciado D = 40 M = 42 P = 45 D M = 13 M P = 20 D P = 18 D M P = 7 53

20 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (a) Veamos cuántas personas no leen ninguno de los tres periódicos. El conjunto D M P está formado por las personas que leen, al menos, uno de los tres periódicos, luego el conjunto de las personas que no leen ninguno de los tres periódicos será su complementario (D M P ) c y al ser D M P y (D M P ) c disjuntos, por el principio de adición, tendremos de aquí que U = (D M P ) (D M P ) c = D M P + (D M P ) c (D M P ) c = U D M P. Por el principio de inclusión-exclusión para tres conjuntos, tendremos D M P = D + M + P D M M P D P + D M P = = = 83 por lo tanto, (D M P ) c = = 117 (b) Calculemos ahora el número de personas que leen únicamente Diario de Cádiz. Las personas que leen únicamente Diario de Cádiz serán aquellas que lean Diario de Cádiz y no lean El Mundo ni El País, es decir las del conjunto D M c P c. Para calcular el número de estas personas, y teniendo en cuenta los datos que proporciona el enunciado, habrá que hacerlo en función de D, D M, D P y D M P. Pues bien, las personas que leen Diario de Cádiz puede que lean alguno de los otros dos periódicos (D (M P )) o que no lean ninguno de los otros dos (D (M P ) c ), es decir, D = [D (M P )] [D (M P ) c ] siendo esta descomposición en unión de disjuntos. Aplicando el principio de adición y, posteriormente, el de inclusión-exclusión, de donde, D = D (M P ) + D (M P ) c = (D M) (D P ) + D M c P c = D M + D P D M P + D M c P c D M c P c = D D M D P + D M P = = 16 (c) Veamos ahora cuántas personas leen un sólo periódico. Las personas que leen únicamente un sólo periódico serán aquellas que lean únicamente Diario de Cádiz (ni El Mundo, ni El País) o que únicamente lean El Mundo (ni Diario de Cádiz ni El País) o que lean únicamente El País (ni Diario de Cádiz ni El Mundo), es decir las del conjunto (D M c P c ) (D c M P c ) (D c M c P ) y como estos tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por el principio de adición, tendremos (D M c P c ) (D c M P c ) (D c M c P ) = D M c P c + D c M P c El primero de los sumandos lo hemos calculado en el apartado anterior. Si seguimos un camino análogo para calcular los otros dos, tendremos: + D c M c P (3.8) D c M P c = M M P D M + D M P = = 16 (3.9) 54

21 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez y D c M c P = P M P D P + D M P = = 14. (3.10) Sustituyendo (3.9) y (3.10) junto con el resultado obtenido en el apartado anterior en (3.8) tendremos que el número de personas que leen únicamente un periódico es (D M c P c ) (D c M P c ) (D c M c P ) = = 46 Ejemplo 3.15 Se ha comprado un lote de banderas monocolores, bicolores y tricolores. En todas ellas figura, al menos, el blanco, el rojo o el negro. Además, en ocho de ellas no figura el blanco, en diez no figura el rojo y en cuatro no figura el negro. Por otra parte, cinco banderas tienen, al menos, los colores rojo y blanco, siete el blanco y el negro y seis el rojo y el negro. Finalmente, cuatro tienen los tres colores. Averiguar: (a) Número total de banderas. (b) Número de monocolores rojas. Sean B: Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el blanco. N: Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el negro. R: Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el rojo. (a) Número total de banderas. Como en todas las banderas figura, al menos, uno de los tres colores, el número total de banderas será el cardinal del conjunto B R N. Veamos que datos aporta el enunciado. En ocho de ellas no figura el blanco. Entonces, En diez de ellas no figura el rojo, es decir, En cuatro de ellas no figura el negro, luego, B c = 8 R c = 10 N c = 4 Cinco tienen, al menos, los colores rojo y blanco. Pues bien, B R = 5 Siete tienen, al menos, los colores blanco y negro, o sea, B N = 7 55

22 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Seis tienen, al menos, los colores rojo y negro, es decir, Cuatro tienen los tres colores, es decir, R N = 6 B R N = 4. A la vista de estos datos parece que lo más lógico es utilizar el principio de inclusión-exclusión para 3 conjuntos: B N R = B + N + R B N B R N R + B N R y utilizando el principio de adición, B B c = B N R = B + B c = B N R = B = B N R B c N N c = B N R = N + N c = B N R = N = B N R N c R R c = B N R = R + R c = B N R = R = B N R R c Si ahora sustituimos estos resultados en la igualdad anterior, 2 B N R = B c N c R c B N B R N R + B N R de donde se sigue que el número total de banderas es B N R = Bc + N c + R c + B N + B R + N R B N R 2 = = 18 B B \ (N R) (B N) \ R (B R) \ N B R N N R N \ (B R) (R N) \ B R \ (B N) Ejemplo

23 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (b) Número de monocolores rojas. El conjunto de banderas que tienen únicamente el color rojo es R \ (B N) o B c N c R. Pues bien las banderas que tienen el color rojo, puede que tengan, además, uno de los otros dos colores o ninguno de los dos, es decir, R = [R (B N)] [R (B N) c ] siendo ésta una descomposición de R en unión de subconjuntos disjuntos. Aplicando el principio de adición y el principio de inclusión-exclusión, R = R (B N) + R (B N) c = (B R) (N R) + B c N c R = B R + N R B N R + B c N c R si ahora sustituimos R por B N R R c y despejamos, B c N c R = B N R R c N R B R + B N R = = 1 luego hay una sola bandera de color rojo. Ejemplo 3.16 En una muestra de 1000 individuos elegida para el estudio las preferencias gastronómicas de una población, se observa que sesenta comen pescado y carne pero no huevos, cuarenta comen pescado y huevos pero no carne, treinta carne y huevos pero no pescado, cincuenta comen únicamente pescado, cuarenta sólo carne y treinta comen únicamente, huevos. Todos comen al menos, una de las tres cosas. (a) Cuántos comen las tres cosas? (b) Cuántos comen pescado? Sean C, H y P los conjuntos formados por los individuos que comen, respectivamente, carne, huevos y pescado. (a) Los individuos que comen las tres cosas serán los del conjunto C H P es decir, tenemos que calcular C H P. Descompondremos el conjunto C H P en unión de conjuntos disjuntos, para lo cual razonaremos igual que en los ejercicios anteriores. En efecto, si un individuo come una de las tres cosas, puede que coma también las otras dos, una o ninguna. Por ejemplo, si come carne, puede que también coma huevos y pescado o huevos y no coma pescado o pescado y no coma huevos o que no coma huevos ni pescado. Esto en términos de los conjuntos C, H y P quiere decir lo siguiente: C = (C H) (C H c ) = (C H P ) (C H P c ) (C H c P ) (C H c P c ) H = (C H) (C c H) = (C H P ) (C H P c ) (C c H P ) (C c H P c ) P = (C P ) (C c P ) = (C H P ) (C H c P ) (C c H P ) (C c H c P ) 57

24 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas y si ahora unimos los tres, tendremos que C H P = (C H P ) (C H P c ) (C H c P ) (C H c P c ) (C c H P ) (C c H c P ) (C c H P c ). Donde, como siempre, los conjuntos que integran el segundo miembro son disjuntos dos a dos ya que en cada pareja que elijamos figura un conjunto en uno de sus miembros y su complementario en el otro. Tenemos, por tanto, una descomposición de C H P en unión de conjuntos disjuntos, luego por el principio de adición, C H P = C H P + C H P c + C H c P + C H c P c La situación se refleja en la figura. + C c H P + C c H c P + C c H P c. C C H c P c C H c P C H P c C H P P H C c H c P C c H P C c H P c Ejemplo 3.16 Observemos ahora los datos que proporciona el enunciado. Sesenta comen pescado y carne pero no huevos. Entonces, C H c P = 60 Cuarenta comen pescado y huevos pero no carne, es decir, C c H P = 40 Treinta comen carne y huevos pero no comen carne, o sea, C H P c = 30 58

25 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Cincuenta comen únicamente pescado. Entonces, Cuarenta comen sólo carne, o sea, Treinta comen sólo huevos. Entonces, Todos comen, al menos, una de las tres cosas. C c H c P = 50 C H c P c = 40 C c H P c = 30 C H P = 1000 Sustituyendo estos datos en la expresión de C H P que teníamos al principio, C H P = C H P + C H P c + C H c P + C H c P c se sigue que + C c H P + C c H c P + C c H P c = C H P de aquí que los individuos que comen las tres cosas sean, C H P = 750 (b) Los individuos que comen pescado son los del conjunto P, y según vimos anteriormente, una descomposición de este conjunto en unión de subconjuntos disjuntos era: P = (C H P ) (C H c P ) (C c H P ) (C c H c P ) luego por el principio de adición, P = C H P + C H c P + C c H P + C c H c P = = 900 Así pues, son 900 los individuos que comen pescado. En los dos teoremas anteriores hemos probado el principio de inclusión-exclusión para dos y tres conjuntos. Se puede generalizar a n conjuntos, aunque para hacerlo se necesitan coeficientes binomiales Generalización del Principio de Inclusión-Exclusión Sean A 1, A 2,..., A n subconjuntos de algún universal U. Entonces, n n A i = A i A i A j + n A i A j A j + + ( 1) n 1 A i i,j i,j,k Ejemplo 3.17 En una encarnizada batalla al menos el 70% de los combatientes pierde un ojo, al menos un 75% pierden una oreja, como mínimo un 80% pierde un brazo y al menos el 85% una pierna. Cuántos han perdido por lo menos, las cuatro cosas? Sean 59

26 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas U. Conjunto de todos los combatientes en la batalla. O. Conjunto de los combatientes que pierden un ojo. J. Conjunto de los combatientes que pierden una oreja. B. Conjunto de los combatientes que pierden un brazo. P. Conjunto de los combatientes que pierden una pierna. Según los datos del ejercicio, Al menos el 70% pierde un ojo = O Al menos el 75% pierden una oreja = J 70 U U 100 Como mínimo el 80% pierden un brazo = B Al menos el 85% pierden una pierna = P 80 U U 100 Tenemos que calcular el tanto por ciento mínimo del O J B P. Pues bien, por el principio de inclusión-exclusión, de aquí que Ahora bien, es obvio que y análogamente, (O J) (B P ) = O J + B P O J B P O J B P = O J + B P (O J) (B P ) (3.11) (O J) (B P ) U O J = O + J O J B P = B + P B P y llevando estos resultados a (3.11), tendremos 70 U U U 100 U + 85 U 100 U O J B P 310 U U = luego al menos un 10% de los combatientes han perdido las tres cosas. 10 U 100 Ejemplo 3.18 Se lanzan tres monedas simultáneamente al aire, realizándose este experimento 100 veces. La de 100 ptas. muestra cara en 70 ocasiones, la de 50 ptas. muestra cara 50 ocasiones y 56 veces ha salido cara en la de 25 ptas. Las de 100 ptas. y 50 ptas. obtienen cara simultáneamente 31 veces, y las de 50 y 25 ptas. han dado cara simultáneamente en 28 ocasiones. Demostrar que las tres monedas mostraron cara simultáneamente en 9 veces al menos, y que las tres han mostrado simultáneamente cruz 11 veces como máximo. Llamaremos A i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 al conjunto cuyos elementos son los posibles resultados del lanzamiento de las tres monedas en cada uno de los 100 lanzamientos. La tabla siguiente muestra la situación. (c significa cara y x cruz) 60

27 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez A 1 c c c A 2 c c x A 3 c x c A 4 c x x A 5 x c c A 6 x c x A 7 x x c A 8 x x x Si U es el conjunto formado por todos los resultados posibles en los 100 lanzamientos, tendremos que 8 U = A i : A i A j =, i j luego por el principio de adición, 8 U = A i = 8 A i = 100 Pues bien, de los datos del ejercicio, La de 100 ptas. muestra cara en 70 ocasiones, luego A 1 A 2 A 3 A 4 = 70 = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 70 La de 50 ptas. muestra cara en 50 ocasiones, luego A 1 A 2 A 5 A 6 = 50 = A 1 + A 2 + A 5 + A 6 = veces ha salido cara en la de 25 ptas., luego A 1 A 3 A 5 A 7 = 56 = A 1 + A 3 + A 5 + A 7 = 56 Las de 100 ptas. y 50 ptas. obtienen cara simultáneamente 31 veces, luego A 1 A 2 = 31 = A 1 + A 2 = 31 Las de 50 y 25 ptas. han dado cara simultáneamente en 28 ocasiones, luego A 1 A 5 = 28 = A 1 + A 5 = 28 Pues bien, de aquí que al ser A 6 0, A 1 + A 2 + A 5 + A 6 = 50 A 1 + A 2 = 31 = A 1 A 6 = 9 A 1 + A 5 = 28 A 1 = 9 + A 6 = A 1 9 es decir, las tres monedas mostraron cara simultáneamente, al menos, en nueve ocasiones. Análogamente, 8 7 A i = 100 = A 8 = 100 A i. 61

28 Universidad de Cádiz Ahora bien, A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 70 A 1 + A 2 + A 5 + A 6 = 50 = A 1 + A 2 = 31 Departamento de Matemáticas 6 A i = 89 luego, 6 A 8 = 100 A i A 7 = A 8 = A 7 = A 8 = 11 A 7 { A 7 0} = A 8 11 es decir, las tres monedas han mostrado cruz simultáneamente once veces, como máximo. Ejemplo 3.19 En un estudio sobre las posibilidades de obtener madera entre los robles y pinos de dos parcelas, una de la sierra de Gredos y otra de la serranía de Villuercas, se obtuvieron entre otros, los siguientes datos: robles, 529; pinos, 484; árboles de la sierra de Gredos, 408; árboles maderables, 158; robles de la sierra de Gredos, 236; árboles de la sierra de Gredos no maderables, 328; robles maderables, 76; robles o árboles de Gredos o maderables, 738. (a) Hallar el número de robles maderables de la sierra de Gredos. (b) Hallar el número de pinos no maderables de la serranía de Villuercas. En este ejemplo hay dos particiones naturales del conjunto de todos los árboles, por un lado los que están en la Sierra de Gredos no pueden estar en la Serranía de Villuercas y viceversa y, por otro, los robles no son pinos y viceversa. Sin embargo, árboles maderables y no maderables los habrá tanto en Gredos como en Villuercas y, aún más, podrán ser robles o pinos. Así pues, si llamamos G: Árboles de la Sierra de Gredos. V : Árboles de la Serranía de Villuercas. R: Robles. G: Pinos. M: Maderables. tendremos que G V = y R P =, es decir, en ambos casos, cada uno es complementario del otro. La situación puede resumirse gráficamente en el diagrama siguiente. 62

29 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez G V M R R G M c R V M c R G M R V M P G M P V M P P G M c P V M c Ejemplo 3.19 Veamos que datos que proporciona el enunciado. Robles, 529, es decir, R = 529. Pinos, 484, o sea, P = 484. Árboles de la sierra de Gredos, luego G = 408. Árboles maderables, por lo tanto, M = 158. Robles de la sierra de Gredos, es decir, R G = 236. Árboles de la sierra de Gredos no maderables, o sea, G M c = 328. Robles maderables, luego R M = 76. Robles o árboles de Gredos o maderables, o sea, R G M = 738. (a) Calculemos el número de robles maderables que hay en la Sierra de Gredos. A la vista de los datos que proporciona el enunciado, podemos aplicar el principio de inclusiónexclusión para 3 conjuntos: R G M = R + G + M R G R M G M + R G M (3.12) 63

30 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas y el único dato que no conocemos es G M. Ahora bien, los árboles de la sierra de Gredos pueden ser maderables o no maderables, es decir, G = (G M) (G M c ) siendo, ésta, una descomposición de G en unión de subconjuntos disjuntos. Aplicando el principio de adición, G = G M + G M c de donde, sustituimos en (3.12) y G G M = G M c R G M = R + M R G R M + G M c + R G M = = 35 (b) Pinos no maderables hay en la Serranía de Villuercas. Lo que nos piden es el número de elementos del subconjunto (R G M) c. Pues bien, si tenemos en cuenta que el conjunto universal puede descomponerse en unión de disjuntos como R P y, también, como (R G M) (R G M) c, aplicando las leyes de De Morgan y el principio de adición, tendremos R P = (R G M) (R G M) c = R P = (R G M) (R c G c M c ) = R P = (R G M) (P V M c ) = R + P = R G M + P V M c = P V M c = R + P R G M = P V M c = = P V M c = 275 Ejemplo 3.20 En un estudio sobre sus prácticas deportivas hecho entre 150 estudiantes de la Universidad de Cádiz, se observa que los que juegan al fútbol no juegan al tenis ni al ajedrez y ninguno de los ajedrecistas juega al baloncesto. La encuesta arrojó además, los resultados siguientes: 25 juegan al fútbol. 52 juegan al baloncesto. 11 juegan únicamente al tenis. 15 juegan al fútbol y al baloncesto. 25 juegan al tenis y al baloncesto. Los que juegan al ajedrez son el cuádruple de los que juegan únicamente al baloncesto. Cuántos de los estudiantes encuestados no practican ninguno de estos cuatro deportes? Los estudiantes que practican alguno de los cuatro deportes son los del conjunto F B T A por lo tanto los que no practican ninguno son los de su complementario, es decir, (F B T A) c o lo que es igual F c B c T c A c. 64

31 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Por otra parte, si U es el conjunto universal formado por todos los estudiantes encuestados, tendremos que U = 150 y luego por el principio de adición, U = (F B T A) (F B T A) c U = F B T A + (F B T A) c de aquí que (F B T A) c = U F B T A = 150 F B T A. (3.13) Nuestro problema es, por tanto, calcular F B T A es decir, cuántos estudiantes practican alguno de los cuatro deportes. Además, del enunciado se sigue lo siguiente: Los que juegan al fútbol no juegan al tenis ni al ajedrez, luego F T = y F A = de aquí que (F T ) (F A) = es decir, F (T A) = Ninguno de los ajedrecistas juega al baloncesto, luego B A = de aquí que (F A) (B A) = o sea, (F B) A = Además, (F B) (T A) = [(F B) T ] [(F B) A] = (F T ) (B T ) [(F B) A] = (B T ) = B T La situación puede resumirse de forma gráfica en la figura siguiente: 65

32 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas U F B T A F c B c T c A c Ejemplo 3.20 Utilizando el principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos F B y T A, tendremos F B T A = (F B) (T A) = F B + T A (F B) (T A) = F B + T A B T (3.14) y como el enunciado proporciona, entre otros, los datos F, B, F B y T B, aplicamos de nuevo el principio de inclusión-exclusión a F B, es decir, que sustituido en (3.14), nos lleva a que y el único dato que nos falta es T A. F B = F + B F B F B T A = (F B) (T A) = F B + T A (F B) (T A) = F + B F B + T A B T (3.15) Pues bien, como conocemos los que juegan únicamente al tenis y los que juegan al ajedrez, descompondremos los que juegan al tenis o al ajedrez (T A) en los que juegan al tenis y no al ajedrez y los que juegan al ajedrez, es decir, T A = (T A c ) A y entre los que juegan al tenis y no juegan al ajedrez los hay que también juegan al baloncesto, es decir, Sustituyendo este resultado en la igualdad anterior, (T A c ) = (T A c B) (T A c B c ). T A = (T A c B) (T A c B c ) A y al ser los tres conjuntos disjuntos dos a dos, por el principio de adición, T A = T A c B + T A c B c + A 66

33 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez y como los que juegan al ajedrez no juegan al baloncesto, de aquí que T A c B = T B T A = T B + T A c B c + A donde T A c B c son los que juegan únicamente al tenis. Sustituyendo en (3.15), F B T A = F + B F B + T B + T A c B c + A B T = F + B F B + T A c B c + A (3.16) y sólo nos queda saber cuántos juegan únicamente al baloncesto ya que A es el cuádruple de ése número. Pues bien, según el enunciado los que juegan al baloncesto no juegan al ajedrez, luego sólo podrán jugar al fútbol o al tenis y como los que juegan al fútbol no juegan al tenis, tendremos que B = (B F ) (B F c T c ) (B T ) es una descomposición de B en unión de conjuntos disjuntos. Aplicando el principio de adición, B = B F + B F c T c + B T siendo B F c T c el número de estudiantes encuestados que juegan únicamente al baloncesto, luego A = 4 B F c T c = 4 B 4 B F 4 B T. Sustituyendo en (3.16) este resultado y, posteriormente, los datos del enunciado, F B T A = F + B F B + T A c B c + 4 B 4 B F 4 B T = F + 5 B 5 F B + T A c B c 4 B T = = = 121 Finalmente, llevando este resultado a (3.13), F B T A c = = 29 es decir, 129 estudiantes de los encuestados no practican ninguno de estos cuatro deportes. Ejemplo 3.21 En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres que beben que hombres que fuman y más mujeres que fuman y no beben que hombres que no beben ni fuman. Demostrar que hay menos mujeres que no beben ni fuman que hombres que beben y no fuman. Sea H: Conjunto formado por los hombres de la reunión. M: Conjunto formado por las mujeres de la reunión. F : Conjunto formado por las personas de la reunión que fuman. B: Conjunto formado por las personas de la reunión que beben. 67

34 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas H M H F B c M F B c F H F B M F B B H F c B M F c B H F c B c M F c B c Ejemplo 3.21 Según los datos aportados por el enunciado, hay más hombres que mujeres, es decir, H > M (3.17) Descompondremos los conjuntos H y M en unión de conjuntos disjuntos. H = (H F ) (H F c ) = (H F B) (H F B c ) (H F c B) (H F c B c ) M = (M F ) (M F c ) = (M F B) (M F B c ) (M F c B) (M F c B c ) Aplicando el principio de adición, H = H F B + H F B c + H F c B + H F c B c M = M F B + M F B c + M F c B + M F c B c Sustituyendo estos resultados en (3.17) H F B + H F B c + H F c B + H F c B c > M F B + M F B c + M F c B + M F c B c (3.18) 68

35 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez hay más mujeres que beben que hombres que fuman, es decir, M B > H F (3.19) Al igual que antes, escribimos los conjuntos M B y H F como unión de conjuntos disjuntos M B = (M F B) (M F c B) H F = (H F B) (H F B c ). Aplicando nuevamente el principio de adición, M B = M F B + M F c B H F = H F B + H F B c. y sustituyendo en (3.19) M F B + M F c B > H F B + H F B c (3.20) hay más mujeres que fuman y no beben que hombres que no beben ni fuman. Entonces, M F B c > H F c B c. (3.21) Pues bien, sumando miembro a miembro las desigualdades (3.18), (3.20) y (3.21) H F B + H F B c + H F c B + H F c B c + M F B + M F c B + M F B c > M F B + M F B c + M F c B + M F c B c + H F B + H F B c + H F c B c y simplificando, M F c B c < H F c B luego hay menos mujeres que no fuman ni beben que hombres que beben y no fuman. 3.5 Principio de Distribución Supongamos que deseamos introducir m objetos en n cajas siendo mayor el número de aquellos que de éstas, es decir, m > n. Obviamente, alguna de las cajas deberá contener más de un objeto. El principio que estudiamos ahora prueba este resultado y lo generaliza. Este principio se conoce, también, con el nombre de principio del cajón de Dirichlet, matemático alemán que lo usó para probar algunos resultados en teoría de números Teorema Sean m, n y p tres números enteros positivos. Si se dispone de np + m objetos para distribuir entre n cajas, entonces alguna caja deberá contener, al menos, p + 1 objetos. Demostración Supongamos que cada caja contiene, como máximo, p objetos; entonces el número de objetos contenidos en la totalidad de las cajas será, como máximo, np. Por tanto nos sobran m objetos y como por hipótesis m 1, tendremos que np < np + m luego, en efecto, alguna de las cajas ha de contener, al menos, p + 1 objetos. 69

36 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Corolario Si m 1, m 2,..., m n son n números naturales tales que n > p n entonces, para algún i entre 1 y n, se tiene que m i > p. Demostración Veamos que, al menos, alguno de los números dados es mayor que p. En efecto, de aquí que exista m 1 tal que n n m i m i > p = n m i > np n m i = np + m si ahora hacemos la suposición de que disponemos de n cajas y que m i es el número de elementos de cada caja, por el teorema anterior alguno de los m i debe ser estrictamente mayor que p. Obsérvese que en términos de conjuntos, el principio de distribución puede expresarse de la forma siguiente: Si se efectúa una partición de un conjunto finito A en n partes, entonces una de las partes posee, al menos, A /n elementos. Ejemplo 3.22 Se asignan de forma aleatoria a diez puntos de una circunferencia los números del 1 al 10. Demostrar que al menos una de las sumas asignadas a tres puntos consecutivos es mayor que 16. p 10 9 p 1 4 p p 3 p p 4 p p 7 1 p 6 5 p 5 Ejemplo

37 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez En la figura hemos dibujado una circunferencia con los diez puntos p i, 1 i 10 y un ejemplo de asignación de los números. Sea n i el número asignado al punto p i y s i = n i + n i+1 + n i+2, 1 i 8 s 9 = n 9 + n 10 + n 1 s 10 = n 10 + n 1 + n 2 Cada uno de los n i aparece en tres sumas, luego 10 s i = 10 3n i = 3 10 n i = 3( ) = 3 55 = 165 Pues bien, por el corolario existirá, al menos, una suma que vale s i = = 16, 5 > 16 Ejemplo 3.23 Sea T un triángulo equilátero de 2 cms. de lado. Demostrar que si se eligen cinco puntos en su interior, hay al menos dos de ellos que distan entre sí menos de 1 cm. Dividimos el triángulo en cuatro triángulos uniendo los puntos medios de sus lados. Ejemplo 3.23 Tenemos, pues, cinco puntos a distribuir entre cuatro triángulos. Por el principio de distribución alguno de ellos ha de contener al menos, dos puntos. Dado que la distancia máxima entre dos puntos dentro de cualquiera de los triángulos es 1 cm, la proposición está probada. 71

38 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Ejemplo 3.24 En un ordenador hay almacenadas palabras de cuatro o menos letras. Son todas distintas entre sí? (Se considera un alfabeto de 26 letras). Para la primera letra de cada palabra hay 26 opciones y para cada una de ellas 26 para la segunda y así sucesivamente. Por el principio de multiplicación habrá un total de palabras de cuatro letras = 26 4 Razonando de forma análoga habrá 26 3 palabras de tres letras, 26 2 de dos letras y 26 de una sola letra. Por el principio de adición, el número total de palabras de cuatro o menos letras será = Dado que hay palabras almacenada, no pueden ser todas distintas entre sí ya que por el principio de distribución, al menos una palabra se repite. Ejemplo 3.25 Sea A un conjunto formado por 25 números enteros positivos. Probar que A contiene, al menos, dos números que dan el mismo resto al dividirlos entre 24. Por el Algoritmo de la división, al dividir cualquier entero positivo por 24, existirán un cociente q y un resto r tales que n = 24q + r donde 0 r < 24. Hay, pues, 24 restos distintos y como el conjunto A contiene 25 números, por el principio de distribución habrá, al menos, dos que den el mismo resto al dividirlos entre 24. Ejemplo 3.26 Cuántos habitantes debe tener una ciudad para asegurar que hay al menos dos habitantes cuyas iniciales del nombre y de los dos apellidos coincidan? Sea A el conjunto de las letras del alfabeto y supongamos que A = 26. Entonces, el número de opciones para la primera letra del nombre y cada uno de los dos apellidos es el número de elementos del conjunto A A A. Por el principio de multiplicación, A A A = A A A = 26 3 = Ahora, por el principio de distribución, el número mínimo de habitantes para asegurar la existencia de dos de ellos con las mismas iniciales es Ejemplo 3.27 En una oposición, cada opositor debe contestar a tres temas distintos elegidos por sorteo entre diez. Si se han presentado 721 opositores, demostrar que (a) Al menos a diecisiete opositores les tocaron los dos primeros temas iguales. (b) Al menos nueve opositores deberán contestar el mismo primer tema y el mismo tercer tema. (c) Al menos a dos opositores les coincidieron los tres temas y en el mismo orden. Calculamos el número de resultados distintos que son posibles en el sorteo. 72

39 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Para el primer tema hay diez opciones posibles, nueve para el segundo y, finalmente, hay ocho opciones para el tercero. Por el principio de multiplicación, el número de resultados distintos es: = 720 (a) Si consideramos únicamente los dos primeros temas, el número de resultados distintos posibles en el sorteo es de 90. Observamos que el orden de los temas no influyen, es decir, el resultado de segundo y cuarto temas es idéntico al de cuarto y segundo. Consecuentemente, el número de resultados distintos posibles es 45. Pues bien, 721 = luego, por el principio de distribución, habrá al menos, 17 opositores que se han examinado de los mismos dos primeros temas. (b) En este caso el orden de los temas en el sorteo si influye. En efecto, si a un opositor le tocase el tema seis como primero y el tema ocho como segundo, y a otro el tema ocho como primero y el tema seis como segundo serían resultados distintos desde el punto de vista en que se plantea la pregunta. Por el principio de multiplicación habría 10 9 = 90 resultados posibles del sorteo para los temas primero y tercero. Al ser 721 = por el principio de distribución hay, al menos, un subconjunto con nueve opositores que deberán contestar al mismo primer tema y al mismo tercer tema. (c) Razonando igual que en el apartado anterior, el orden influye, luego el número de resultados posibles es = 720, y al ser 721 = el principio de distribución asegura que al menos, dos opositores se examinaron de los mismos tres temas y en el mismo orden. 73