REPASO PROBABILIDAD 1) Se ha realizado una encuesta entre los estudiantes de una universidad para conocer las actividades que desarrollan en el tiempo libre. El 80% de los entrevistados ven la televisión o leen; el 35% hacen ambas cosas y el 60% no lee. Para un estudiante, elegido al azar, calcula la probabilidad de que: a. Vea la televisión y no lea. b. Lea y no vea la televisión. c. Haga solamente una de las dos cosas. d. No haga ninguna de las dos cosas. 2) Blanca y Alfredo escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos. Calcula la probabilidad de que no escriban la misma vocal. 3) Se escuchan tres discos y se vuelven a guardar al azar. Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los discos haya sido guardado en su funda? 4) La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso A es, la probabilidad de que ocurra un suceso B es y la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos A y B es. Determine: a. Probabilidad de que se verifique A o B. b. Probabilidad de que no se verifique A ni B. c. Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B. d. Son A y B sucesos independientes? 5) Se dispone un mazo de 450 fichas de estudiantes en una escuela de idiomas. Cada estudiante cursa un solo idioma de los tres que se imparten. El número de mujeres es, del de hombres y los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado. El número de estudiantes de francés duplica al de estudiantes de alemán. Sea M el suceso sacar una ficha de mujer al extraer una ficha, al azar, del citado mazo (análogamente, sean H, I, F y A los sucesos sacar hombre, inglés, francés y alemán, respectivamente). Sabiendo que M A es el suceso seguro y que M F y H F son equiprobables., determina: a. Probabilidad del suceso F. b. Probabilidad del suceso M I. c. Probabilidad del suceso F M. 6) Se tienen dos monedas, una sin trucar y otra trucada. Sabiendo que con la moneda trucada la probabilidad de obtener una cruz es triple que la de obtener cara, calcula la probabilidad de que al lanzar las dos monedas: a. Se obtengan dos caras. b. No se obtenga ninguna cara. 7) El 45% del censo de cierta ciudad vota al candidato A, el 35% al candidato B y el resto se abstiene. Se eligen al azar tres personas del censo (se considera que el censo de la ciudad es tan grande como para tomar las mismas probabilidades para el primero, el segundo y el tercero ciudadano elegido). Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a. Los tres votan al candidato A. b. Al menos una de las tres no se abstiene. 1
8) De una baraja española de 40 cartas se extraen sucesivamente, y sin reposición, dos cartas. Calcula la probabilidad de que: a. La primera carta sea de copas y la segunda de espadas. b. Ninguna de bastos. c. Las dos de oros. d. Al menos una no sea de oros. 9) Una caja contiene 10 bolas blancas, 5 negras y 5 rojas. Se extraen dos bolas consecutivamente de la caja. Calcula la probabilidad de que las dos sean blancas si: a. Antes de extraer la segunda bola, se mete la primera en la caja. b. La segunda bola se extrae sin haber metido la primera en la caja. 10) En un estudio realizado sobre Navarra se recogen los siguientes datos: - El 55% de la población son mujeres. - El 12% de los hombres son universitarios. - El 15% de las mujeres son universitarias. - El 30% de las universitarias están cursando una carrera de letras. Según este estudio: a. Calcula la probabilidad de que un habitante de Navarra, elegido al azar, sea mujer, universitaria y esté cursando carrera de letras. b. Qué porcentaje de la población de Navarra están cursando estudios universitarios? c. Qué porcentaje de los universitarios son hombres? 11) Se dispone de un dado trucado de cuatro cras numeradas del 1 al 4, de modo que P({4}) = 4 P({1}); P({3}) = 3 P({1}) y P({2}) = 2 P({1}) donde P({4}) indica la probabilidad de obtener la puntuación 4, y así sucesivamente, el resto de las probabilidades. Se dispone también de dos urnas con la siguiente composición: Urna 1: 1 bola roja y 2 verdes Urna 2: 2 bolas rojas y 3 verdes Se lanza el dado. Si sale un numero par, extraemos una bola de la urna 1, U 1 ; si sale impar, de la urna 2, U 2. a. Determina las probabilidades de los sucesos elementales que se presentan al lanzar el dado. b. Se lanza el dado y, a continuación, extraemos la bola de la urna que corresponda. Halla la probabilidad de que sea verde. 12) En cierto curso de un centro de enseñanza, el 62,5% del alumnado aprobaron Matemáticas. Por otro lado, entre quienes aprobaron Matemáticas, el 80% aprobó también Física. Se sabe igualmente que solo el 33,3% de quienes no aprobaron Matemáticas, aprobaron Física. a. Qué porcentaje consiguió aprobar ambas asignaturas a la vez? b. Si un estudiante no aprobó Física, qué probabilidad hay de que aprobara Matemáticas? 13) Dos urnas tienen las siguientes composiciones: la primera, 7 blancas, 5 rojas y 3 verdes; y la segunda, 5 blancas, 4 rojas y 3 verdes. Se traspasa una bola, escogida al azar, de la primera urna a la segunda urna, a continuación, se extrae una bola de la segunda urna. a. Cuál es la probabilidad de que sea roja? b. Si la bola que se extrae resulta verde, cuál es la probabilidad de que la bola traspasada sea blanca? 2
SOLUCIONES 1) A = ver TV B = lee Datos: P(A B) = 0,8 P(A B) = 0, 35 P(B ) = 0,6 P(B) = 1 P(B ) = 1 0,6 = 0,4 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B); 0,8 = P(A) + 0,4 0,35; P(A) = 0,8 0,05 = 0,75 a. P(A B ) = P(A) P(A B) = 0,75 0,35 = 0,4 b. P(A B) = P(B) P(A B) = 0,4 0,35 = 0,05 c. P(A B ) + P(A B) = 0,4 + 0,05 = 0,45 d. P(A B ) = P((A B) ) = 1 P(A B) = 1 0,8 = 0,2 2) Blanca Alfredo a (a, a) e (a, e) a i (a, i) casos posibles = 5 5 = 25 o (a, o) casos favorables = 4 5 = 20 u (a, u) e i A = no escriban la misma vocal P(A) = = o u 3) A = al menos uno de los discos ha sido guardado en su funda Veamos las posibilidades: Casos posibles = 6 Casos favorables = 4 Funda 1 Funda 2 Funda 3 Disco 1 Disco 2 Disco 3 Disco 1 Disco 3 Disco 2 Disco 2 Disco 1 Disco 3 Disco 2 Disco 3 Disco 1 Disco 3 Disco 2 Disco 1 Disco 3 Disco 1 Disco 2 P(A) = = 4) Datos: P(A ) = ; P(B) = ; P(A B) = 3
a. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = + = b. P(A B ) = P((A B) ) = 1 P(A B) = 1 c. P(A B) = ( ) () = = = = d. P(A) P(B) = = = P(A B) entonces A y B no son independientes. 5) x = nº de hombres de x = nº de mujeres x + x = 450 2x + 3x = 900 5x = 900 x = 180 Por tanto, hay 180 hombres y 270 mujeres 80% de 450 = 360 estudiantes de inglés x = estudiantes de alemán 2x = estudiantes de francés 360 + x + 2x = 450; 3x = 90; x = 30 estudiantes de alemán M A suceso seguro, quiere decir que todos los estudiantes alemanes son mujeres. M F y H Fson equiprobables, esto es, tienen la misma probabilidad; por tanto, en francés el número de hombres y mujeres debes ser el mismo. Inglés Francés Alemán TOTAL Hombres 150 30 0 180 Mujeres 210 30 30 270 TOTAL 360 60 60 450 a. P(F) = b. P(M I) = c. P(F M) = 6) A = salir cara en la moneda normal B = salir cara en la moneda trucada ; P(B ) = 3 P(B); P(B) = 1 P(B ) ; P(B) = 1 3 P(B); 4 P(B) = 1; P(B) = P(A) = ; P(B) = A y B son independientes, está claro que el resultado de lanzar la moneda normal, no afecta al resultado de la moneda trucada. a. P(A B) = P(A) P(B) = = b. P(A B ) = = 7) A i = el ciudadano i, vota al candidato A ; B i = el ciudadano i, vota al candidato B ; O i = el ciudadano i, se abstiene i = 1, 2 y 3 P(A i ) = 0,45; P(B i ) = 0,35 y P(O i ) = 0,2 es evidente que los sucesos son independientes, puesto que el voto de cada ciudadano no depende del voto de los demás. a. P(A A A ) = P(A ) P(A ) P(A ) = 0,45 0,45 0,45 = 0 09 b. P( al menos una de las tres no se abstiene) = 1 P(todas se abstienen) = 1 P(O O O ) = 1 0,2 3 = 0,992 4
Otra forma de entender el apartado b): A ------------------(A, A, A) A B ------------------ (A, A, B) O ------------------(A, A, O) A ------------------ (A, B, A) A B B ------------------ (A, B, B) O ------------------(A, B, O) A ------------------(A, O, A) O B ------------------ (A, O, B) O ------------------(A, O, O) A ------------------(B, A, A) A B ------------------ (B, A, B) O ------------------(B, A, O) A ------------------(B, B, A) B B B ------------------ (B, B, B) O ------------------(B, B, O) A ------------------(B, O, A) O B ------------------ (B, O, B) O ------------------(B, O, O) A ------------------(O, A, A) A B ------------------ (O, A, B) O ------------------(O, A, O) A ------------------(O, B, A) O B B ------------------ (O, B, B) O ------------------(O, B, O) A ------------------(O, O, A) O B ------------------ (O, O, B) O ------------------(O, O, O) Al menos uno no se abstiene, equivale a decir que uno no se abstiene (votan un candidato y dos abstenciones), o dos no se abstienen (votan dos candidatos y uno se abstiene) o tres no se abstienen (votan dos candidatos) Sea C = votan un candidato y dos abstenciones ; D = votan dos candidatos y una abstención y E = votan dos candidatos C = {(A, O, O), (B, O, O), (O, A, O), (O, B, O), (O, O, A), (O, O, B)} D = {(A, A, O), (A, B, O), (A, O, A), (A, O, B), (B, A, O), (B, B, O), (B, O, A), (B, O, B), (O, A, A), (O, A, B), (O, B, A), (O, B, B)} E = {(B, B, B), (B, B, A), (B, A, B), (B, A, A), (A, B, B), (A, B, A), (A, A, B), (A, A, A)} P(C) = 0,45 0,2 0,2 + 0,35 0,2 0,2 + 0,2 0,45 0,2 + 0,2 0,35 0,2+ 0,2 0,2 0,45 + + 0,2 0,2 0,35 = 0,018 + 0,014 + 0,018 + 0,014 + 0,018 + 0,014 = 0,096 P(D) = 0,45 0,45 0,2 + 0,45 0,35 0,2 + 0,45 0,2 0,45 + 0,45 0,2 0,35 + 0,35 0,45 0,2 + + 0,35 0,35 0,2 + 0,35 0,2 0,45 + 0,35 0,2 0,35 + 0,2 0,45 0,45 + + 0,2 0,45 0,35 + 0,2 0,35 0,45 + 0,2 0,35 0,35 = = 0,0405 + 0,0315 + 0,0405 + 0,0315 + 0,0315 + 0,0245 + 0,0315 + 0,0245 + 0,0405 + + 0,0315 + 0,0315 + 0,0315 + 0,0245 = 0,0405 3 + 0,0315 3 + 0,0315 6 = = 0,1215 + 0,0735 + 0,189 = 0,384 P(E) = 0,35 3 + 0,35 0,35 0,45 + 0,35 0,45 0,35 + 0,35 0,45 0,45 + 0,45 0,35 0,35 + + 0,45 0,35 0,45 + 0,45 0,45 0,35 + 0,45 3 = 0,042875 + 0,055125 + 0,055125 + + 0,070875 + 0,055125 + 0,070875 + 0,070875 + 0,091125 = 0,042875 + 0,055125 3 + 0,070875 3 + 0,091125 = 0,042875 + 0,165375 + 0,212625 + 0,091125 = 0,512 5
P( al menos una de las tres no se abstiene) = P(C) + P(D) + P(E) = 0,096 + 0,384 + 0,512 = 0,992 8) a. P(primera carta copas y segunda, espadas) = b.p(ninguna de bastos) = c. P(las dos cartas de oros) = d. P(al menos una no es de oros) = 1 P(primera y segunda de oros) = 1 9) a. P(las dos bolas sean blancas) = = = b.p(las dos sean blancas) = 10) Sea C = estudiante que cursa carrera de letras P(M) = 0,55; P(H) = 0,45 P(U M) = 0,15; P(U M) = 0,15; P(L M U) = 0,3; P(L M U) = 0,7 P(U H) = 0,12; P(U H) = 0,15; Universitarias L No L Mujeres No universitarias Hombres Universitarios No universitarios a. P(M U L) = P(M) P(U M) P(L M U) = 0,55 0,15 0,3 = 0,02475 b. Aplicando el teorema de la probabilidad total P(U) = 0,55 0,15 + 0,45 0,12 = 0,1365 Por tanto, el porcentaje será del 13,65% c. Aplicando el teorema de Bayes,, P(H U)=,,,, = 0,3956 Por tanto, el porcentaje será del 39,56% 11) Para que fuera una función de probabilidad, se debe cumplir que la probabilidad del suceso seguro sea 1; esto es, P({1},{2},{3},{4}) = P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) dado que los sucesos elementales son independientes. a. Por tanto, P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) = 1 Si sustituimos en dicha expresión los datos del problema tenemos: P({1}) + 2 P({1}) + 3 P({1}) + 4 P({1}) = 1; 10 P({1}) = 1; P({1}) = De donde, P({2}) = ; P({3}) = ; P({1}) = b. P(el número que sale al lanzar el dado es par) = P({2}) + P({4}) = 6
P(el número que sale al lanzar el dado es impar) = P({1}) + P({3}) = P(verde) = + Par Urna 1 Impar Urna 2 roja verde roja verde 12) M = aprobar matemáticas ; F = aprobar física P(M) = 0,625; P(F M) = 0,8; P(F M)= 0,2 P(M ) = 0,375; P(F M ) = 0,333; P(F M ) = 0,667 M F No F F No M No F a. P(M F) = 0,65 0,8 = 0,5. Por tanto, el 50% b. Aplicando el teorema de la probabilidad total P(F) = 0,625 0,8 + 0,375 0,333 = 0,6249. Por tanto, 62,49% c. Aplicando el teorema de Bayes P(M F,, ) =,,,, = 0,3332 13) Veamos el diagrama de árbol Primera urna Segunda urna B 6B, 4R, 3V R B V B R 5B, 5R, 3V R V V 5B, 4R, 4V R V B a. Aplicamos el teorema de la probabilidad total P(segunda bola roja) = + + = b. Aplicamos el teorema de Bayes 7
P(primera blanca segunda verde) = = = 8