PROGRAMA ENTRENAMIENTO Guía Potencias y propiedades Desafío Si N es un número entero, entonces la expresión I) N N siempre es un número real. II) (N 1) N es un número real solamente si N es distinto de 0. III) N (N 1) es un número real solamente si N es distinto de 0. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Es (son) verdadera(s) A) solo II. B) solo III. C) solo I y II. D) solo I y III. E) I, II y III. GUICEN002MT21-A17V1 Resolución Mis observaciones 1
Programa Entrenamiento - Matemática Marco teórico Potencias en ejercicios algebraicos: Potencias de exponente entero a : base n: exponente Exponente positivo a n = a a a a a a n veces Exponente negativo a n = 1 a n, con a 0 Exponente cero a 0 = 1, con a 0 0 0 y 0 n no existen Multiplicación de potencias de igual base a n a m = a n + m División de potencias de igual base a n a m = an m, con a 0 Propiedades Multiplicación de potencias de igual exponente a n b n = (a b) n División de potencias de igual exponente a n b n = ( a b) n, con b 0 Potencia de una potencia (a n ) m = a n m 2
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Potencias en ejercicios aritméticos: Potencias de 10 Exponente positivo: indica la cantidad de espacios a la derecha que se debe correr la coma. Agregar ceros si es necesario. Exponente negativo: indica la cantidad de espacios a la izquierda que se debe correr la coma. Agregar ceros si es necesario. Por ejemplo: 23,56 10 4 = 235.600 Por ejemplo: 167,8 10 5 = 0,001678 En caso de que el factor esté entre 1 y 10, se llama notación científica. Por ejemplo: 5.630.000 = 5,63 10 6 0,03495 = 3,495 10 2 Factorización de expresiones con potencias No existen propiedades para la suma y resta de potencias, sin embargo, hay algunas técnicas para su reducción a n + a m = a m (a n m + 1), con n > m Por ejemplo, 5 15 + 5 13 = 5 13 (5 2 + 1) = 26 5 13 a n + a n + a n + + a n = m a n m veces Por ejemplo, 3 8 + 3 8 + 3 8 + 3 8 = 4 3 8 3
Programa Entrenamiento - Matemática Ejercicios PSU A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos. 1. 7 2 + 5 5 5 2 = A) 7 2 + 5 3 B) ( 7 5 ) 2 + 53 C) ( 7 5 ) 2 + 5 3 D) ( 7 5 ) 2 + 5 5 E) ( 7 5 ) 2 + 5 2 2. Se define la operación (a ) = a 1 + ( 1) a. El valor de ( 4 ) es igual a A) 1,25 B) 0,75 C) 0,75 D) 1,25 E) ninguno de los valores anteriores. 4
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 3. 5.400 3,8 0,18 0,19 = A) 6 10 3 B) 6 10 2 C) 60 D) 6 10 3 E) 6 10 5 4. El valor de (9 3 + 9 3 + 9 3 ) es A) 81 B) 3 7 C) 27 3 D) 9 9 E) 27 9 5. 33,3 10 20 0,00002 10 35 = A) B) C) D) E) 2 27 1048 2 27 1049 2 27 1052 2 27 1053 2 27 1055 6. (32 3 + 32 3 + 32 3 + 32 3 ) 4 = A) 2 21 B) 2 62 C) 2 68 D) 2 84 E) 2 120 5
Programa Entrenamiento - Matemática 7. La expresión (2 10 + 2 10 ) equivale a A) 2 11 B) 2 20 C) 4 11 D) 4 20 E) 4 5 8. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) 2 3 3 3 = ( 1) 3 II) ( 3a 3 ) 2 = 9a 6 III) 3 4 = 9 2 A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 9. Se descompone el número un millón de la forma (a m b n ) 2, con a y b números primos. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) a = 2 II) m = 3 III) (a b) 2 = n 2 A) Solo I B) Solo III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. 6
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 10. 10 1 + 10 2 + 10 3 +... 100 1 + 100 2 + 100 3 +... = A) B) C) 1 99 1 11 1 9 D) 9 E) 11 11. Un número entero positivo p se puede descomponer de la siguiente forma: p = 2 n 3 m 5 a. Para cuál(es) de los siguientes valores de p, el valor de (n + m + a) es 3? I) 18 II) 125 III) 30 A) Solo para II B) Solo para III C) Solo para I y para III D) Solo para II y para III E) Para I, II y III 12. Se definen como números buenos a aquellos números enteros positivos NO primos que tienen solo un dígito. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Al multiplicar todos los números buenos el resultado es 12 3. II) Al sumar todos los números buenos el resultado es 3 3. III) Al sumar una pareja cualquiera de números buenos distintos, el resultado no es un número bueno. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 7
Programa Entrenamiento - Matemática 13. Cuál(es) de los siguientes números se encuentra(n) entre 2.800 10 28 y 35 10 30? I) 1.500 10 29 II) 0,03 10 33 III) (2 10 6 ) 5 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 14. Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) 9 27 = 3 6 II) (9 + 27) 2 = 16 3 4 III) 27 2 9 2 = 8 3 4 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 15. Cuál de los siguientes valores NO es divisor de la expresión (5 3 5 5 + 25 2 )? A) 19 B) 5 4 C) 5 2 D) 5 3 E) 5 3 8
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Estrategia de síntesis En el casillero de la segunda fila, completa con la letra correspondiente a la expresión equivalente de la primera fila (considerando a las variables a, b, n y m como números enteros positivos). A B C D E F G (a n ) m (a b) n a 0 a n + m a n : a m ( a b ) n ( a b ) n a n m a n b n a n m 1 a n b n ( b a ) n a n a m 16. Sean p y q números enteros positivos. Cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera? A) p q + p q = p 2q B) p q : p p = p p q C) 3 p 3 q = 3 pq D) p p q = p q + 1 E) p q = q p q 1 17. Si x 0, entonces la expresión ( A) x 3n 6 B) x 3n 5 C) x 3n 3 D) x 3n 2 E) x 2n 3 x 4(n 1) x n 2(n + 1) x ) es equivalente a 9
Programa Entrenamiento - Matemática 18. La expresión ( m 1 A) m 2 1 m ), con m > 1, es igual a B) C) D) E) 1 1 m 2 m m 1 1 m 2 1 m m 2 1 25 12 19. Al desarrollar la expresión ( x 5 x 3 1 x 4 ) se obtiene A) 3 x 1 B) 2 x 3 x + 1 C) 5 2 + x 3 x + 1 D) 5 2 + x 3 x + 1 4 2x E) 10 5 x 3 x + 1 20. La expresión ( 2n + 2 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 3 4 ) es equivalente a A) 15 2 n 2 B) 7 2 n 1 C) 15 2 n 1 D) 2 4n + 4 E) 2 4n + 5 10
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 21. Sea n un número entero. Entonces, la expresión ( 5n + 1 + 5 n 1 A) 2 n 5 ) es siempre igual a B) 5 C) 26 5 D) 2 n E) 5 n 22. La expresión (a 2 + a 2 + a 2 ) 4, con a 0, es siempre igual a A) B) a 8 81 a 8 3 C) 3 a 8 D) 81 a 8 E) a 24 23. Si el cuociente de una división es 125x 3 y el dividendo es x7 5, con x 0, entonces el divisor es A) x 4 625 B) 25 x 4 C) 125 x 4 D) E) 625 x 10 x 10 625 11
Programa Entrenamiento - Matemática 24. Al simplificar la expresión ( 2n + 5 8 2 n + 1 2 n + 1 4 ), con n en los enteros, resulta A) 2 n + 5 2 B) 2 n + 4 C) 2 D) 16 2 n + 2 E) 2 2 n + 3 ( 25. Si a y b son números reales distintos de cero, entonces la expresión siempre equivalente a ( a b ) 2 + [( a b ) 2 ( a b 2 )3 ] 1 ) es A) 2b 3 a B) ( a b ) 4 (a 4 + b 4 ) C) b 4 ( 1 + ( b a ) 5 ) D) 2b 4 a E) 0 12
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 26. Sean a, m y n números enteros positivos tales que n < m. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) El mínimo común múltiplo entre a n y a m es a m. II) El máximo común divisor entre a n y a m es a n. III) a n es un número positivo menor que 1. m a A) Solo III B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. 27. ( Se puede determinar el valor numérico de la expresión (a2 ) x + 1 (a x 2 ) 2 )' si: (1) x = 1 (2) a = 2 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 28. Se puede determinar el valor numérico de la expresión ( a 2b)b, con b 0, si: (1) b es la mitad de a. (2) b = 0,5 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 13
Programa Entrenamiento - Matemática 29. Se puede determinar el valor de n, con n IR, si: (1) n 2 = 4 (2) n 3 = 8 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 30. Se puede determinar el valor numérico de la expresión ( 2m + n n m 2 ), con n y m números enteros positivos, si se conoce: (1) El valor de 2 n. (2) El valor de 2 m. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 14
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Torpedo Números Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación. Conjuntos numéricos Naturales (N): {1, 2, 3, 4, } Enteros (Z): {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Racionales (Q): son aquellos que pueden escribirse como fracción. Irracionales (Q*): son aquellos que no pueden escribirse como fracción. Reales (R): unión entre el conjunto Q y Q*. Imaginarios (I): son de la forma bi, con b un número real e i la unidad imaginaria. Complejos (C): son de la forma a + bi, con a y b números reales e i la unidad imaginaria. Conceptos claves Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el inverso aditivo de a es a, ya que a + ( a) = 0. Multiplicativo o recíproco: el recíproco de un número es tal que al multiplicarlos, el resultado es 1. Ejemplo: el opuesto multiplicativo de a b es b a, ya que a b b a = 1, con a y b distintos de cero. Números pares: son de la forma 2n, con n un número entero ({, 4, 2, 0, 2, 4, 6, }). Números impares: son de la forma (2n 1), con n un número entero ({, 5, 3, 1, 1, 3, 5, }). Múltiplos de un entero: son aquellos que se obtienen al multiplicar un cierto número entero por otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, }. Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m. de dos o más números enteros positivos corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 y 12 es 24, ya que 8 3 = 24 y 12 2 = 24. Divisores de un entero: son aquellos números enteros que dividen exactamente a un cierto entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D. de dos o más números enteros positivos corresponde al mayor de los divisores que tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12 y 18 es 6, ya que 12 : 6 = 2 y 18 : 6 = 3. Números primos: son aquellos números enteros positivos que solo tienen dos divisores: el uno y sí mismo. Ejemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, }. 15
Programa Entrenamiento - Matemática Regla de los signos Adición: al sumar dos números con igual signo, se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto signo, se calcula la diferencia entre los números y se mantiene el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: 3 + ( 5) = 8 ; 7 + 9 = 2 Sustracción: la diferencia entre dos números es igual a la suma entre el minuendo y el inverso aditivo del sustraendo. Es decir, a b = a + ( b). Ojo: a ( b) = a + b. Ejemplos: 5 9 = 5 + ( 9) = 4 ; 2 ( 3) = 2 + 3 = 5 Multiplicación y división: se calcula el producto o cociente entre los números. El resultado será positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado será negativo si ambos tienen distinto signo. Ejemplos: 7 ( 2) = 14 ; 20 : 5 = 4 Prioridad en las operaciones. 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores. 2º Potencias. 3º Multiplicación y división, de izquierda a derecha. 4º Adición y sustracción, de izquierda a derecha. Amplificación y simplificación de fracciones Multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el mismo número, sin alterar el valor de la fracción. Ejemplos: 5 9 = 5 3 9 3 = 15 27 ; 15 20 = 15 : 5 20 : 5 = 3 4 Operaciones en los racionales Suma y resta de fracciones: si dos fracciones tienen igual denominador, los numeradores se suman o se restan dependiendo de la operación. En el caso contrario, se amplifican de modo que tengan igual denominador. Multiplicación de fracciones: se multiplican ambos numeradores y ambos denominadores. División de fracciones: se obtiene invirtiendo el divisor, para así obtener un producto de fracciones. Ejemplos: 7 13 5 13 = 7 5 13 = 2 13 4 9 + 5 6 = 4 2 9 2 + 5 3 6 3 = 8 18 + 15 18 = 8 + 15 18 Ejemplo: 3 8 4 15 = 3 4 8 15 = 12 12 : 12 = 120 120 : 12 = 1 10 Ejemplo: 10 9 : 5 12 = 10 12 9 5 = 10 12 9 5 = 120 45 = 23 18 120 : 15 = 45 : 15 = 8 3 16
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad Dificultad Estimada 1 Comprensión Fácil 2 Aplicación Media 3 Aplicación Media 4 Aplicación Media 5 Aplicación Media 6 Aplicación Media 7 Aplicación Media 8 ASE Media 9 ASE Difícil 10 ASE Difícil 11 ASE Difícil 12 ASE Difícil 13 ASE Media 14 ASE Fácil 15 ASE Difícil 16 Comprensión Fácil 17 Aplicación Media 18 Aplicación Media 19 Aplicación Difícil 20 Aplicación Difícil 21 Aplicación Media 22 Aplicación Media 23 Aplicación Media 24 Aplicación Media 25 Aplicación Media 26 ASE Media 27 ASE Media 28 ASE Media 29 ASE Media 30 ASE Media 17
Programa Entrenamiento - Matemática Mis apuntes 18
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Mis apuntes 19
Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias. Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.