ECUACIONES I 8. Calcula el valor de a para que sean solución de la ecuación 3(-) +a Sustituyendo: 3( - ) + a 3 0 + a 0 + a 0 a a - 9. El ordenador de Juan tiene una velocidad de 1600 Mhz, que es el triple más 100 de la velocidad del ordenador de Carlos. Qué velocidad tiene el ordenador de Carlos? Velocidad del ordenador de Carlos: Velocidad del ordenador de Juan: 1600 Triple de Carlos + 100 1600 3 + 100 1600 100 3 15003 1500/3 500 Mhz 10. Indica el valor de la incógnita en las epresiones siguientes: a) 10 5 d) 16 10 5 16/ 5 8 b) 10/5 105 10/5 c) /10 30 30 10 300 e) 5 8 5 + 8 13 f) + 10 3 10 3 10 10/ 5 g) m + 3 m 3 m m m3 11. Resuelve la siguiente ecuación: +4 1 +3 5 Denom. común 10 +4 1 +3 5 5 +0 + 30 10 10 10 5 +0+30 Quitar denom. 35 +0 Separar 35 0 33 33 :11 1. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones: 67(4 +14) 68 +98 a) 6 988 + 10430 b) 104 30 5 15 5 + 3 3 4 1 10 + 3 + 3 +1 10 +33 +1 10 3 1 3 7 7 c) 3 + 5 3 3 4 1 18 1 + 30 1 9 1 1 1 18 +30 9 1 18 +30 9 1 39 1 1 39 4 13 3 d) 3 4 1 3 +1 + 6 4 6 1 18 4 6 9 +3 1 1 1 + 1 4 6 1 18 4 +69 +3+1 4 18+6 3+49 +1 1 +4 1133 11 33 1 3
e) f) g) h) 3 4 3 4 34 + 36 3 6 1 +5 +3 3 3 +15+3 3 3 15 1 1 6 5 3 4 4( 5)3 8 03 8 3 5 0 5 4 4 1 15 4 4 1 4( 15) 4 1 4 +60 4 +4 60+1 8 7 7 8 9 i) j) +4 5 +3 +1 1 4 4 +16 5 +15 0 10 +10 0 0 0 0 4 +16 5 15 10 10 4 5 +10 10 16+15 9 9 9 9 1 3 6 1 5 + 3 15 5 15 30 30 6 6 0 10 + 30 30 15 5 15 6 6 +0 10 15 6 0 6 10 +5 +15 114 11 4 k) +1 +1 8 3 + +3 5 15 +15 40 +40 4 +7 + 10 10 10 15 +15 40 40+4 +7 +47 47 13. La edad de una madre es el triple que la de su hijo. Dentro de 10 años su edad será el doble. Qué edad tiene cada uno? AHORA EN 10 AÑOS Madre : 3 3 +10 Hijo : +10 3+10(+10) 3+10 +0 3 10 10 La madre tiene ahora 30 años y el hijo 10 (en 10 años serán 40 y 0) 14. Si sumamos 5 unidades al doble de un número, el resultado es el mismo que si le sumáramos 7 unidades. Cuál es el número? Número: Doble más 5 unidades : +5 Número más 7 unidades: +7 +5+7 7 5 El número es ( + 5 9 / + 7 9)
15. Queremos repartir un dinero entre varios chicos. Si damos 100 céntimos a cada uno, sobran 15 céntimos, mientras que si les damos 15 céntimos faltan 35 céntimos. Cuántos chicos hay? cuánto dinero tenemos? Número de chicos: 100 a cada uno, sobra 15: dinero total 100 +15 En ambos caso es el mismo dinero 15 a cada uno, faltan 35: dinero total 15 35} 15 35100 +15 15 100 15+35 5 50 50 5 Son dos chicos. Si cada uno recibe 100 céntimos y sobran 15, hay 15 céntimos para repartir. 16. La suma de tres números naturales consecutivos es 84. Halla dichos números. Los tres números son, +1 y + (son consecutivos): ++1 +84 + +84 1 3 81 81 3 7 Los tres números son 7, 8 y 9 7+8+984 17. En un rectángulo de base 70 m y altura 30 m se disminuye 10 m la base. Cuánto debe aumentar la altura para que resulte la misma superfice? Aumento de laaltura: Rectángulo original: 70 30100m Rectángulo modificado: (70 10) (30+ )60(30+) Igual área: 60(30+)100 1800+60 100 60 100 1800 60 300 300 60 5 La altura aumenta en 5 m : 60 35100 m 18. El tronco de un gato mide de largo ½ de su longitud total y la cabeza mide igual que la cola, 6 cm. Cuándo mide el gato? Longitud del gato: tronco: / cabeza: 6 cola: 6 Total de longitud: +6+6 +1 + 1 +1+1 1+1 4 El gato mide 4 cm cabeza: 6 cm tronco: 1 cm cola: 6 cm 19. La valla del patio rectangular de un colegio mide 3600 m. Si su largo es el doble que su ancho, cuáles son las dimensiones del patio? Ancho del patio: Largo del patio: Perímetro: + + + + ++ 3600 6 3600 3600 6 600 El patio tiene 600 m de ancho y 100 m de largo: 600+ 1003600 m 0. En una reunión hay triple número de mujeres que de hombres y doble número de niños que de hombres y mujeres juntos. Cuántas mujeres, hombres y niños hay si asistieron a la reunión 60 personas? Hombres: Mujeres: 3 Niños: (+3 ) +3 +( +3 )60 +3 + +6 60 1 60 60 1 5 Hombres: 5 Mujeres: 15 Niños: 40
1. Un poste de teléfonos tiene bajo tierra /7 de su longitud y la parte eterior mide 8 m. Cuánto mide en total el poste? Longitud del poste: Bajo tierra: 7 Parte eterior: 5 7 5 56 8 5 7 8 7 5 11, El poste mide 11, m. Bajo tierra: de11,3,m Eterior: 11, 3,8m 7 ECUACIONES II 1. Resuelve la ecuación ( +3) (1 3 ) : ( +3) (1 3 ) 4 producto notable +1 +9 3 4 +3 +1 +9 7 +11 +9 11± 11 4 7 9 1± 131 Sin solución real. 7 14. Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 4 0 +5 Como producto notable: 4 0 +5 ( 5) 5 5 5 3. Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: +5 +31 +5 +31 +5 +3 1 +5 + 5± 5 4 5± 5 16 4 5± 9 5±3 4 4 5+3 1 1 1 5 3 8 4 4. Resuelve las siguientes ecuaciones del tipo a +c : 1 1 a) ± 1 11 1 c) b) 80 80 0 4 ± 4 1 d) 3 7 3 7 7 3 9 ± 9 3 1 3 7 7 7 ± 7 Sin solución e) f) +1 1 1 ± 1 1 1 1 4 100 4 100 100 4 5 ± 5 5 1 5
g) h) 16 64 16 64 64 16 4 ± 4 1 16 16 ± 16 14 4 i) j) 3 147 3 147 147 3 49 ± 49 7 1 7 144 144 ± 144 11 1 k) l) 7 343 343 7 49 ± 49 7 1 7 3 43 43 3 81 ± 81 9 1 9 5. Resuelve las siguientes ecuaciones del tipo a +b : d) (1 ) 3 39 a) 1 3 ( 13) 1 1 1 0 13 13 b) c) ( 1) 1 0 1 1 3 30 3 30 3 ( 10) 1 10 10 e) 4 +0 4 ( +5) 1 +5 5 f) 6 6 6 ( 1) 1 0 1 1 6. Resuelve las siguientes ecuaciones del tipo a +b +c : 1 a b 1 c 1 1± ( 1) 4 ( 1) a) 1± 1+8 1± 9 4 4 1±3 4 1+3 1 4 1 1 3 4 1 b) g) +7 ( +7) 1 +7 7 h) 64 ( 64) 1 64 64 i) 5 40 5 ( 40) 1 40 40 7 +1 a1 b 7 c 1 7± ( 7) 4 1 1 1 7± 49 48 7± 1 7±1 7+1 1 4 7 1 3
c) d) +5 6 a1 b5 c 6 5± 5 4 1 ( 6) 1 5± 5+4 5± 49 5±7 1 5+7 1 5 7 6 5 +6 a1 b 5 c6 5± ( 5) 4 1 6 1 5± 5 4 5± 1 5±1 5+1 1 3 5 1 3 g) h) 4 +1 4 4 +4 +1 a4 b4 c1 4± 4 4 4 1 4 4± 16 16 4± 0 8 8 4±0 1 8 1 + 0 + 1 + 1 a1 b1 c 1 1± 1 4 1 ( 1) 1 1± 1+48 1± 49 1±7 1 1+7 3 1 7 4 e) f) + 6 a1 b1 c 6 1± 1 4 1 ( 6) 1 1± 1+4 1± 5 1+5 1±5 1 1 5 3 8 10 +3 a8 b 10 c 3 10± ( 10) 4 8 3 8 10± 100 96 10± 4 16 16 10± 16 10+ 1 16 3 4 10 16 1 i) j) 9 6 +1 a9 b 6 c1 6± ( 6) 4 9 1 9 6± 36 36 6± 0 18 18 6±0 18 1 3 100 +0 1 100 +0 +1 a100 b c1 0± 0 4 100 1 100 0± 400 400 0± 0 00 00 0±0 00 1 10
k) + +1 a1 b1 c1 1± 1 4 1 1 1 1± 1 4 1± 3 00 Sin solución real. l) + 3 a 1 b c 3 ± 4 ( 1) ( 3) ( 1) ± 4 1 ± 8 Sin solución real. 7. Resuelve: a) b) c) d) e) f) 4 4 ± 4 1 4 4 3 +1 3 1 1 3 4 ± 4 Sin solución real. 7 8 7 8 8 7 4 ± 4 1 6 6 6 ± 6 1 6 6 4 9 (4 9) 1 4 9 9 4 3 +7 3 (+9) 1 +9 9 g) h) i) j) 7 3 7 3 (7 3) 1 7 3 3 7 6 + (3 +1) 1 3 +1 1 3 8 a1 b c 8 ( )± ( ) 4 1 ( 8) 1 ± 4+3 ± 36 ±6 1 +6 4 6 3 a1 b c 3 ( )± ( ) 4 1 ( 3) 1 ± 4+1 ± 16 ±4 1 +4 3 4 1
k) l) 3 +10 0 3 10 3 10 a1 b 3 c 10 ( 3)± ( 3) 4 1 ( 10) 1 3± 9+40 3± 49 3+7 3±7 1 5 3 7 4 +4 ( ) ( ) m) n) 6 +10 a1 b 6 c10 ( 6)± ( 6) 4 1 10 1 6± 36 40 6± 4 Sin solución real. 1 a b 1 c 1 ( 1)± ( 1) 4 ( ) ( 1) ( ) 1± 1 8 1± 7 4 4 Sin solución real. 8. Calcula el valor de m para que las siguientes ecuaciones tengan raíz doble. Para que tengan doble solución, sus discriminantes han de ser nulos : Δb 4 a c (Raíz doble significa que las dos soluciones son, en realidad, la misma) 4 +m a) Δb 4ac( 4) 4 m 16 8m 168m m 16 8 m b) m + +1 Δb 4ac 4 m 1 4 4m 44m m 4 4 m1 c) m +36 Δb 4 ac( m) 4 1 36 m 144 m 144 m± 144 m±1 SISTEMAS DE ECUACIONES I 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 4 7 y+510 4 +3 y 619 4 7 y+10 5 7 y+5 3 y+4 7 y+3 y5 5 10 y y 4 3 y+19+6 Igualación 4 7 +10 4 4 6
. Un coleccionista tiene un montón de minerales y unas cuantas cajas. Si coloca 7 minerales en cada caja, le sobran 10 minerales. Pero si mete 9 ejemplares por caja, le sobran dos cajas. Averigua el número de minerales y cajas que tiene. Minerales : Cajas: y 7 en cada caja y sobran 10 minerales(son 10 minerales menos que los que tiene): 7 y 10 9 en cada caja, entran todos y sobran dos cajas (usa menos de las que tiene): 9( y ) 7 y 10 9( y ) 7 y9( y ) 10 7 y9 y 18 10 18+109 y 7 y Sustitución 8 y y8 y 8 y14 9(14 ) 9 1 108 Es una colección de 108 minerales y tiene 14 cajas para eponerlos. 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: y14 +5 y1 14+ y +5 y1 (14+ y)+5 y1 8+4 y+5 y1 4 y+5 y1 8 9 y 7 Sustitución y 7 9 y 3 14+ ( 3) 14 6 8 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 3 y+3 + y4 ( )3( y+3) + y4 43y+9 3 y9+4 3 y13 + y4 + 5 5 5 3 +3 y1 Sumando y4 3 + y4 5+ y4 y4 5 y 1 5. En una papelería una persona compra 4 libretas y 3 rotuladores por un total de 15 euros. Otra persona compra libretas y 5 rotuladores por 11 euros. Cuánto cuesta cada libreta y cada rotulador? Precio dela libreta: Precio del rotulador : y Primera persona: 4 +3 y15 4 +3 y15 Segunda persona: +5 y11 +5 y11 ( 1) 4 3 y 15 4 +10 y 7 y7 y7 Sumando 7 y1 +5 y11 +5 111 +511 11 5 6 6 3 Cada libreta cuesta 3 y cada rotulador 1. 7.1. 7. Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: + y5 + y3 + y4 y + y5 +4 5 + y5 y4 sustitución y 5 4 1 7.. y4 y4 1 y3 reducción(suma) 3 5 5 3 y y 5 3 y y 1 3 3 5
7.3. 7.4. 7.8. y 3 + y6 y 3 + y6 reducción(suma) 8 4 4 8 y ( 3) 3 +6 y 6 3 + y6 3 + y6 Sumando 8 y y 0 8 y + y1 4 +4 y 4 + y1 ( 4) 4 4 y 4 4 +4 y 4 4 +4 y 4 Sumando 0 8 Sistema incompatible 1 y+1 6 3 5 6 5 + y 4 9 6 y+ 5 6 6 0 4 + y 4 58 4 y 5 0 + y58 y7 0 + y58 7+ y 0(7+ y)+ y58 0 + y58 Sustitución 140+40 y+ y58 40 y+ y58 140 41 y 8 y 8 41 y 7+ y 7+ ( ) 7 4 3 7.9. 7.10. 4 +3 y7 5 y 4 4 +3 y7 4 +3 y7 5 y 4 ( ) 4 +10 y8 reducción(suma) 13 y15 y 15 13 4 +3 y7 5 0 +15 y35 5 y 4 6 15 y 1 3 reducción(suma) 6 3 3 6 5 + y + y 5 y y 5 ++ Igualación 5 4 0 4 + y 0+ y y y y1 7.14. 3+5 y ( 5 y) 5y 3 [ (0 3 )] ( 5 y) sustitución ( 0+3 ) (4 0) 4 0 4 0 4 5 5 y 3 5 y 3 5 5 y5 y1
7.15. 9 +4 y48 1 45 y 3 4 + y 3 4 y 6 15 9 1 + 4 y 1 48 1 1 6 y 6 45 6 9 +4 y48 1 y45 9 +4(1 45)48 Sustitución 9 +48 18048 9 +48 48+180 57 8 8 57 4 y1 45 y1 4 45 y3 7.16. + y 3 y 4 10 + y 1 4 y 4 40 4 + y 1 y40 + y +(1 40) 1 40 y Sustitución +4 80 5 100 10 5 4 y1 40 y1 4 40 y8 SISTEMAS DE ECUACIONES II 1. La suma de dos números es 4, y el doble del primero menos el segundo es 6. Cuáles son estos números? Números:, y Suma 4: + y4 Doble primero menos segundo es 6: y6 + y4 y6 3 30 10 y14 sumando. Tenemos un total de 6 monedas, unas de cincuenta céntimos y otras de 0 céntimos. Si en total tenemos 5 euros y ochenta céntimos, cuántas monedas tenemos de cada clase? Monedas de50 : Monedas de 0: y 6 monedas en total: + y6 5,80 en total: 50 +0 y580 (en céntimos) + y6 ( 0) 0 0 y 50 30 60 60 y 4 50 +0 y580 50 +0 y 580 Sumando 30 Tenemos monedas de 50 c ( 1 ) y 4 monedas de 0 c (4,80 ) 3. Beatriz se ha gastado al comprar una cazadora para Juan y otra para Laura. La de Juan costó 4 más que la de Laura. Cuánto costó cada cazadora? Precio dela cazadora de Laura: Precio de lacazadora de Juan: +4 Juntas cuestan ++4 4 99 La cazadora de Laura costó 99 y la de Juan 13. 4. Descompón el número 1000 en dos números, de manera que al dividir el mayor entre el menor, el cociente sea y el resto 0. Número mayor : Númeromenor : y Descomposición de 1000 (en sumandos): + y1000 Prueba de la división /y: y +0 + y1000 y+0+ y1000 y+ y1000 0 3 y780 y60 740 y+0 Sustitución Los números son 740 y 60(740 + 60 1000 740 60 + 0)
5. En un colegio hay 37 estudiantes menos de Primaria que de Secundaria. Sabiendo que el número total es de 179 alumnos, de los que 00 son de Educación Infantil, cuántos alumnos hay en total en Primaria y cuántos en Secundaria? Alumnos de Primaria: Alumnos de Secundaria : +37 Alumnos de Infantil :00 Todos juntos 179: + +37+00179 179 37 00 84 41 Hay 41 en Primaria, 658 en Secundaria y 00 en Infantil (41+658+00179) 6. Una familia tiene periquitos y perros de mascotas. Averigua cuántos perros y cuántos periquitos tienen, sabiendo que en total hay 6 animales y el número total de patas es 16. Número de perros : 4 patas Número de periquitos :6 (6 ) patas En total 16 patas: 4 +(6 )16 4 +1 16 4 16 1 4 Hay perros y 4 periquitos. (8 patas entre todos los perros y 8 los periquitos 16 patas) 7. En un rectángulo de perímetro 15, la base mide 9 unidades más que la altura. Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Altura del rectángulo : Base del rectángulo: +9 Perímetro, dos veces cada lado (el rectángulo tiene parejas de lados iguales): +( +9)15 +( +9)5 + +1815 4 15 18 134 33, 5 4 La altura es 33,5 y la base 4,5 unidades ( 33,5+ 4,567+8515) 16. El perímetro de un rectángulo es de 4 cm y su área es 0 cm². Cuáles son sus dimensiones? Base: Altura: 1 (base y altura suman 1, la mitad del perímetro) Área 0 cm (1 ) 1 0 1 + 1 +0 1± 1 4 1 0 1 1± 144 80 1± 64 1±8 110 Base 10, altura Base, altura 10 La base mide 10 cm y la altura cm (o al revés, cm y 10 cm) 17. Si disminuimos en 3 m cada lado de un cuadrado se obtiene otro cuadrado cuya área es 63 m² más pequeñas que la del cuadrado primitivo. Cuáles eran las dimensiones primitivas de este cuadrado? Lado inicial del cuadrado: área: Lado final: 3 área:( 3) Área final 63 m² menor que área inicial:( 3) 63 6 +9 63 Producto notable 6 +9 +63 6 +7 76 7 1 6 El cuadrado tenía incialmente 1 cm de lado, después 9 cm (1² 144 cm² 9²81 cm²) 18. Al añadir a un número 3 unidades y multiplicar por sí mismo el valor resultante, se obtiene 100. Calcula dicho número. Número: Número más 3 unidades: +3 Producto por sí mismo:(+3)( +3) Producto igual a 100: ( +3) 100 +6 +9100 +6 91 Productonotable 6± 6 4 1 ( 91) 1 6± 36+364 6± 400 6±0 17 13 Hay dos posibilidades, que el número sea 7 o que sea -13 7+310 10 10100 13+3 10 ( 10) ( 10)100
1. Dentro de 11 años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. Edad de Pedro ahora: Edad dentro de 11 años: +11 Edad hace 13 años: 13 Dentro de 11 años será la mitad del cuadrado de la de hace 13: +11 ( 13) ( +11)( 13) + 6 +169 0 6 +169 8 +147 8± ( 8) 4 1 147 1 8± 784 588 8± 196 8±14 1 1 7 Ahora tiene 1 años (no puede tener 7, porque hablan de su edad hace 13 años). Halla tres números impares consecutivos, tales que sus cuadrados sumen 5051. Primer número: Segundo número: + Tercer número: +4 (los impares van de en ) Suma de cuadrados: +(+) +(+4) 5051 + +4 +4+ +8 +165051 Producto notable 3 +1 5031 1± 1 4 3 ( 5031) 3 1± 144+6037 6 1± 60516 1±46 6 6 39 1 43 Los números pueden ser 39, 41 y 43 o bien -43, -41 y -39 3. Tres segmentos miden 8, y 4 cm. Si a los tres les añadimos una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud. Longitud a añadir: Longitud de los lados:8+,+,4+ Si forman un triángulo rectángulo la hipotenusa será el lado más largo (4 +) y cumplirán el Teorema de Pitágoras:(8+ ) +(+ ) (4+) (8+ ) +(+ ) (4+ ) 64+16 + +484+44 + 576+48 + Productos notables +1 8 1± 1 4 1 ( 8) 1± 144+11 1 1± 56 1±16 1 14 Se añaden cm (no se pueden añadir -14), y los lados quedan en 10, 4 y 6 cm. 5. Hace 5 años el padre de Luis tenía el triple de edad que él, dentro de 5 años tendrá el doble. Qué edad tiene el padre de Luis? y Luis? Edad de Luis ahora: Hace 5 años: 5 Dentro de 5 años: +5 Edad del padre: y Hace 5 años: y 5 Dentro de 5 años: y+5 Hace 5 años el padre el triple: y 53( 5) Dentro de 5 años el padre el doble: y+5(+5) y 53( 5) y+5(+5) y3( 5)+5 3( 5)+5(+5) 5 3 15+5 +10 5 Igualación y(+5) 5 3 10 5+15 5 15 y3( 5)+5 y3(15 5)+5 y 35 Luis tiene 15 años y su padre 35 (hace 5 años 10 y 30, y dentro de 5 años 0 y 40)
6. Dos hermanos viven en pueblos distantes 15 km. A veces se ven saliendo a la misma hora uno al encuentro de otro. El que vive en el pueblo A camina a una velocidad de 5,5 km/h, el que vive en el pueblo B camina a una velocidad de 4,5 km/h. A qué distancia del pueblo A se encuentran? Distancia que recorre el que sale de A: Distancia que recorre el que sale de B: 15 Tiempo que tarda en llegar el que sale de A: Tiempo que tarda en llegar el que sale de B: 15 4,5 (distanciaentre velocidad) 5,5 (distancia entre velocidad ) Salen a la misma hora, luego tardan lo mismo en llegar al punto de encuentro: 5,5 15 4,5 4,5 5,5 (15 ) 4,5 8,5 5,5 4,5 +5,5 8,5 10 8,5 8,5 Se encuentran a 8,5 km del pueblo A y 6,75 km del B.