Capítulo X: Flujos Compresibles Estacionarios: Segunda Parte INTRODUCCIÓN Repaso de conceptos de la clase anterior. OBJETIVOS DE LA CLASE DESARROLLO Flujo adiabático con fricción en un conducto de sección constante. Diagramas de Fanno. Aplicaciones. Ondas de choque Normal: Relaciones. Ondas de choque oblicuas. CONCLUSIONES () 1 / 1
Objetivos: Extender el análisis de flujos compresibles a flujos en un conducto de sección constante, donde la fricción no puede ser despreciada. Presentar las relaciones que vinculan entalpía especifica con entropía especifica en flujos compresibles. Breve análisis de las ondas de choque. () / 1
Flujos en conductos de sección constante. Flujo adiabático con fricción Analicemos el flujo en un conducto tan largo que no podamos despreciar la fricción del gas contra la pared. Supongamos además que no existe la posibilidad de intercambio de calor entre el gas y las paredes del conducto. Si la velocidad en el conducto es del orden de la velocidad del sonido o superiores, el flujo será turbulento. Sin embargo, consideramos un sólo aspecto de la turbulencia: supondremos que los perfiles de velocidades son constantes, u = cte en una sección. Luego, caudal A u ρ equivale al caudal real en la sección. () 3 / 1
Flujos en conductos de sección constante. Flujo adiabático con fricción Como el caudal es constante a lo largo del conducto, y estudiamos secciones constantes, entonces: j = ρu = constante j(x) donde x es la coordenada sobre el eje del conducto. Como no hay intercambio de calor con el medio, la ecuación de la energía se escribe según: h 1 + u 1 = h + u = const = h + j ρ Consideremos la entropía del gas. Debido a la fricción interna, no permanece constante sino que crece con la evolución del gas en el conducto. Luego, ds dx > 0 (1) () 4 / 1
Flujos en conductos de sección constante. Recordando la relación de Gibbs T ds = dh dρ ρ () reemplazando sobre (??) y derivando respecto a x: si desarrollamos T ds dx + 1 dp ρ dx + j dρ ρ 3 dx dρ dx = ρ dp p s dx + ρ ds s p dx Reemplazando en (??) tendremos: ( ) ( ) T j ρ ds ρ 3 s dx = 1 1 j ρ dp ρ ρ p dx p p (3) (4) (5) () 5 / 1
Flujos en conductos de sección constante. Conforme a las relaciones termodinámicas ρ s = ρ < 0 β p : p β p C p factor térmico isóbaro, coeficiente de compresibilidad térmica. Recordando que ds/dx aumenta, la expresión del primer miembro en (??) resulta una cantidad positiva. Por otro lado, en el segundo miembro, el signo de dp debe coincidir con el de dx ( ) 1 j ρ ρ = (1 u p c ) = Ma 1 p Entonces si Ma < 1 = dp dx < 0 Ma > 1 = dp dx > 0 (6) () 6 / 1
Flujos en conductos de sección constante. Análogamente, como j = ρu = cte. en las secciones, si derivamos respecto a x: u dρ dx + ρdu dx Como ρ y u son cantidades positivas, el signo de dρ dx Introduciendo la expresión de ds dx dρ dx = 1 dp c dx ρ ds β p C p dx = Resumiendo, podemos concluir que si: Ma < 1 = du dx > 0 es contrario al de du dx. que obtuvimos en (??) en (??) [ ] 1 (Ma 1) 1 dp T β pc p c + Ma c dx dρ dx < 0 dρ dx > 0 Ma > 1 = du dx < 0 Es decir que la velocidad crece aguas abajo en movimiento subsónico y decrece en movimiento supersónico, a la vez que la densidad decrece y crece respectivamente. () 7 / 1
Flujos en conductos de sección constante. Estudiaremos la forma de las curvas de la entropía en función de la presión. A partir de (??) puede deducirse una relación para la variación de la entropía con la presión. ds dp = 1 Ma 1 ρ T j 3 (7) ρ ρ s p de aquí, vemos que para Ma = 1, la entropía presenta un extremo.las curvas s(p) tienen una forma: Podemos estudiar las evoluciones a partir de la Figura. () 8 / 1
Flujos en conductos de sección constante. Sea la velocidad a la entrada del conducto u, subsónica. Como debe cumplirse que ds dp > 0 y la relación deducida en (??), < 0, se define una región donde u < c. dx dx La curva no puede recorrerse en su totalidad pues a partir del máximo, ds dx < 0. Luego, el flujo que ingresa a un conducto de sección constante subsónico, permanece subsónico. () 9 / 1
Flujos en conductos de sección constante. Por otro lado, si el flujo ingresa supersónico, el desplazamiento a lo largo de la rama de la izquierda del gráfico describe el flujo. Supongamos que el máximo de entropía se alcanza para x = l K. Si el largo del conducto l es menor a l k, el flujo permanece supersónico en todo el largo. Si el largo l > l k, nuevamente, no es posible continuar la evolución de la curva. En este caso, se desarrolla un onda de choque que permite que el flujo pase a la región subsónica y que cumpla ds dx > 0. El flujo alcanzará finalmente en el extremo del conducto la presión exterior correspondiente. () 10 / 1
Flujos en conductos de sección constante. Para analizar la relación entre la entalpía y la entropía, recordemos las relaciones: Luego, u + h = C 1 = cte j = ρu = C «1 C + h = C 3 ρ Es decir que para una densidad de flujo dada j, se tiene h = h(ρ). Como s = s(ρ, h) podemos construir para distintas j diagramas h s que son llamados diagramas de Fanno. Al igual que con las toberas, el caudal másico se encuentra acotado por el fenómeno de bloqueo o atoramiento correspondiente a la condición Ma = 1. () 11 / 1
Diagramas de Fanno en toberas convergentes. () 1 / 1
Diagramas de Fanno en toberas de Laval. () 13 / 1
Onda de choque Normal. Analicemos la onda de choque de la figura Considerando la ecuación de continuidad: ṁ = ρ 1A 1V 1 = ρ A V La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento nos permite escribir: X Fx = p 1A 1 p A = ṁ(v V 1) Como el espesor de la onda es muy pequeño, A A 1 y entonces reemplazando obtenemos: que es el salto de presión a través de la onda. p p 1 = ρ 1V 1 ρ V (8) () 14 / 1
Onda de choque Normal. Considerando que el proceso es adiabático, hemos visto que V1 V = k «p1 p k 1 ρ 1 ρ (9) Resolviendo, surgen las relaciones de la onda de Choque. p = kma 1 (k 1) p 1 k + 1 T = [kma 1 (k 1)][ + (k 1)Ma 1] T 1 (k + 1) Ma 1 V = ρ1 = (k 1)Ma 1 + V 1 ρ (k + 1)Ma 1 () 15 / 1
Onda de choque Normal. Para un gas perfecto diatómico, podemos entonces sintetizar las ecuaciones en el siguiente gráfico: () 16 / 1
Onda de choque Normal. Recordando la relación de Gibbs (??) y las relaciones termódinámicas de gases perfectos: dh = k «p k 1 d ρ «1 dt ds = ρrd + C v ρ T Surge al integrar que: s s 1 = C vln p ρ p 1 ρ 1 «k! p = C vln p 1 ««(k 1)p/p 1 + k + 1 (k + 1)p /p 1 + k + 1 Para p /p 1 1 + α con α pequeño, esta expresión tiene como límite: «3 s s 1 = k 1 p p 1 (10) C v 1k Que indica que las ondas de choque son de compresión, necesariamente p es mayor que p 1. p 1 () 17 / 1
Onda de choque Normal. Considerando la ecuación de conservación (??), la reescribimos por comodidad expresando volúmenes específicos v = 1 en vez de densidad. ρ Como j = j > 0 = p p1 = p (11) v 1 v v j p < 0 v < 0 p > 0 v > 0 Dado que p es positivo, necesariamente la segunda posibilidad es la única que puede tomar lugar. La ecuación de conservación de la energía en estos sistemas, escrita en términos de v h 1 + (jv1) = h + (jv1) Reemplazando (??) en la anterior, se obtiene la llamada relación de Hugoniot: h 1 h + 1 (v1 + v)(p p1) = 0 (1) Por otro lado, en términos de energía interna e = h pv e 1 e + 1 (v1 v)(p1 + p) = 0 (13) () 18 / 1
Onda de choque Normal. Si el gas es perfecto la relación de Hugoniot conduce a: p (k + 1)(v1/v) (k 1) = p 1 (k + 1) (k 1)(v 1/v ) (14) () 19 / 1
Conductos de sección constante aislados térmicamente. Ecuación de continuidad ja = ṁ Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. Ecuación de la energía d(u /) dx + 1 dp ρ dx h + u = k k 1 = λ u 8Γ h p ρ + u = h0 Para determinar la importancia de la fricción en el flujo, comparamos el término inercial frente al de fricción: u L : λ u = λl 4Γ h 1 = fricción despreciable 8Γ h λl 4Γ h 1 = fricción dominante () 0 / 1
Conductos de sección constante aislados térmicamente. Combinando apropiadamente, se llega a: p = k 1 «ṁ h 0 k A Ma [1 + (k 1)Ma /] T = h 0 1 + (k 1)Ma / Por lo que la presión y la temperatura en cada posición a lo largo del eje del conducto dependen del valor local del número de Mach. La distribución del numero de Mach surge de: 1 dρ ρ dx + 1 du u dx + 1 da A dx = 0 k 1 dp k 1 ρ dx k p dρ k 1 ρ dx + u du dx = 0 h 0 = h[1 + (k 1)Ma /] Luego, 1 d(ma ) Ma dx = du u dx 1 dp p dx + 1 dρ ρ dx () 1 / 1
Conductos de sección constante aislados térmicamente. Se llega a la siguiente ecuación diferencial que integrada resulta: 1 Ma 1 1 + (k 1)Ma λkma dx = Ma 1 Ma 8Γ h Ma (0) + k + 1» [ + (k 1)Ma (0)] ln [ + k + 1)Ma ] Si la entrada al conducto es subsónica, p(l) = p a Ma Ma (0) = kλx 4Γ h (15) () / 1
Conductos de sección constante aislados térmicamente. Si la longitud del conducto es tal que se produce la onda de choque (condición sónica a la salida), se supone que la onda de choque está situada a una distancia L 1 > L de la entrada, entonces: 1 Ma (L 1 1) 1 Ma (L) 1 Ma (0) + k + 1 Ma (L + k + 1 1)» [ + (k 1)Ma (0)] ln [ + k + 1)Ma(L 1) ]» [ + (k 1)Ma (L 1)] ln [ + k + 1)Ma(L) ] A lo largo de la onda de choque, el salto de Ma está dado por Ma = kλl1 (16) Ma (0) 4Γ h Ma = kλl (17) Ma (L 1) 4Γ h Ma (L1) = + (k 1)Ma 1(L 1) kma 1 (L1) + 1 k (18) Y el problema se cierra imponiendo la condición de descarga a presión ambiente. p(l) = p a = k 1 k «ṁ h 0(0) A Ma (L)[1 + (k 1)Ma (L)/] (19) () 3 / 1
Conductos de sección constante aislados térmicamente. En un conducto puede ingresar flujo supersónico si, por ejemplo, este proviene desde una tobera acoplada al mismo. Luego, Ma(0) y ṁ son determinados por las condiciones de salida en la tobera. «k+1 ṁ = (k 1)ρ 0c 0A g k + 1 donde A g es el área de la garganta.» ṁ = Ma(0)ρ 0c 0A 1 + k 1 k+1 Ma (0) (k 1) Conocidas estas condiciones, se pueden determinar las condiciones a la salida, Ma(L) y p(l). () 4 / 1
Conductos de sección constante aislados térmicamente. La presencia de una onda de choque tiene asociada el crecimiento de entropía, aún en el caso de movimientos que pueden ser considerados en todo el espacio como flujos perfectos (ausencia de efectos viscosos y termoconducción). El incremento de entropía implica la presencia de un mecanismo de disipación de energía. Por lo que la paradoja de D Alembert en el caso existan discontinuidades como las ondas de choque no tiene más validez ya que al movimiento de un cuerpo en este caso el fluido opone una resistencia. El aumento de entropía ejerce también otra influencia sobre el movimiento. En general, si el movimiento del gas antes del choque es potencial. Luego del mismo, se convierte en rotacional. () 5 / 1
Onda de choque oblicua. Habíamos mencionado que una perturbación puntual sobre un flujo supersónico tiene consecuencias solamente aguas abajo de la misma. El flujo alrededor de un cuerpo avanzando a velocidad sónica presenta características muy distintas respecto a uno que lo hace a velocidad subsónica. Recordando el ángulo de Mach que se forma a partir de la consideración de la velocidad del flujo u y la de la perturbación c, se observan ondas de choque oblicuas respecto a la dirección principal del escurrimiento. () 6 / 1
Onda de choque oblicua. En el estudio de las ondas de choque normales, determinamos que éstas ajustan las condiciones externas (presión) respecto a las condiciones de salida teóricas, isoentrópicas en conductos. Por el contrario, las ondas de choque oblicuas aparecen como consecuencia de cambios abruptos en la geometría del flujo. Las ondas de choque oblicuas son similares a las ondas normales, en tanto que para modelizar ambas consideramos discontinuidades en magnitudes como la presión, densidad, etc., que tienen asociadas un aumento de la entropía. En el siguiente esquema se estudia un caso general: θ: Ángulo del choque β: Ángulo de deflección. V n1 = V 1 sin(θ) V n = V sin(θ β) V t1 = V 1 cos(θ) V t = V cos(θ β) Se pueden definir las variaciones del número de Mach: M n1 = M 1 sin(θ) M n = M sin(θ β) M t1 = M 1 cos(θ) M t = M cos(θ β) () 7 / 1
Onda de choque oblicua. Las ecuaciones de conservación considerando un volumen de control paralelo al choque son: Conservación de la masa Z ρ V nds = 0 = ρ 1 V n1 = ρ V n (0) S Conservación de la cantidad de movimiento. Z Z ρ V ( V n)ds = tds S S En la dirección tangente: La que considerando (??) conduce a En la dirección normal: Conservación de la energía V t1 (ρ 1 V n1 S 1 ) = V t (ρ V n S ) V t1 = V t (1) (p 1 + ρ 1 V n1 )S 1 = (p + ρ V n )S h 1 + V 1 = h + V h 1 + V n1 + V t1 recuperando lo hallado en (??) se obtiene: h 1 + V n1 = h + V n1 + V t1 = h + V n Entonces, las 3 ecuaciones de conservación guardan igual forma que las ecuaciones deducidas para ondas normales. Luego es posible analizar una onda de choque oblicua como normal siempre que consideremos que V V n y Ma Ma n. () 8 / 1
Onda de choque oblicua. Dado que en la mayoría de los problemas, conocemos los datos del flujo V 1 y el ángulo β, resulta más conveniente expresar θ en función de M 1 y β. Considerando que V t1 = V t = M t1 krt1 = M t krt. De donde, M t = M t1 r T1 T Luego, como M n = M ttg(θ β) entonces: M n = M t1 r T1 T tg(θ β) = M 1 cos(θ) r T1 T tg(θ β) () Tomando en cuenta la relación de temperatura de choques normal, aplicada a choques oblicuos: T 1 = 1 + k 1 M! n T 1 + k 1 M n1 Reemplazando, se obtiene: M n = M 1 cos (θ) (3) 1 + k 1 M! n 1 + k 1 M tg (θ β) (4) n1 De la relación para onda de choque normal para el número de Mach: M n = + (k 1)M n1 (1 k) + km n1 () 9 / 1
Onda de choque oblicua. Se llega a: β = θ arctg " 1 sin(θ) k 1 k + 1 sin (θ) + k + 1 1 M 1!# La solución de esta ecuación se representa en la siguiente figura: Vemos que existen para β y Ma dados soluciones: una que correponde a la onda de choque fuerte y otra a la onda de choque débil, de ángulos pequeños y menores relaciones de presión p /p 1. En la práctica, la primera solución se da para p muy elevados que son improbables, luego, se considera solamente la solución débil. El gráfico muestra que hay solución para ángulos menores que un cierto límite. Más allá de ese valor, no es posible encontrar su correspondiente θ. Se dice en estos caso, que la onda del choque se separa del cuerpo. () 30 / 1
Onda de choque oblicua. Cerca de la nariz del cuerpo, existe una zona subsónica y la onda de choque se separa del perfil. Detrás de la onda de choque, sólo la componente normal de la velocidad debe ser inferior a la velocidad sónica. () 31 / 1
Conclusiones. Hemos estudiado la evolución de la entropía para flujos compresibles en conductos largos. Apoyándonos en el segundo principio de la termodinámica, vimos que en un conducto aparece una dependencia de las características del régimen respecto del número de Ma en la entrada. Basándonos en las ecuaciones de estado, y en las leyes de conservación, presentamos los diagramas de Fanno que vinculan en distintos flujos la entropía con la entalpía. Hemos cerrado formulando la relación que existe entre las magnitudes termodinámicas, cuando existe una onda de choque normal. La descripción acabada de esta onda, así como la de una onda oblicua, excede los alcances del curso. () 3 / 1