Tema 02 Análisis de prestaciones e introducción al dimensionamiento en redes de conmutación de paquetes Rafael Estepa Alonso Universidad de Sevilla
Índice del Tema 02 2.1 Introducción a las Prestaciones en las redes de Ordenadores 2.1.1 Introducción a los indicadores de prestaciones y los SLA 2.1.2 Modelo simple del retardo en una red de conmutación de paquetes 2.1.3 Enfoques para la evaluación de prestaciones 2.2 Modelos de Colas 2.2.1 Modelos de Colas 2.2.2 Fórmula de Little 2.3 El proceso de Poisson 2.3.1 Propiedades básicas 2.3.2 Caracterización 2.3.3 Adición y división de procesos de Poisson 2.3.4 propiedad PASTA 2.4 Sistemas sin pérdida M/G/1: modelo básico de multiplexor 2.4.1 El sistema M/G/1 2.4.2 Clases y Prioridades 2.5 Sistemas con pérdidas y procesos de nacimiento y muerte: M/M/1 y M/M/1/L 2.6 Introducción a las redes de colas: redes de Jackson 2.7 Fuentes on-off e introducción al modelo de Fluidos 2.7.1 Modelo de una fuente on-off 2.7.2 Introducción a la multiplexión de fuentes on-off 2.7.3 Solución para colas de tamaño finito 2.7.4 Solución para colas de tamaño infinito 2.8 Dimensionamiento 2.8.1 Dimensionamiento con el modelo de fluidos 2.8.3 Dimensionamiento con el modelo del ancho equivalente de Guerin 2
El Proceso de Poisson Definición: si los {X n,n > 1} es una secuencia de v.a. i.i.d. exp(λ) el proceso contador N(t) es un Proceso de Poisson con parámetro λ y se denota por PP(λ). La variable N(t) es un proceso de Poisson si cumple con: N(0) = 0 El número de eventos que ocurren en un subintervalo de tiempo es independiente del número de eventos que ocurren en otro subintervalo de tiempo disjunto La probabilidad de que ocurra un evento en un subintervalo es proporcional a su longitud (temporal o espacial) y es la misma para todos los subintervalos N(t) lim t 0 P(N(t)=1) / t = λ lim t 0 P(N(t)>1) / t = 0 3 2 1 S 0 S 1 S 2 S 3 t 3
Propiedades del Proceso de Poisson (PP) Propiedad importante de los procesos de Poisson La unión o separación de PP es también un PP PASTA: la distribución del número de clientes en el sistema (P n ) que es observada por los clientes que llegan al sistema es una media temporal perfectamente aleatoria del estado real del sistema P n Los instantes de llegadas de un proceso de posisson son instantes de muestreo independientes y perfectamente aleatorios para observar la distribución de probabilidad a lo largo del tiempo. P i 3 2 1 t t 4
Es un proceso SIN memoria El comportamiento no depende del pasado ni de mi punto de observación. R = vida residual de una variable (X) E( R) = E(X)/2 + Var(X)/(2*E(X)) Si X es exponencial (llegadas de Poisson) E( R) = E(X), pero además F( R) = F(X) X i R Observador en Instante aleatorio 5
Introducción a las Redes de Ordenadores 2.4 Sistemas sin pérdida M/G/1: modelo básico de multiplexor 2.4.1 El Sistema M/G/1 2.4.2 Clases y Prioridades
El sistema M/G/1 Hasta ahora tenemos tres relaciones N=λT, Q= λw, T= W+1/µ Cuarta ecuación W=W0+W1 W0 = ρ E[R] = λ E[S^2]/2, lo que le falta a la tarea en el servidor W1 = Q/µ, lo que debo esperar por la cola (disciplina FCFS) Reordenando: W = λe[s^2]/2 + ρw Relación entre media y varianza: E[S^2] = E[S]^2 + Var[S] Para solucionar un sistema M/G/1 necesitaré Entradas: E[X], E[S], Var[S] Salidas: N,T,W,Q (son valores medios) Contexto: No saturación (Little), disciplina FCFS, llegadas Pois. 7
Clases y Prioridades Supongamos un sistema con P clases de tráfico (cada una ρ i =λi/ µi) Donde: λi / λ es la proporción de individuos de clase i Tendremos que: T = λ1 / λ * T1 + λ2 / λ * T2 + --- (donde Ti * λi = Ni) y N = N1+N2+ W = λ1 / λ * W1 + λ2 / λ * W2 + --- (donde Wi * λi = Qi) y Q = Q1+Q2+ A cada clase de tráfico se le asocia una prioridad En la misma clase se aplica el orden de llegadas (FCFS) Teorema de la conservación ρ1 W1+ ρ1w2 + = cte = ρwo/(1-ρ) (donde Wo= ρ 1 E[R 1 ]+ ρ 2 E[R 2 ]+ = (λ 1 E[S 1^2]+λ 2 E[S 2^2]+ )/2 λ2 3 1 2 λ1 λ3 λ = λ1+ λ2 + λp P λp 8
Disciplina HOL (priorización estricta) Asignamos prioridades: clase 1 -> máx prio, clase P-> mín prio Busco calcular: W i (tiempo de espera en cola para clase i) W i = W o +W i1 +W i 2 W i 1 espera por trabajos de mayor prioridad que estaban en cola W i1 =Q 1 /µ 1 +Q 2 /µ 2 + + Q i /µ i W 2 i espera por trabajos de mayor prioridad que llegarán en W i W 1 i1 =W i ρ 1 +W i ρ 2 + + W i ρ i-1 Solución Final (fórmula de Cobham para M/G/1 y HOL sin apropiación) W i = W o / [(1- ρ 1 -ρ 2 - ρ i-1 )*(1- ρ 1 -ρ 2 - ρ i )] Ahora puedo calcular W y T para el sistema. 9
Introducción a las Redes de Ordenadores 2.5 Sistemas con pérdidas y procesos de nacimiento y muerte: M/M1 y M/M/1/L 2.5.1 Procesos de nacimiento y muerte 2.5.2 Prestaciones en un sistema M/M/1 2.5.3 Prestaciones en un sistema M/M/1/L y M/M/m/m
Procesos de Nacimiento y Muerte Son un caso especial de cadenas de Markov donde sólo es posible la transición entre estados adyascentes (p ij = 0, j i±1). 3 2 1 t Nos permiten averiguar el estado del sistema (número de usuarios en el sistema) además de otras variables de interés Sea N(t) = A(t) D(t) A(t) es el número de tareas llegadas al sistemas hasta el instante t (nacimientos) (A(0) = 0) D(t) es el número de tareas que han salido del sistema hasta el instante t (muertes) 11
Procesos de Nacimiento y Muerte Si A(t) y D(t) son Procesos de Poisson entonces N(t) es un proceso de nacimiento y muerte (* y ) que cumple lo siguiente: Sin memoria: la evolucion temporal del proceso en un instante t es independiente del estado del sistema en los instantes anteriores Homogeneidad: las probabilidades de transicion son estacionarias (independientes del instante t). Luego N(t) es un proceso de Markov homogeneo Probabilidad de transición entre estados Nacimientos y muertes individuales: durante un intervalo de tiempo t suficientemente pequeño sólo es posible cambiar a un estado adyascente n-1 n n+1 12
Procesos de Nacimiento y Muerte Como consecuencia de las propiedades anteriores, el proceso estocástico de de nacimiento y muerte cumplirá que: q m,m+1 = λ m t, donde λ m se llama tasa de nacimientos del estado m q m,m-1 = µ m t, donde µ m se llama tasa de muertes del estado m q m,m = 1- (λ m + µ m ) t Queremos obtener las probabilidades a largo plazo de P n Para ello observo la evolución temporal p n (t) A largo plazo se cumple que q m,m+1 m-1 m m+1 q m,m-1 13
Procesos de Nacimiento y Muerte En general p i Sum p i = 1 Estadísticos de utilidad m-1 q m,m+1 m m+1 q m,m-1 14
Ejercicio En la cola de salida de un router, se desea conocer el número medio de paquetes en la cola del enlace. La cola sólo tiene 3 posiciones. Para ello se ha medido experimentalmente y se observa que los procesos de entrada y salida del sistema son Poissonianos con tasa (4,3,2,1,1) y (0,4,3,2,2) en función del estado del sistema averiguar: Calcular la probabilidad de que el sistema este ocupado. Calcular la probabilidad de que la cola este llena. Calcular numero medio de paquetes en el sistema Calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema cómo cambiaría si las tasas fueran independientes del estado del sistema? (p.e 2 y 4) 15
Sistema M/M/1 Aplicación de lo anterior a un sistema de colas M/M/1 A(t) Poisson, D(t) Poisson Suponemos que A(t) y D(t) no dependen del estado del sistema Tasa de nacimiento constante: λ i = λ, para cualquier estado Tasa de muerte: µ i = µ, para cualquier estado Sustituyendo en la expresión de p 0 tenemos p 0 = 1- ρ p i Resto de estadísticos 16
Ejercicio En la cola de salida de un router, se desea conocer el número medio de paquetes en la cola del enlace. La cola tiene infinitas posiciones. Para ello se ha medido experimentalmente y se observa que los procesos de entrada y salida del sistema son Poissonianos con tasa 2 y 4 independientemente del estado del sistema averiguar: Calcular la probabilidad de que el sistema este ocupado. Calcular la probabilidad de que la cola este llena. Calcular numero medio de paquetes en el sistema Calcular el número medio de paquetes en la cola Calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema 17
Sistema M/M/1 Distribución del retardo (no es posible que haya pérdidas) Uso de la propiedad PASTA del proceso de llegadas Uso como Modelo ideal de un multiplexor de paquetes Estimación de tiempo medio de espera en cola Uso como estimación grosera de probabilidad de pérdidas (ρ L ) 18
Ejemplo Supongamos una aplicacion de VoIP que se ejecuta en 46 ordenadores que estan conectados en una LAN (enlace puntomultipunto donde suponemos que no hay colision) y que sale hacia el destino a traves de un router que tiene un enlace de conexion con Internet de 1 Mb/s. Suponga que los paquetes que generan las aplicaciones de VoIP consituyen un PP y se generan con un patron de tiempo entre paquetes exponencial de media 30ms. Suponga tambien que el tiempo de servicio (tamaño del paquete) requerido por cada paquete tambien es exponencialmente distribuido con una media de 80B. Los paquetes deben sufrir un retardo máximo < 70ms al atravesar el router para que la calidad sea aceptable. qué probabilidad hay de que tengan una calidad aceptable? 19
Resumen Procesos de Nacimiento y Muerte Son un caso especial de cadenas de Markov donde sólo es posible la transición entre estados adyascentes Propiedades: sin memoria, homogéneos, nacimientos y muertes individuales Solución en estado estable (estado del sistema) Sistema M/M/1 Proceso de nacimiento y muerte donde las tasas de nacimiento y muerte no dependen del estado del sistema Solución p 0 = 1- ρ Distribución del retardo en la cola 20
El sistema M/M/1/L y M/M/m/m Buffer de tamaño finito: pérdidas de paquetes. En este caso: Tasa de nacimiento: λ i = λ si i<l; λ i = 0 para i>=l Implica que pn =0 para n>l (pues no hay sitio en el sistema) Tasa de muerte: µ i = µ, para cualquier estado Sustituyendo en las ecuaciones: Estadísticos de interés: Prob de pérdidas (que una llegada encuentre el sistema lleno) El sistema: M/M/m/m (Aplicado en Telefonia Erlang-) Tasa de nacimiento: λ i = λ si i<m; λ i = 0 para i>=m Tasa de muerte: µ i = iµ, para i<=m Solución: p 0 = (1+I+ I 2 /2!+ I 3 /3!+ + I m /m!) -1, B LL =I m /m! * p 0 21
Redes de Colas Redes Abiertas Supondremos N nodos tipo M/M/m Las tareas llegan a la red con una tasa λ* y la probabilidad de saltar del nodo i al j será qij. Teorema de Jackson: Si λ* no depende del estado de la red: Pn = P 1 (n 1 )*P 2 (n 2 )*P 3 (n 3 )* *P N (n N ) Además cada nodo se calcula de forma independiente: M/M/m Estadísticos: T=N/ λ*, donde N=N 1 +N 2 +N 3 + +N N. T=1/λ*(λ 1 T 1 + λ 2 T 2 + + λ 1 T 1 ) Otros parámetros de interés: Nº medio de visitas al nodo i = λ 1 / λ* Tiempo medio y servicio demandado en el nodo i 22
Para ampliar Lecturas recomendadas Libros de la biliografía Hayes: sección 1.2 (approaches to performance evaluation) Peterson: sección 1.5 (Performance) León-García: Apéndice A (retardo y pérdida de prestaciones), 7.7.1 y 7.7.2 (colas FIFO y equitativas) Kumar: 2.1, 2.2.1 Próxima Clase Sistemas M/M/1 23
Cuestiones para revisar lo aprendido Deduzca la ecuación de equilibrio de los procesos de nacimiento y muerte Cómo se resuelve el sistema M/M/1 partiendo de la ecuación anterior? Indique cómo averiguar parámetros de utilidad en los sistemas de colas partiendo del conocimiento del estado del sistema a largo plazo. 24
FIN DE LA CLASE Preguntas? 25