Introducción a la Teoría Analítica de Números Pablo De Náoli clase 11 1. Introducción Recordamos que Z n = unidades del anillo Z n = {a Z n : (a, n) = 1} es un gruo abeliano [=conmutativo] (con la oeración de roducto de clases módulo n). Observamos también que el orden (cantidad de elementos) de este gruo está dado or la función de Euler ϕ(n). Recordamos también que el orden de un elemento g en un gruo (G,.) con elemento neutro e, se dene como el menor entero k tal que g k = e. Coincide con el orden del subgruo generado or g: < g >= {g k : k Z} En consecuencia, si G es nito, or el teorema de Lagrange el orden de un elemento siemre es un divisor del orden de G. En articular esto dice que: g #(G) = e g G Alicando este resultado al gruo Z n tenemos el siguiente teorema 1 : Teorema 1.1 (Fermat-Euler) Si a es corimo con n, entonces el orden de a en Z n es un divisor de ϕ(n), y en articular: a ϕ(n) 1 (mód n) Denición 1.1 Un entero g Z se dice una raíz rimitiva módulo n si g es un generador de Z n, o lo que es equivalente: si el orden de g en Z n es ϕ(n). Ejemlo: Consideremos el gruo Z 5 = {1,, 3, 4}. Consideramos g =, entonces: 1 =, = 4, 3 = 8 3 (mód 5), 4 = 16 1 (mód 5) 1 Ver también mi aunte de enteros de álgebra I, teorema A.3, ara una demostración directa. 1
En consecuencia, el orden de es Z 5 es 4 = ϕ(5). Por lo tanto es una raíz rimitiva módulo 5. Nuestro róximo objetivo será estudiar la estructura del gruo Z n. Comenzamos or el caso en que es rimo. Teorema 1. Si es rimo, entonces el gruo Z = Z {0} es cíclico, en otras alabras: siemre existen raices rimitivas módulo. La rueba que daremos de este teorema se basa en las roiedades de los olinomios ciclótómicos. Recordamos que el olinomio ciclotómico Φ n (X) se dene como el olinomio mónico (en C[X]) cuyas raices son exactamente las raices rimitivas n-ésimas de la unidad: Φ n (X) = (X ω k ) ω k G n donde G n designa el conjunto de las raices n-ésimas rimitivas de la unidad. Por ejemlo: Φ 1 (X) = X 1 Φ (X) = X + 1 Φ 4 (X) = (X i)(x + i) = X + 1 Como sabemos que hay exactamente ϕ(n) raices rimitivas de la unidad (siendo ϕ la función de Euler), deducimos que el grado del olinomio Φ n (X) es exactamente ϕ(n). Si G n denota el conjunto de las raices n-ésimas de la unidad, la descomosición G n = d n G d (unión disjunta) roorciona la factorización: X n 1 = d n Φ d (X) (1) Los olinomios Φ n (X) se ueden calcular recursivamente a artir de la relación (1). Por ejemlo, calculemos Φ 5 (X) y Φ 15 (X). Como X 5 1 = φ 1 (X)φ 5 (X) tenemos, efectuando la división de olinomios que que: Φ 5 (X) = X5 1 X 1 = X4 + X 3 + X + X + 1 En el libro de Aostol se da una rueba diferente que no los emlea.
y como X 15 1 = Φ 1 (X)Φ 3 (X)Φ 5 (X)Φ 15 (X) = (X 5 1)(X + X + 1)Φ 15 (X) tenemos que: Φ 15 (X) = X 15 1 (X 5 1)(X + X + 1) = X10 + X + 1 X + X + 1 y efectuando la división de olinomios, nalmente encontramos que: Φ 15 (X) = X 8 X 7 + X 5 X 4 + X 3 X + 1 Es inmediato demostrar or inducción a artir de (1)) que Φ n (X) es siemre un olinomio con coecientes enteros. En articular, es osible evaluarlos en los elementos de Z n (o más generalmente, de cualquier anillo). Lema 1.1 Sea un rimo, y d un divisor de 1 entonces, en Z el olinomio ciclotómico Φ d (X tiene exactamente ϕ(d) raices. Prueba: Notamos que, or el teorema de Fermat, el olinomio f = X 1 1 se anula en todos los elementos de Z. Dicho olinomio admite la factorización f = Φ d (X) d 1 y como Z es un cuero, cada raíz de f debe ser raíz de algún Φ d con d 1. Pero no uede ser raíz de estos olinomios ciclotómicos, ues sino f tendría raices múltiles, lo cual no uede ocurrir ues su olinomio derivado (formal) f = ( 1)X solo se anula en X = 0 (que no está en Z. En consecuencia, cada elemento de Z es raíz de exactamente un olinomio ciclotómico Φ d con d divisor de 1. Si designamos or r d el número de raices de Φ d en Z, tendremos en consecuencia: r d = 1 () d 1 Por otro lado, recordamos que en un cuero un olinomio no uede tener más raices que el grado; or lo tanto: y se tiene que: 0 r d ϕ(d) (3) d 1 Restando () y (4), deducimos que: {ϕ(d) r d } = 0 d 1 ϕ(d) = 1 (4) y como cada término de esta suma es no negativo or 3, se deduce que todos los términos deben ser nulos, es decir r d = ϕ(d) ara cada d que divide a 1, como arma el lema. 3
Lema 1. a Z es raíz de Φ d (donde d 1) si y sólo si a tiene orden d en Z. Prueba: Si a es raíz de Φ d, entonces la factorización X d 1 = e d Φ e (X) (5) imlica que a d = 1. Si el orden de a fuera menor que d, sería a e = 1 ara algún divisor roio e < d de d. Pero entonces como X e 1 = f e Φ e (X) (y dado que Z es un cuero) a sería raíz de Φ f ara algún divisor f de e. Es decir: a sería raíz de Φ d y Φ e, dos olinomios ciclotómicos corresondientes a dos divisores diferentes de 1, y vimos en el lema anterior que ello no era osible. Esto rueba que el orden de a es d. Recírocamente, si a tiene orden d entonces a d = 1, or lo que or (5) Φ e (a) = 0 ara algún e que divide a d, y or lo antes demostrado d = e. Combinando los resultados de ambos lemas, concluimos que en Z hay exactamente ϕ(d) elementos de orden d. En articular, tomando d = 1, vamos que hay ϕ( 1) raices rimitivas módulo. En articular: Z es cíclico. Esto comleta la rueba del teorema.. Restos Cuadráticos En esta sección alicaremos el resultado anterior, ara estudiar algunas roiedades relacionadas con los restos cuadráticos: Denición.1 Sea un número rimo imar, y a un entero no divisible or. Decimos que a es un resto cuadrático módulo si la congruencia x a (mód ) (6) tiene soluciones, es decir si a tiene una raíz cuadrada en Z. En caso contrario, decimos que a es un no resto cuadrático módulo. Denimos el símbolo de Legendre or: ( ) a = 0 si a 1 si a y a es un resto cuadrático módulo 1 si a y a es un no resto cuadrático módulo Notamos que ser un resto cudrático (o no-resto cuadrático) es en realidad una roiedad de la clase a Z, de modo que: ( ) ( ) a b = si a b (mód ) 4
Ejemlo: Vimos que Φ 4 (X) = X + 1. Si un rimo de la forma 4n + 1, el lema 1.1 imlica que Φ 4 tiene dos raices en Z. En consecuencia, 1 es un resto cuadrático de dichos rimos. Proosición.1 Sea un rimo imar. Si g es una raíz rimitiva módulo, entonces g k es un resto cuadrático módulo si k es ar, y un no resto cuadrático módulo si k es imar. Es decir que: ( ) g k = ( 1) k Prueba: Escribamos a = g k y x = g l entonces la congruencia (6) es equivalente a: l k (mód 1) ues g tiene órden 1. Aquí k es un dato, y l es una incógnita. En consecuencia, esta congruencia tendrá solución si y sólo si el máximo común divisor entre 1 y, que es, divide a k; es decir, si k es ar. Corolario.1 En Z cuadráticos. hay 1 restos cuadráticos módulo, y 1 no restos Prueba: Si g es una raíz rimitiva, un sistema de reresentantes de las clases de Z es: {1, g, g,..., g 1 } Por la roosición anterior, las clases corresondientes a las otencias ares de g son restos cudráticos, y las corresondientes a exonentes imares son no restos cuadráticos. Corolario. El símbolo de Legendre es comletamente multilicativo. Es decir si a, b Z: ( ) ( ) ( ) a a ab = (7) Prueba: Si a y b no son divisibles or, escribimos a = g k y b = g l, siendo g una raíz rimitiva módulo. Entonces: ( ) ( ) ( ) a a ab = ( 1) k ( 1) l = ( 1) k+l = ues ab = g k+l. Por otra arte, si a o b son divisibles or, entonces ab también lo será y (7) se verica trivialmente, ues ambos miembros son nulos. Teorema.1 (Criterio de Euler) Sea un rimo imar. Entonces ( ) a a ( 1)/ (mód ) 5
Prueba: Suongamos rimero que no divide a a. Nuevamente consideramos una raíz rimitiva g módulo, y escribimos a = g k. Entonces donde b = g ( 1)/. Notamos que: a ( 1)/ g k( 1)/ b k (mód ) b g 1 1 (mód ) or consiguiente b ±1 (mód ). Pero como g es una raíz rimitiva b 1 (mód ) (ues sino el orden de g sería menor o igual que ( 1)/). Luego b 1 (mód ), y or lo tanto: ( ) a a ( 1)/ ( 1) k (mód ) or la roosición anterior. Finalmente si divide a a, el teorema se verica trivialmente ues divide a a ( 1)/. Ejemlo: Tomando a = 1 entontramos que ( ) { 1 1 si 1 (mód 4) = 1 si 3 (mód 4) Es decir que: 1 es un resto cuadrático de los rimos de la forma 4n + 1, y un no resto cuadrático de los rimos de la forma 4n + 3. 3. El teorema chino del resto El teorema chino del resto (que se ve en los cursos de álgebra I) ermite reducir el roblema de estudiar la estructura de Z n al caso en que n es una otencia de un rimo: Teorema 3.1 (Teorema chino del resto) Si m = m 1 m donde m 1 y m son corimos, entonces Z m Z m1 Z m (isomorsmo de anillos) En articular mirando el gruo de las unidades de cada anillo se obtiene que Z m Z m 1 Z m (isomorsmo de gruos) (En este enunciado denota la suma directa de anillos, y el roducto directo de gruos). Para la rueba del teorema chino del resto, ueden consultar mi aunte de enteros de álgebra I (teorema 1.1). También ueden encontrar allí una rueba exlícita de la segunda armación (lema A.1, es fácil ver que la función f construida allí roorciona el isomorsmo buscado), aunque en dicho aunte estos 6
resultados no están enuciados en el lenguaje de la teoría de gruos. En el curso de álgebra I dicho lema lo utilicé en dicho aunte ara robar que la función de Euler ϕ es multilicativa, lo cual es una consecuencia inmediata de este teorema, ues siendo isomorfos Zm y Z m 1 Z m deben tener la misma cantidad de elementos, lo que roorciona la igualdad: ϕ(m) = ϕ(m 1 )ϕ(m ) Este teorema se generaliza al caso de varios factores corimos dos a dos: Teorema 3. Si m = m 1 m... m k donde los m i son corimos dos a dos, entonces Z m Z m1 Z m... Z mk (isomorsmo de anillos) En articular mirando el gruo de las unidades de cada anillo se obtiene que Z m Z m 1 Z m... Z m k (isomorsmo de gruos) Deducimos que si m admite la factorización m = e1 1 e... e k k (donde los i son rimos distintos), entonces Z m Z e 1 Z... Z 1 m e e k k 7